Động lực đằng sau một cường quốc kinh tế là gì? Rốt cục họ đã có một nền giáo dục như thế nào? Những người làm cha làm mẹ, làm cô làm thầy sẽ cảm nhận bài học thấm thía từ câu chuyện vẻn vẹn trong một trang báo mà không hề nhỏ này.

Những tiêu chuẩn “dễ ợt”

Tốt nghiệp mẫu giáo: Có thể nhận biết và phân biệt con số, có thể biểu đạt khái niệm toán học trừu tượng bằng những vật thể cụ thể như hòn sỏi, mẩu giấy, cái que…;

Nhận biết bảng chữ cái, phân biệt nguyên âm và phụ âm; phân biệt được các ngành nghề khác nhau đại ý làm những gì, ví dụ như bác sĩ, giáo viên, người đưa thư, cảnh sát, cảnh sát phòng cháy chữa cháy… hiểu được quá trình diễn biến của cuộc đời sinh vật, bao gồm sinh, lão, bệnh, tử của con người, sâu biến thành bướm,…;



Điều kiện để được vào lớp 1: Có thể đếm từ 1 đến 100, có thể đếm số có hai chữ số hoặc thế nào là bội số của 5, biết số lẻ và số chẵn, biết phép cộng trừ đơn giản...

Học địa lý từ địa cầu, bản đồ; hiểu được rằng trên trái đất có rất nhiều cư dân, rất nhiều quốc gia và những màu da khác nhau, hiểu được rằng người cần ở trong nhà, trẻ em cần đến trường, người trưởng thành cần đi làm…



Lớp 1: Có thể đếm từ 1 đến 100, có thể đếm số có hai chữ số hoặc thế nào là bội số của 5, biết số lẻ và số chẵn, biết phép cộng trừ đơn giản; học cách quan sát, chia ngành phân loại đối với những sự vật và vật phẩm khác nhau;

Có thể lấy dẫn chứng về quá trình diễn biến của sự sống, hiểu được quan hệ sống tương trợ giữa động thực vật trong thiên nhiên; học sử dụng tranh ảnh để biểu đạt ý; hiểu tính tất yếu của việc mặc, ăn, ở và mái ấm gia đình; hiểu rõ quan hệ giữa các thành viên trong gia đình, giữa những người làng xóm.　

Lớp 2: Biết đọc, viết số có ba chữ số, từ năm số tùy ý chọn, có thể đếm xuôi hoặc đếm ngược; vận dụng thành thạo phép cộng trừ đối với số có hai chữ số, biết dùng những đơn vị đo lường như inch (tấc Anh) hoặc centimet để đo độ dài, biết xem đồng hồ;

Đọc sách, duy trì đều đặn việc viết (nhận xét, bình luận) sau khi đọc sách, học cách viết tổng kết, hiểu và phân biệt được những hình thức văn học khác nhau như: thơ, tản văn, tiểu thuyết, truyện ký…,

Biết được sự khác nhau giữa tác phẩm hư cấu và tác phẩm phi hư cấu; bắt đầu học nghiên cứu độc lập về động vật, ví dụ như vấn đề sinh thái của côn trùng…

Lớp 3: Học được cách biến tư liệu thành biểu đồ; biết so sánh sự lớn nhỏ và cộng trừ trong phạm vi 100.000, thành thạo phép cộng, trừ, nhân, chia đối với số có ba chữ số; có thể lấy những tài liệu tại chỗ trong môi trường xung quanh, sưu tập, tổ chức tài liệu, hiểu được cách giữ gìn sức khỏe của con người, hiểu rõ quá trình diễn biến cuộc đời của những động vật nhỏ như:

Ếch, bướm, gà con, chuột bạch…; hiểu cách sử dụng từ điển; có thể hiểu tư tưởng của những tác phẩm và các nhà văn, họa sĩ mình yêu thích biểu đạt, hiểu được các tác phẩm văn học trong các bối cảnh văn hóa khác nhau.

Lớp 4: Dùng máy tính để tính toán những con số rất lớn, so sánh lớn nhỏ trong phạm vi 1.000.000, học số thập phân và phân số, vẽ biểu đồ; có thể giải thích sự khác nhau của khí hậu giữa các vùng đất trên thế giới nhờ bản đồ, hình ảnh, biểu đồ; thông qua việc đọc, hiểu thêm một bước về những thể loại văn học khác nhau, ví dụ như tác phẩm khoa học viễn tưởng, truyện ký,…

Lớp 5: Biết điền, đọc các loại bảng biểu, thành thạo các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân số; có thể vận dụng hệ thống thư viện và các tư liệu để tiến hành nghiên cứu; tiến hành so sánh và tổng hợp các loại tin tức thông qua việc viết bút ký; bắt đầu tự viết những bài văn dạng tả thật (phi hư cấu) và những đoản văn theo thể thức năm đoạn;



Để đủ điều kiện vào lớp 3, học sinh chỉ cần nhận biết được: Ếch, bướm, gà con, chuột bạch…; hiểu cách sử dụng từ điển; có thể hiểu tư tưởng của những tác phẩm và các nhà văn, họa sĩ mình yêu thích...

Học được cách viết chính thức, không chính thức và cách viết thư cho bạn bè; hiểu việc chia ngành phân loại những sách báo khác nhau, có thể nắm được nội dung chủ yếu của một cuốn sách, đồng thời tiến hành bình luận về cấu tứ, bối cảnh, cách xây dựng nhân vật, phương thức biểu đạt, nghệ thuật ngôn ngữ.

“Hỏng bét”?

Nhìn vào những tiêu chuẩn trên, có lẽ nhiều người trong chúng ta sẽ có cảm giác rằng, một học sinh học lớp 5, chuẩn bị tốt nghiệp tiểu học mà yêu cầu về năng lực toán học chỉ là biết cộng, trừ, nhân, chia, thì trình độ… thấp quá.

Có thể thấy, người Mỹ coi trọng nền tảng làm người, quan niệm này đã được bồi đắp từ nhỏ. Cơ sở mà học sinh ở Mỹ cần tạo dựng là ý thức tự tin, thành thực, lương thiện, công bằng, bao dung và độc lập tự chủ để làm người, cũng có nghĩa là, ngay từ nhỏ, họ đã học được giá trị cơ bản của văn hóa Mỹ, chứ không phải là tri thức để phục vụ giá trị cơ bản này.　　

Trước đây và ngay cả hiện nay, vẫn còn không ít cha mẹ người châu Á, đặc biệt là người gốc Hoa ở Mỹ cho rằng giáo dục trung tiểu học ở Mỹ là “hỏng bét”, mà nhiều nhất trong số đó không ai khác chính là những giáo viên trung tiểu học ở Trung Quốc.

Cái mà họ đắc ý là những học sinh đứng đầu trong danh sách đoạt giải thưởng toán quốc tế hàng năm luôn là những học sinh Trung Quốc, giáo dục trung tiểu học ở Mỹ không thể so sánh được với Trung Quốc.

Có lần, trên một tờ báo tiếng Hoa ở Mỹ còn có một bài viết mang tên: “So về toán học, Mỹ chỉ có thể được coi là nước đang phát triển”.　　

“Độ khó” trong bài tập của học sinh tiểu học Mỹ

Một người cha gốc Hoa đưa cậu con trai chín tuổi tới Mỹ, cho con vào học một ngôi trường ở Mỹ thì trong lòng lo lắng vô cùng, không hiểu đó là trường học kiểu gì!

Trong lớp học sinh tự do tùy ý thảo luận, có thể cười ầm ĩ; giáo viên và học sinh thường xuyên cùng ngồi bệt trên mặt đất không phân biệt lớn bé; vào giờ học mà cứ như đang chơi trò chơi; Ba giờ chiều đã là tan học; lại không có sách giáo khoa thống nhất.

Ông đem cho giáo viên xem bài học tiểu học lớp 4 mà con ông đã học ở Trung Quốc, giáo viên nói với ông, cho tới lớp 6, con trai ông không phải học thêm môn toán nữa. Lúc đó, ông bắt đầu hối hận vì đem con đến Mỹ mà làm lỡ việc học của con.

Ở Trung Quốc, cặp sách của học sinh nặng trịch những tri thức, còn nhìn con mình bây giờ, mỗi ngày mang cái cặp nhẹ tênh đến trường, đi học như đi chơi. Một học kỳ nháy mắt đã hết, ông không khỏi nghĩ ngợi, hỏi con, ấn tượng sâu sắc nhất khi đến Mỹ học là gì? Cậu bé đáp: “Tự do”.　

Lại một bận, cứ tan học, đứa trẻ lại chạy tới thư viện rồi mang một lô sách về nhà, thế mà chưa tới hai ngày đã trả. Ông lại hỏi, mượn sách nhiều như thế để làm gì? Con trai đáp: “Làm bài tập”.

Sau đó, ông nhìn thấy tên bài tập mà cậu bé đang làm trên máy vi tính “Trung Quốc hôm qua và hôm nay”, ông kinh ngạc suýt ngất, đây là chủ đề môn học gì vậy? Thử hỏi vị nào đang làm tiến sĩ dám “ôm” đề tài lớn như thế?

Ông chất vấn con trai, đây là chủ ý của ai, cậu bé hồn nhiên đáp: “Thầy giáo nói, Mỹ là một nước di dân, mỗi học sinh đều cần viết một bài về đất nước mà tổ tiên mình đã sinh sống, còn phải phân tích sự khác biệt so với nước Mỹ dựa trên địa lý, lịch sử, nhân văn, đồng thời phải đưa ra quan điểm và cách nhìn của mình”. Người cha im lặng.

Mấy ngày sau, ông thấy bài tập của con trai đã xong, một tập gồm hơn 20 trang giấy, từ Hoàng Hà chín khúc đến văn tự tượng hình; từ con đường tơ lụa tới lá cờ ngũ tinh…

Cả bài văn được viết với một khí thế hào hùng, có lý lẽ, có căn cứ, phân chương phân tiết, đặc biệt là một danh sách thư mục tham khảo ở phần cuối khiến người cha không khỏi bàng hoàng, cái cách thức của một luận văn tiến sĩ này, ngoài ba mươi tuổi ông mới học được.

Đến khi sắp kết thúc học kỳ lớp 6 của con, ông lại được một phen cứng lưỡi, giáo viên đưa ra một loạt câu hỏi liên quan đến “Chiến tranh thế giới thứ hai”, nghe như một kỳ huấn luyện trước khi ứng cử của một thượng nghị sĩ tương lai:

“Bạn cho rằng ai nên chịu trách nhiệm đối với cuộc chiến tranh này?”

“Theo bạn, nguyên nhân thất bại của đảng Nazi (Đức) là gì?”

“Nếu bạn là cố vấn cao cấp của tổng thống Truman, bạn sẽ tỏ thái độ gì đối với việc Mỹ ném bom nguyên tử?”

“Bạn có cho rằng, biện pháp tốt nhất để kết thúc chiến tranh khi đó chỉ là ném bom nguyên tử?”

“Theo bạn, cách tốt nhất để tránh chiến tranh ngày nay là gì?”

Lịch sử nước Mỹ mới chỉ có vẻn vẹn 200 năm, nhưng đã đủ sức mở cánh cửa trí tuệ của các em học sinh.

Sự khác biệt

Người cha này vẫn nhớ rằng khi con trai ông tốt nghiệp tiểu học, cậu bé đã có thể sử dụng thành thạo hệ thống máy vi tính và vi phim của thư viện để tra cứu tư liệu và hình ảnh.

Có lần, hai bố con tranh luận về tập tính săn mồi của sư tử và báo, ngày hôm sau, cậu con trai mượn từ thư viện tập phim về động vật của Hội Địa lý quốc gia Hoa Kỳ, hai cha con vừa xem vừa thảo luận.

Học sinh tiểu học của Mỹ lúc này đã học được phương pháp tìm đáp án ở đâu mỗi khi có nghi vấn. Ngoài thư viện, học sinh trung tiểu học ở Mỹ cũng tìm tài liệu trên các trang web liên quan khi làm bài tập và một số báo cáo nghiên cứu.
Lưu học sinh Trung Quốc tới Mỹ làm tiến sĩ, từ lúc vào học tới lúc tốt nghiệp, giành được học vị tiến sĩ cần năm năm.

Trong viện nghiên cứu sinh, rất nhiều người có cảm giác rằng người Mỹ thường không phải là đối thủ của lưu học sinh Trung Quốc trong chuyện thi lấy học bổng, nhưng cứ đụng tới lĩnh vực thực tiễn, làm một vài vấn đề có tính nghiên cứu, thì người Trung Quốc không thể linh hoạt được bằng người Mỹ, không có tính sáng tạo dồi dào như họ.

Tới khi cầm được bằng tiến sĩ để đi tìm việc, viết sơ yếu lý lịch, họ lại lạc hậu một bước lớn, không biết tự quảng bá cho bản thân mình. Không thể “viết về bản thân mình” không phải vì họ không biết, mà là vì không có đủ bản lĩnh để thể hiện cái “tôi” của mình.

Đương nhiên, điều này có liên quan tới sự bất đồng giữa giáo dục và toàn bộ hệ thống giáo dục cơ sở. Người Trung Quốc chỉ quen phát huy bản lĩnh trong một khung quy định nào đó.

Một khi không còn quy định, mất đi sự chỉ đạo, không nhìn thấy hệ thống quy chiếu vốn có nữa, thì với người Mỹ là giành được tự do, còn với người Trung Quốc, có lẽ chỉ còn lại cảm giác mất phương hướng, khủng hoảng, trống rỗng, không biết dựa vào đâu.

Khi đã công tác được năm năm, mười năm, thực tế ấy lại càng rõ ràng hơn. Người Trung Quốc thường chỉ có thể làm kỹ thuật, cùng lắm là lên quản lý một bộ phận kỹ thuật nào đó, dường như không mấy ai làm được giám đốc công ty lớn.

Người Trung Quốc không phục những ông chủ không giỏi về kỹ thuật và thường băn khoăn: bản lĩnh của họ rốt cục nằm ở đâu?

Bản lĩnh đó là: hiểu được sở trường của từng thành viên trong công ty, giúp họ phát huy tận lực sở trường của mình, nhân viên và công ty cùng hợp tác, nâng cao giá trị của công ty mình trong mắt nhà đầu tư và khách hàng, không ngừng thu hút thêm vốn đầu tư và tăng thêm đầu ra cho sản phẩm…

Hiển nhiên, đây là tác phẩm của một ông chủ, chứ không phải của một công nhân!
(Nguồn : diễn đàn vật lý Việt Nam )

Tìm GTNN của biểu thức :
$(1+cos^{2}A)(1+cos^{2}B)(1+cos^{2}C)$
trong đó A,B,C là ba góc của một tam giác

Logo quả táo khuyết của Apple thì ai cũng biết và rất nổi tiếng nhưng ít ai biết cách mà các nhà thiết kế đã tạo ra nó, hay nói cách khác là nó được vẽ ngẫu nhiên hay theo một tỉ lệ nào? Thật tuyệt vời khi người ta khám phá ra rằng logo quả táo được thiết kế theo tỉ lệ vàng được giới hội hoạ và kiến trúc áp dụng trên những tác phẩm kinh điển. Cụ thể, Rob Janoff đã tạo nên logo Apple dựa trên hình chữ nhật vàng và dãy số Fibonacci huyền ảo. Không chỉ có logo quả táo, logo iCloud mới đây, logo Mac OS Lion, iPhone 4 cũng chịu ảnh hưởng từ tỉ lệ vàng (Golden Ratio).


Tỉ lệ vàng trong toán học là một phát minh rất quan trọng và đã có từ lâu đời. Theo Wikipedia, "hai đại lượng được gọi là có tỷ số vàng hay tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng của các đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn với đại lượng nhỏ hơn". Tỉ lệ vàng được ký hiệu bằng ký tự "phi" (φ) và 1 phi bằng 1,618033..., đó là một số vô tỷ. Tỉ lệ vàng được phát minh ra từ khi nào thì không ai biết chính xác, chỉ biết rằng nó đã tồn tại từ cách đây hàng ngàn năm và ứng dụng của nó cũng không hề nhỏ. Các kiến trúc kinh điển như đền thờ Parthenon, Hy Lạp; kim thự tháp Keop (Cheops) hay khuôn mặt nàng Mona Lisa cũng được vẽ theo tỉ lệ vàng... Tỉ lệ vàng trong những tác phẩm kể trên được diễn tả theo một hình chữ nhật vàng, hình có cạnh dài và cạnh ngắn là một tỷ số vàng. Không chỉ có các kiến trúc, hội hoạ áp dụng tỉ lệ vàng mà cơ thể con người, các bông hoa, sự sắp xếp cánh hoa, nhị hoa cũng có sự tồn tại của tỉ lệ vàng.

Bên cạnh đó, tỉ lệ vàng cũng có sự liên hệ với dãy số nguyên Fibonacci. Đây là một dãy số tự nhiên và vô hạn, bắt đầu từ số 0 với quy tắc số sau luôn bằng hai số trước cộng lại. Những số đầu trong dãy Fibonacci gồm: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Lấy ví dụ số 8 bằng số 3 và 5 cộng lại hay số 34 bằng hai số 13 và 21 cộng lại...

Như vậy chúng ta đã hiểu tỉ lệ vàng quan trọng và độc đáo tới mức nào, đặc biệt là trong thiết kế. Apple là một trong số những hãng sản xuất ứng dụng tỉ lệ vàng vào thiết kế các sản phẩm của mình nhất. Người ta tìm thấy sự hiện diện của tỉ lệ vàng trong logo Apple, logo iCloud, thiết kế iPod, thiết kế iPhone và máy Mac... Đầu tiên hãy khám phá logo Apple, logo iCloud và sau đó là thiết kế iPhone 4/4S theo tỉ lệ vàng, hình chữ nhật vàng và dãy số nguyên Fibonacci.

1. Logo Apple

Ban đầu logo Apple là một hình chữ nhật được thiết kế với hình ảnh Newton ngồi dưới gốc cây táo nhưng sau đó Apple quyết định đổi logo nhận diện thương hiệu thành hình ảnh quả táo khuyết một miếng ở bên phải. Logo này được sử dụng từ những năm 1976 và hình dáng của nó không thay đổi từ khi đó tới bây giờ, dù màu sắc có khác.

Logo quả táo không phải được vẽ một cách ngẫu nhiên trên máy tính mà nó tuân theo hình chữ nhật vàng và dãy số nguyên Fibonacci. Hình chữ nhật được sử dụng để tạo nên kích thước và kiểu dáng của quả táo khuyến Apple có các hình vuông nhỏ bên trong được phân chia theo dãy số Fibonacci (hình dưới). Hình dáng của quả táo, các đường cong ở hai đầu của quả táo, "vết cắn" bên phải, lá của quả táo đều được tạo hình từ hình chữ nhật vàng với kích thước tuân thủ dãy Fibonacci.


Với các hình tròn trong thiết kế logo Apple, giả sử chúng có đường kính là các số trong dãy Fibonacci (hình trên) thì chiếc lá táo được tạo thành từ hai hình tròn với đường kính là 8. Vết cắn trên thân táo cũng tạo nên bởi một phần của hình tròn đường kính 8. Đường cong phía dưới đáy được tạo thành từ hai hình tròn 5, một hình tròn 8 và một hình tròn với đường kính là 1. Sự cân đối trong logo Apple có được cũng là do tỉ lệ vàng này.

2. Logo iCloud



iCloud là một dịch vụ đám mây mới được Apple giới thiệu và logo của dịch vụ này mô tả một đám mây bồng bềnh trôi. Hình dáng của đám mây đó nằm trong một hình chữ nhật vàng và các gợn mây được tạo nên bởi những hình tròn theo tỉ lệ 1,6 (tỉ lệ vàng). Nếu hình chữ nhật để tạo nên logo iCloud có tỉ lệ hai cạnh là 1:1,6 thì bốn hình tròn bên trong cũng theo tỉ lệ 1:1,6 này.

Không chỉ Apple mà logo của những thương hiệu nổi tiếng khác cũng được cho là sử dụng tỉ lệ vàng để thiết kế. Người ta còn nhìn thấy tỉ lệ vàng với các đường xoắn ốc trong biểu tượng của HĐH Mac OS X Lion (hình đầu con sử tử). Hãy quan sát và suy nghĩ với hình minh hoạ phía dưới.



3. Thiết kế iPhone 4/4S

Không chỉ có logo mà Apple còn được cho cũng sử dụng tỉ lệ vàng vào thiết kế phần cứng, hãy lấy ví dụ với iPhone 4. Hình dáng của iPhone 4 là một hình chữ nhật vàng với các chi tiết bên trong tuân theo quy luật này. Tỉ lệ vàng còn được tìm thấy ở việc sắp xếp vị trí jack tai nghe, ăng-ten sóng gần đó, micro phụ và cụm camera/đèn flash phía sau máy.







Thậm chí là cả bố cục trang web của Apple


Nguồn: Wikipedia, Buzzfeed, TYWKIWDBI, Stam-Design-Stam, Paul Martin Blog

Cho hệ phương trình: $$\begin{cases} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0 \\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}+m=0\end{cases}.$$ Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm.

ĐKXĐ : $-1\leq x\leq 1 ; 0\leq y\leq 2$
Ta có : $x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x-2=0$
$\Leftrightarrow (x+1)^{3}- 3(x+1)^{2}= y^{3}- 3y^{2}$
Ta có hàm $f(t)= t^{3}-3t^{2}$ nghịch biến trên đoạn $\left [ 0;2 \right ]$ nên suy ra $y=x+1$
Thay $y=x+1$ vào PT $2$ :
$x^{2}-2\sqrt{1-x^{2}}+m=0$ ( )
Đặt $a=\sqrt{1-x^{2}}$ suy ra $a \epsilon \left [ 0;1 \right ]$
( ) trở thành : $a^{2}+2a-1=m$
Xét $f(a)=a^{2}+2a-1$ trên $ \left [ 0;1 \right ]$ suy ra $m\epsilon \left [ -1;2 \right ]$

Russia Sharygin Geometry Olympiad 2012

Bài 1 :

Trong $\Delta ABC$ gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $D$ là chân đường cao hạ từ $C$ xuống $AB$ CMR: $\angle A = 2\angle B \Leftrightarrow AC = 2 MD$.

Bài 3 :

Một đường tròn tâm $I$ tiếp xúc với các cạnh $AB,BC,CA$ của $\Delta ABC$ tại các điểm $C_{1},A_{1},B_{1}$. Đường thẳng $AI, CI, B_{1}I$ giao với đường thẳng $A_{1}C_{1}$ tương ứng tại các điểm $X, Y, Z$. CMR: $\angle Y B_{1}Z = \angle XB_{1}Z$.

Bài 4 :

Cho $\Delta ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $P$ là hình chiếu của $B$ tới đường trung trực của đoạn thẳng $AC$. Đường thẳng $PM$ giao với đường thẳng $AB$ tại $Q$. CMR: tam giác $QPB$ cân.

Bài 5 :

Trên cạnh $AC$ của tam giác $ABC$ lấy một điểm $D$ bất kì. Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDC$ giao với đường thẳng $AB$ tại $C_{1}$; điểm $A_{1}$ được xác định tương tự. CMR : $A_{1}C_{1}\parallel AC$.

Bài 6 :

Cho tam giác vuông $ABC$. Trên cạnh huyền $AC$ lấy điểm $C_{1}$, trên cạnh $AB$ lấy điểm $C_{2}$ sao cho $BC = CC_{1}$, $AC_{2} = AC_{1}$. Điểm $A_{2}$ được xác định tương tự . Tính góc $AMC$ biết $M$ là trung điểm của cạnh $A_{2}C_{2}$.

Bài 7 :

Cho tam giác $ABC$ không cân. Các đường phân giác góc $A$ và góc $B$ tỉ lệ nghịch với độ dài tương ứng. Tính góc $C$.

Bài 8 :
Cho $BM$ là đường trung tuyến của tam giác vuông $ABC (\angle B = 90^{\circ})$. Đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$ tiếp xúc với các cạnh $AB, AM$ tại các điểm $A_{1},A_{2}$. Điểm $C_{1}, C_{2}$ được xác định tương tự . CMR : các đường thẳng $A_{1}A_{2}$ và $C_{1}C_{2}$ và đường phân giác của góc $ABC$ đồng quy.

Bài 9 :

Trong tam giác $ABC$, đường thẳng $l_{b}$ và $l_{c}$ chứa các đường phân giác của các góc $B$ và góc $C$. Gọi $L_{1}$ là chân đường phân giác của góc $A$. Dựng tam giác $ABC$.

p/s : các bạn TNV vào dịch tiếp nhé @@

Giải hệ PT : $\begin{cases} x^{3}(2+3y)=8 \\ x(y^{3}-2)=6 \end{cases}$

Bạn chép nhầm đề bài rồi.Phải là : $\begin{cases} x^{3}(2+3y)=8 \\ x(y^{3}-2)=6 \end{cases}$
Khi đó dễ thấy $x=0$ không phải nghiệm của HPT.
Ta có :

$\left\{\begin{matrix} 2+3y= \frac{8}{x^{3}}\\ y^{3}- 2=\frac{6}{x} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow y^{3}+3y= (\frac{2}{x})^{3}+ 3. \frac{2}{x}$
Ta thấy hàm $f(t)= t^{3}+3t$ đồng biến trên $R$ nên ta suy ra $y= \frac{2}{x}$
Đến đây thì OK

Gọi $x_{1},x_{2},x_{3}$ là 3 nghiệm của phương trình $x^{3}+px+q=0$ p,q$\epsilon \mathbb{R}$
CMR $x_{1}^{3}+x _{2}^{3}+x_{3}^{3}= 3x_{1}x_{2}x_{3}$

Theo Vi-et , ta có : $x_{1}+ x_{2}+x_{3}= 0$
Ta có hằng đẳng thức :
$x_{1}^{3}+ x_{2}^{3}+x_{3}^{3}-3x_{1}x_{2}x_{3}$
$= ( x_{1}+x_{2}+x_{3})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{1}x_{2} - x_{2}x_{3}-x_{3}x_{1} )= 0$
$\Rightarrow x_{1}^{3}+ x_{2}^{3}+x_{3}^{3} = 3x_{1}x_{2}x_{3}$

Bài 1 :
Một hệ gồm $2$ lò xo $L _{1},L_{2}$ có độ cứng $k _{1}= 60 N/m ,k_{2}= 40N/m$ một đầu gắn cố định, đầu còn lại gắn vào vật $m$ có thể dao động điều hòa theo phương nằm ngang. Khi ở trạng thái cân bằng lò xo $L _{1}$ bị nén $2$ cm. Lực đàn hồi tác dụng vào $m$ khi vật có li độ $1$ cm là :
A. $4N$
B. $1,5N$
C. $2N$
D. $1N$

Tham khảo tại đây

Cho hàm số $f :N^{*} \to N^{*}$ thỏa mãn :
+ $f(f(n))= 3n$
+ $f$ tăng ngặt trên $N^{*} $
Tính $f(2013)$

Bài 2 :
Cho hàm số $f$ xác định trên tập hợp số nguyên và nhận giá trị trong tập đó, thỏa mãn : $f(1)=0$ và $f(m)+f(n)+3(4mn-1), với mọi $m,n$ nguyên.
Tính $f(19)$

Giải bất phương trình sau :
$\frac{\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}}{2}\leq x+\sqrt{x^2-16}-6$

ĐKXĐ: $x\geq 4$
$BPT\Leftrightarrow \sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}\leq (x+4)-(x-4)+2 \sqrt{x^{2}-16} -12$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}\leq (\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4})^{2}-12$
Đặt :
$t= \sqrt{x+4}+\sqrt{x-4} , (t\geq 0)$
$BPT\Leftrightarrow t^{2}-t-12\geq 0 \Leftrightarrow t\geq 4$
...............................

$\sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}=4x^{4}-3x^{2}+5x$

ĐKXĐ : $x\geq \frac{3}{8}$
Áp dụng bđt A-G, ta có :
$\sqrt{4x-1}\leq \frac{4x-1+1}{2}= 2x$
$\sqrt[4]{8x-3}\leq \frac{8x-3+1+1+1}{4}= 2x$
Xét : $4x^{4 }-3x^{2}+5x-(2x+2x)= 4x^{4 }-3x^{2}+x = x(2x-1)^{2}(x+1)\geq 0$
$\Rightarrow \sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}\leq 4x\leq 4x^{3}-3x^{2}+5x$
Đẳng thức xảy ra khi $x=\frac{1}{2}$

giải pt: .$\sqrt{2-x\sqrt{2}}+\sqrt[4]{2x-2}=1$

ĐKXĐ : $1\leq x\leq \sqrt{2}$
Đặt $u=\sqrt{2-x\sqrt{2}} ; v = \sqrt[4]{2x-2}$ (ĐK: ...)
$PT\Leftrightarrow v^{4}+\sqrt{2}u^{2}+2-2\sqrt{2}= 0$
$PT\Leftrightarrow (v^{2}+\sqrt{2})^{2}-\sqrt{2}(v+1)^{2}= 0$
$PT\Leftrightarrow v=\frac{4\sqrt{2}\pm \sqrt{4\sqrt[4]{2}-3\sqrt{2}}}{2}\Rightarrow x=...$

.$2x^{2}+4=5\sqrt{x^{3}+1}$

Ta có :
$PT\Leftrightarrow 2(x^{2}+2)= 5\sqrt{(x+1)(x^{2}-x+1)}$
Đặt $a= \sqrt{(x+1) }; b= \sqrt{ x^{2}-x+1 }$ (ĐK: ... )
$PT\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2})=5ab \Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)= 0$

Bạn xem tại đây

Rút gọn
$P= tanb + 2tan2b + 4tan4b + 8tan8b + 16tan16b + 32tan32b$

Áp dụng công thức : $cotb-tanb = 2cot2b$
Ta có :
$cotb-P = 2cot2b - 2tan2b -4tan 4b -8tan8b -16tan16b-32tan32b$
$= 4cot4b -4tan 4b -8tan8b -16tan16b-32tan32b$
$= 8cot8b -8tan8b -16tan16b-32tan32b$
$= 16cot16b -16tan16b-32tan32b$
$= 32cot32b-32tan32b= 64cot64b$
$\Rightarrow P= cotb- 64cot64b$

$\left\{\begin{matrix} 3sin^{2}a & + & 2sin^{2}b & = &1 \\3sin2a &- &2sin2b & = & 0 \end{matrix}\right.$
cmr: a + 2b = 90^o

Từ $PT(1)\Rightarrow 3sin^{2 }\alpha=1-2sin^{2}\beta = cos2\beta (1)$
$PT(2)\Rightarrow sin2\beta =\frac{3}{2}sin2\alpha =3sin\alpha cos\alpha (2)$
Mặt khác, ta có : $cos(\alpha +2\beta )= cos \alpha cos2\beta -sin\alpha sin2\beta (3)$
Thay (1) , (2) vào (3), ta được :
$cos(\alpha +2\beta )= 3sin^{2}\alpha cos\alpha -3sin^{2}\alpha cos\alpha = 0$
$\Rightarrow a+2b=90^{0}$
------------------
p/s: Mình nghĩ bài này cần thêm điều kiện : $0< a, b < 90^{0}\Rightarrow 0< a+2b < 270 ^{0}$ thì mới có đpcm vì $cos(\alpha +2\beta )=0\Rightarrow \alpha +2\beta =90^{0}+180k,(k\epsilon Z)$

Tính $ a^4 + b^4$, biết a và b là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{matrix} x+y =4& & \\ (x^2+y^2)(x^3+y^3)&=280 & \end{matrix}\right.$

Ta có:
$(x^{2}+y^{2}).(x^{3}+y^{3})= ((x+y)^{2}-2xy).((x+y)^{3}-3xy(x+y))$
$=(16-2xy).(64-12xy)=280\Rightarrow xy=\frac{31}{3}$ hoặc $xy=3$
Từ đây áp dụng công thức
$x^{4}+y^{4}=(x+y)^{4}-4(x+y)^{2}.xy+2(xy)^{2}$
............. đến đây nhường em

tính tổng sau:
$ C_3^1+2C_4^2+3C_5^3+...+nC_{n+2}^n $

Ta có :
$kC_{k+2}^{k}= k.\frac{(k+2)!}{k!.2!}= \frac{1}{2}.k.(k+1).(k+2)$
do đó :
$\sum_{1}^{n}(k.C_{k+2}^{k})=\frac{1}{2}.\sum_{1}^{n}(k.(k+1).(k+2))$

$= \frac{1}{2}.\frac{n.(n+1).(n+2).(n+3)}{4}$ ( ta có thể chứng minh dễ dàng bằng quy nạp )

$= \frac{n.(n+1).(n+2).(n+3)}{8}$

Bài này phải chuyển qua topic PT lượng giác chứ nhỉ
---------------------
Nhờ mod chuyển giùm, đừng khóa chủ đề này nha . Thanks!

$2cos^{2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+1=3(sinx+\sqrt{3}cosx)$

Bạn chú ý là $1= sin^{2}x+cos^{2}x$, sau đó biến đổi VT thành hằng đẳng thức là ra

Bài 1 :
Tìm $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}(\frac{1}{cosx}-tanx)$

Bài 2 :
Tìm $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{3}}\frac{sinx-\sqrt{3}}{cosx}$

Bài 3 :
Tìm $\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{4}}\frac{ \sqrt[3]{tanx}-1}{ 2sin^{2}x-1}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. \[SA \bot (ABCD),\,SA = a\sqrt 3 \]. Tính d(O;SB)

Sơ lược cách giải:

Trong $(SOB)$ hạ $OH \perp SB$ thì $d(O;SB) =OH$.
Tính $OH$ :
_ có $SA \perp OB, AC \perp OB \Rightarrow SO\perp OB$, áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta SOB$ vuông ta tính được $OH$.

Cho hàm số $y=x^3-3x^2+2 ©$
Tìm những điểm trên đường thẳng $y=2$ sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến $©$

Bài này đã có ở đây .
Đề nghị mod cho off topic

$2\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi }{2})cosx=1$

Bạn sử dụng công thức cộng biến đổi $sin(x-\frac{\pi }{2})$ là ra mà

Gọi $\alpha ,\beta$ là nghiệm của PT $ax^{2}+bx+c=0$ . Tìm
$\lim_{x\rightarrow \alpha }(1+ax^{2}+bx+c)^{\frac{1}{x-\alpha }}$