Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta luôn có:

$(a+b+c)^5\geq 25\sqrt{5}(ab+bc+ca)(a-b)(b-c)(c-a)$

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c luôn có:

$\sqrt[3]{\frac{a^5(b+c)}{(b^2+c^2)(a^2+bc)^2}}+\sqrt[3]{\frac{b^5(c+a)}{(c^2+a^2)(b^2+ca)^2}}+\sqrt[3]{\frac{c^5(a+b)}{(a^2+b^2)(c^2+ab)^2}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Cho $a,b,c\geq 0; a+b+c=3.CMR: $$\sqrt[3]{\frac{a^3+4}{a^2+4}}+\sqrt[3]{\frac{b^3+4}{b^2+4}}+\sqrt[3]{\frac{c^3+4}{c^2+4}}$

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn: $a^2+b^2+c^2=12$

CMR: $\frac{a+b}{4+bc}+\frac{b+c}{4+ca}+\frac{c+a}{4+ab}\geq \frac{3}{2}$

Mặc dù đề ra đã lâu nhưng em (mình) chưa thấy đăng trên diễn đàn để mọi người cùng thảo luận!

Hình gửi kèm

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

[TOPIC] Tổng hợp đề năm nay

Cho 2 phương trình: $x^2+\sqrt{2}(a+\frac{1}{b})x+\frac{25}{8}=0(1)$

                         và $x^2+\sqrt{3}(b+\frac{1}{a})x+\frac{75}{16}=0(2)$

Trong đó $a,b>0, a+b=1$

CMR một trong 2 phương trình trên có nghiệm.

Cùng giải nha mọi người...

Giải pt: $\frac{23}{\sqrt{(x-1)(2x+9)}}=x+1$

Cho x,y t/m $x^2+y^2=4$ 

Tìm max của $P=\frac{xy}{x+y+2}$

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $(x+2)(y+2)=\frac{25}{4}$. Chứng minh: $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\geq \sqrt{5}$

Đề Hà Tịnh vòng 1

Có $[(x+2)+(y+2)]^2\geq 4(x+2)(y+2)=25\Rightarrow x+y\geq 1$

Lại có: $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}\geq \frac{x+y+4}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ (BĐT Bunhia)

Hình gửi kèm

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

[TOPIC] Tổng hợp đề năm nay

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

Có: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2\geq 2xy=6\\ (x+y)^2\geq 4xy=12\Rightarrow x+y\leq -\sqrt{12} \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. CMR

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ac}{\sqrt{b+ac}}+\frac{ba}{\sqrt{a+ba}}\leq \frac{1}{2}$

$\sum \frac{bc}{\sqrt{a+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{a(a+b+c)+bc}}=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \sum \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$

p/s: ))

Nguồn: Nhóm Giáo Viên THCS Hà Tĩnh

em ơi, có tại đây: https://diendantoanh...b2c2fracc2c2a2/

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} 3x^2=y(2-xy)\\ y^2=-x(xy+2) \end{matrix}\right.$

Cho 6 điểm nằm trong một hình chữ nhật 3x4. Chứng minh rằng có 2 điểm có khoảng cách $\leq \sqrt{5}$

Ta chia hình chữ nhật thành 5 đa giác như hình vẽ:

Có 6 điểm mà chỉ có 5 hình nên theo nguyên lí Drichle sẽ tồn tại ít nhất 2 điểm thuộc cùng một hình

Và khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng đường chéo $ \leq \sqrt{1^2+2^2}\leq \sqrt{5}$

Cho $a\geq \frac{1}{2}, \frac{a}{b}> 1$. Tìm min của:  $\frac{3a^3+1}{6b(a-b)}$

Mk nghĩ bài này khá quen thuộc     

Cho x,y là các số nguyên không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\left | 5x^2+11xy-5y^2 \right |$

Chứng minh biểu thức S=$n^3(n+2)^2+(n+1)(n^3-5n+1)-2n-1$ chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Ta có: $n^3(n+2)^2+(n+1)(n^3-5n+1)-2n-1=n(n^2(n+2)^2-1)+(n+1)(n^3-5n)=n(n+1)(n^3+3n^2+n-1)+n(n+1)(n^2-5)=n(n+1)(n^3+4n^2+n-6)=(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)$

Dễ dàng chứng minh được tích 5 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 120

Nếu không biết thì tham khảo tại đây

giải hệ phương trình sau:

$ 2x^{2}y+y^{3}=2x^{4}+y^{6} $

$ (x+2)\sqrt{y+1}=(x+1)^{2} $

$\boxed{\text{Bạn nhầm đề không}}$

Phải là x^6

$2x^2y+y^3=2x^4+x^6 \Leftrightarrow (x^2-y)(x^4+2x^2+x^2y+y^2)=0 \Leftrightarrow y=x^2$

Thế vào giải tiếp

Đề bài: Cửa hàng nhận về một số lít nước mắm. Đợt I cửa hàng bán được 3/5 tổng số lít nước mắm đã nhận với giá 1800 đ một lít, tính ra cửa hàng được lãi 72000 đ. Đợt II cửa hàng bán 3/4 số lít nước mắm còn lại với giá 1700 đ một lít và thu được 24000 đ tiền lãi.

Hỏi cửa hàng đã nhận về bao nhiêu lít nước mắm? (Đáp số: 400 lít)

 

- Em suy luận được tới đây:
       Gọi a là tổng số nước mắm cửa hàng có:

         $\frac{3}{5}a+\frac{3}{4}(a-\frac{3}{5}a)$

Gọi $a$ là số nước mắm cửa hàng nhận về, $k$ là giá thực của mỗi lít nước mắm

Ta có: $\left\{\begin{matrix} 1800.\frac{3}{5}a=k.\frac{3}{5}a+72000\\ 1700.\frac{3}{10}a=k.\frac{3}{10}a+24000 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 1800.\frac{3}{5}a=k.\frac{3}{5}a+72000\\ 1700.\frac{3}{5}a=k.\frac{3}{5}a+48000 \end{matrix}\right. \Rightarrow 60a=24000\Rightarrow a=400$

p/s:

Cho 1 bảng gồm $4x4$ ô vuông nhỏ, trên mỗi ô điền cách số tự nhiên $1,2,...,16$. Chứng minh rằng tồn tại $2$ ô kề nhau sao cho hiệu các số nằm trên $2$ ô này không nhỏ hơn $3$

Chuyển từ một ô bất kì sang ô kề nó gọi là một bước. Xét 2 ô ghi số 1 và số 16. Chuyển từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 16 chỉ cần không quá 6 bước chuyển (nhiều nhất là 3 bước theo hàng ngang, 3 bước theo hàng dọc). Tồn tại một bước chuyển có hiệu lớn hơn hoặc bằng 3.

Thật vậy, giả sử tất cả các bước chuyển đều có hiệu nhỏ hơn hoặc bằng 2 thì từ số 1, qua không quá 6 bước chuyển tăng thêm không quá 12, không đạt đến số 16.

Suy ra đpcm