Cho các số thực $a, b, c$ . Chứng minh bất đẳng thức : $$\dfrac{1 + a^2b^2}{(a - b)^2} + \dfrac{1 + b^2c^2}{(b - c)^2} + \dfrac{1 + c^2a^2}{(c - a)^2} \ge \dfrac{3}{2}$$

dùng 2 đẳng thức $\frac{1+ab}{a-b}.\frac{1+bc}{b-c}+\frac{1+bc}{b-c}.\frac{1+ca}{c-a}+\frac{1+ca}{c-a}.\frac{1+ab}{a-b}=1$ $$\frac{1-ab}{a-b}.\frac{1-bc}{b-c}+\frac{1-bc}{b-c}.\frac{1-ca}{c-a}+\frac{1-ca}{c-a}.\frac{1-ab}{a-b}=-1$$

Anh Hân giải dùm bai BĐT đi

$\sqrt{x}=a, \sqrt{y}=b$

$(0 \leq a,b \leq \frac{\sqrt{2}}{2} )$

can c/m $\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{a^2+1} \leq \frac{2\sqrt{2}}{3}$

ta co $\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{a^2+1} =\frac{a^3+b^3+a+b}{(a^2+1)(b^2+1)}$

$a^3 \leq \frac{\sqrt{2}}{2} a^2$

$b^3 \leq \frac{\sqrt{2}}{2} b^2$

$(a-\frac{\sqrt{2}}{2})(b-\frac{\sqrt{2}}{2}) \geq 0 \Rightarrow a+b \leq \sqrt{2}ab+\frac{\sqrt{2}}{2}$

$a^2b^2+\frac{1}{4} \geq ab$

$a^2+b^2 \geq 2ab$

tu cac dieu tren => dpcm

Tìm GTNN của: $y=3\sqrt{x-1}+4\sqrt{5-x}$ với $1\leq x\leq 5$

$y \geq 3(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}) \geq 3\sqrt{x-1+5-x} =6$

$"=" \Leftrightarrow x=5$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=12$. CMR: trong 3 pt sau có 1 pt vô nghiệm và1 pt có nghiệm:
$x^{2}+ax+b=0 (1); x^{2}+bx+c=0(2); x^{2}+cx+a=0 (3)$

$\Delta _1 =a^2-4b$

$\Delta _2 =b^2-4c$

$\Delta _3 =c^2-4a$

Gs $a=max\left \{ a, b, c \right \}$

* $a>b>c \Rightarrow \Delta _1 >0, \Delta _3 <0$

*$a>c>b \Rightarrow \Delta _1 >0, \Delta _2 <0$

cho hình vuông ABCD cạnh a, E thuộc AB.ĐƯờng thẳng CE cắt đường thẳng AD tại I . đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt đường thẳng AB tại K .
a ) CM : tứ giác ACKI là tứ giác nội tiếp
b) CI=CK
c) vẽ EM vuông góc với IK ( M thuộc Ik ) CMR :E thay đổi trên AB thì M luôn được 1 đường thẳng cố định ?
d) tính S tam giác ACI theo a và x = EA

IC=CK, IC vuông góc vs CK $\Rightarrow$ $\Delta ICK$ vuông cân ở C $\Rightarrow \Delta IME$vuông cân ở M $\Rightarrow$ IM=ME

tg IMEA nội tiếp có IM=ME $\Rightarrow$ AM là p/g $\angle IAB \Rightarrow \angle MAB =45^{\circ}$
P/S : tam giác là /Delta nhé bạn còn suy ra là \Rightarrow các CT đó kẹp giữa 2 dấu đôla ($công thức$) sẽ hiện ra

Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. D thuộc AC sao cho $AD=\frac{1}{3}AC$. Qua M kẻ đương thẳng vuông góc với BD cắt BD tại H. Chứng minh HC là phân giác $\widehat{MHD}$

kéo dài MH cắt AB tại E

đặt AD=a ta tính đc

$BM=\frac{3\sqrt{2}}{2a}$

$BD=\sqrt{10}a$

$BH=\frac{3\sqrt{10}}{5}a$

$HM=\frac{3\sqrt{10}}{10}a$

AE=a mà tg EHDA nt => HA là p/g ^EHD

tg BHM đồng dạng tg CHA => AH vuông góc vs HC

vậy HC là p/g góc MHD

$(a+b)^2> (a-b)^2 \Rightarrow |a+b| > |a-b| \Rightarrow |a+b|.|a-b| \geq |a-b|^2 \Rightarrow |a^2-b^2| \geq (a-b)^2$

Cho pt $x^{2}-2x-(m-1)(m-3)=0$. Tìm m để pt có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ mà $A=(x_{1}+1)x_{2}$ có GTLN.

$\Delta'=(m-2)^2 \geq 0$

$A=(x_1+1)x_2 \leq \frac{(x_1+x_2+1)^2}{4} = \frac{9}{4}$

$\Rightarrow A=\frac{9}{4} \Leftrightarrow x_1+1=x_2 \Leftrightarrow x_1=\frac{1}{2}; x_2=\frac{3}{2} \Leftrightarrow -(m-1)(m-3) =\frac{3}{4}$

http://diendantoanho...showtopic=69783

P/S : có câu này cho bạn nè , Gọi giao điểm của BD và IK là N . CM: N là trung điểm IK ( tốt nhất tự luyện nhé )

$\frac{IM}{IN}=\frac{IA}{ID}=\frac{IE}{IC}=\frac{\sqrt{2}IM}{\frac{IK}{\sqrt{2}}} =\frac{2IM}{IK} \Rightarrow IK=2IN$

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là điểm thuộc cạnh AC, Kẻ tia Ax vuông góc BM cắt BC tại H, Gọi H là trung điểm của CK, kẻ KI vuông góc với BM cắt AB tại I. Tính $ \widehat{AIM}$.

kẻ $CE\perp BM (E\in AB)$

$\Delta BAM=\Delta CAE(gcg)\Rightarrow AM=AE$

do đó $\frac{QA}{BQ}=\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AB}=\frac{HC}{BH}=\frac{KH}{BH}=\frac{IQ}{BQ} \Rightarrow IQ=QA \Rightarrow \widehat{AIM} =45^o$

Bạn giải rõ hơn được không? Khó hiểu wa, tại sao

* $a>b>c \Rightarrow \Delta _1 >0, \Delta _3 <0$

*$a>c>b \Rightarrow \Delta _1 >0, \Delta _2 <0$

$a>b>c \Rightarrow a > \frac{a+b+c}{3}=4 \Rightarrow a^2-4b > 4a-4b>0$

tg tu vs may cai kia

dung bunyakovsky c/m bdt tq:

$\sum_{i=1}^{n}\frac{S_2-a_i^2}{S_1-a_i} \leq \frac{nS_2}{S_1}$

trong do

$S_1=\sum_{i=1}^{n}a_i$

$S_2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2$

$a_i>0 (i= \overline{1;n})$

Cho tam giác ABC nội tiếp ($O;R$). Gọi I là điểm bất kì trong tam giác ABC (I không nằm trên các cạnh của tam giác). Các tia AI, BI, CI cắt lần lượt BC, CA, AB tại M, N và P.
Chứng minh: $\frac{1}{AM.BN}+\frac{1}{BN.CP}+\frac{1}{CP.AM} \leq \frac{4}{3(R-OI)^2}$.

$2=\frac{AI}{AM}+\frac{BI}{BN}+\frac{CI}{CP} \leq \frac{OA-OI}{AM}+\frac{OB-OI}{BN}+\frac{OC-OI}{CP}=(R-OI)(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP})$

$\Rightarrow \frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP} \leq \frac{2}{R-OI}$

$\Rightarrow \frac{1}{AM.BN}+\frac{1}{BN.CP}+\frac{1}{CP.AM} \leq \frac{1}{3}(\frac{1}{AM}+\frac{1}{BN}+\frac{1}{CP})^2 \leq \frac{4}{3(R-OI)^2}$

Theo ông Cauchy thì : $ a^{3}+b^{3}+1\geq 3ab\Rightarrow a^{3}b^{3}(a^{3}+b^{3}+1)\geq 3(ab)^{4}$ CMTT : $ b^{3}+c^{3}+1\geq 3bc\Rightarrow b^{3}c^{3}(b^{3}+c^{3}+1)\geq 3(bc)^{4}$ $ c^{3}+a^{3}+1\geq 3ca\Rightarrow c^{3}a^{3}(c^{3}+a^{3}+1)\geq 3(ca)^{4}$ Ta sẽ CM : $ \sum a^{3}b^{3}(a^{3}+b^{3}+1)\leq 9$ Đặt $ a^{3}=x,b^{3}=y,c^{3}=z$ $ \Rightarrow x+y+z=3$ Ta sẽ CM vs $ x+y+z=3$ thì $ \sum xy(x+y+1)\leq 9$ (1) BDt $ \Leftrightarrow \sum xy(x+y)+\sum xy\leq 9$ Theo BDT Schur : $ 27= (x+y+z)^{3}= \sum x^{3}+3\sum xy(x+y)+6xyz$ $ = (\sum x^{3}+3xyz)+3\sum xy(x+y)+3xyz$ $ \geq 4\sum xy(x+y)+3xyz$ $ \Rightarrow \sum xy(x+y)\leq \frac{27-3xyz}{4}$ Thay vào (1) Ta sẽ CM : $\frac{27-3xyz}{4}$ $ +xy+yz+zx\leq 9$ $ \Leftrightarrow 4(xy+yz+zx)\leq 9+xyz$ ( luôn đúng theo BĐT Schur kết họp vs GT : $ x+y+z=3$ ) Vậy bất đẳng thúc ban đầu đúng . Dấu "=" xay ra khi và chỉ khi x=y=z=1.

đến chỗ BDt $ \Leftrightarrow \sum xy(x+y)+\sum xy\leq 9$ thì dùng luôn $\sum xy(x+y)=pq-3r $ nhanh hơn

2.

$A= x^2y(4 - x - y)$

$* 6 \geq x+y \geq 4 \Rightarrow A \leq 0 \Rightarrow Max_A = 0 \Leftrightarrow x + y = 4 (1)$

$* 0 \leq x + y <4 $

$A = 4 . \frac{x}{2} . \frac{x}{2} . y ( 4 - x - y) \leq 4. \bigg ( \frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y + 4 - x - y}{4} \bigg ) ^4 = 4$

$\Rightarrow A \leq 4 \Leftrightarrow x=2; y=1 (2)$

từ (1) và (2) $\Rightarrow Max_A = 4 \Leftrightarrow x=2;y=1$

$* 0 \leq x + y <4 \Rightarrow A \geq 0 \Rightarrow Min_A = 0 \Leftrightarrow x + y =4 (3)$

$* 6 \geq x+y \geq 4 \Rightarrow A<0$

$ -A = 4 . \frac{x}{2} . \frac{x}{2} . y ( x + y -4) \leq 4. \bigg ( \frac{\frac{x}{2} + \frac{x}{2} + y + x + y - 4}{4} \bigg ) ^4 = 64$

$\Rightarrow A \geq -64 \Leftrightarrow x=4; y=2 (4)$

từ (3) và (4) $\Rightarrow Min_A = -64 \Leftrightarrow x=4; y=2$

Cho $x,y>0$. Và x+y=1
Tìm min của $ P=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Đề thi thử ĐH Trường Lê Hồng Phong Nam Định

Sr gõ thiếu đề

C1:

$P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}} \geq \frac{(x+y)^2)}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}} \geq \frac{1}{\sqrt{(xy+xy)(x+y)}} \geq \sqrt{2}$

C2:

$P \geq 2\sqrt{2}(\frac{x}{2y+1}+\frac{y}{2x+1})=2\sqrt{2}.\frac{2x^2+2y^2+x+y}{(2x+1)(2y+1)} \geq 2\sqrt{2}.\frac{2}{4xy+3}\geq \sqrt{2}$

C3:

$P \geq (2\sqrt{2}x-2x\sqrt{y})+(2\sqrt{2}y-2y\sqrt{x})=2\sqrt{2}-2\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \geq \sqrt{2}$

chi nho tung day thoi

$x^4+y^4+z^4=1984-104x$

với các số nguyên dương x, y, z:

$1984-104x \vdots 8 \Rightarrow x^4+y^4+z^4 \vdots 8$

$\Rightarrow$ trong 3 số chính phương $x^4, y^4, z^4$ hoặc có 2 số lẻ, 1 số chẵn hoặc 3 số cùng chẵn

mặt khác dễ thấy nếu trong 3 số $x^4, y^4, z^4$ hoặc có 2 số lẻ, 1 số chẵn thì $x^4+ y^4+ z^4$ chia 8 dư 2 (mâu thuẫn) X

do đó $x^4, y^4, z^4$ đều chẵn $\Rightarrow$ x, y, z chẵn

suy ra

$20^x\equiv (-1)^x (mod3) \Rightarrow 20^x\equiv 1 (mod3)$

$11^y\equiv (-1)^y (mod3) \Rightarrow 11^y\equiv 1 (mod3)$

$1969^z\equiv 1^z (mod3) \Rightarrow -1969^z\equiv -1 (mod3)$

như vậy $A=20^x+11^y+1969^z \equiv 1(mod3) \Rightarrow 4A \equiv 1 (mod3)\Rightarrow 4A+1 \equiv 2(mod3)$ (1)

giả sử A có thể viết dưới dạng $a^2+a$ $(a \in N)$

$\Rightarrow 4A+1 =4a^2+4a+1=(2a+1)^2$ là số chính phương $\Rightarrow 4A+1$ chia 3 dư 0 hoặc 1 (mâu thuẫn với (1))

do đó điều giả sử sai

Vậy A ko thể viết dưới dạng $a^2+a$ $(a \in N)$

Chỗ X lý luận không "đẹp"
D-B=14.2h
E=9
F=0
S=60.8

Đây là sơ lược hướng làm của mình cho bài này (tư tưởng đưa về 1 biến)
Không mất tính tổng quát giả sử $0\leq x\leq y\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$
$S\leq \frac{x}{x^2+1}+\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{x^2+1}$
$2S\leq \frac{2x}{x^2+1}+\frac{\sqrt{2}}{x^2+1}$
Ta cần chứng minh $\frac{2x}{x^2+1}+\frac{\sqrt{2}}{x^2+1}=\frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+1}\leq \frac{4\sqrt{3}}{3}$
Tới đây dùng biến đổi tương đương $\to $ Q.E.D

đến chỗ cuối biến đổi tương đương có ra đâu?

bạn làm thế là ngộ nhận E, M, D thẳng hàng rồi còn đâu

theo mình thì câu a dùng pp trùng

b, kẻ NK vuông góc với AM( M thuộc Ax)

$\Delta ANK=\Delta BMA (gcg)\Rightarrow AK=AB$

do đó K cố định, suy ra N thuộc đường tròn đường kính AK

còn lại bạn tự giới hạn nhé

c, dễ thấy AH+HM nhỏ nhất khi M phải thuộc cung nhỏ IB (I là điểm chính giữa cung AB)

do đó $AH+HM=AO+HO+HM \leq R+\sqrt{2(HO^2+HM^2)}=R+\sqrt{2OM^2}=(1+\sqrt{2})R$

dấu "=" xảy ra khi HM=HO $\Leftrightarrow \angle MOB=45^o$

- $\frac{2x}{3x^{2}-x+2}+\frac{-7x}{3x^{2}+7x+2}=1$
- $\frac{x^{2}+2}{x^{2}-2x+2}-\frac{x^{2}+2}{x^{2}+3x+2}=\frac{5}{2}$

* x=0 k la no
* $x\neq 0$
$\frac{2x}{3x^{2}-x+2}+\frac{-7x}{3x^{2}+7x+2}=1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3x+\frac{2}{x}-1}+\frac{-7}{3x+\frac{2}{x}+7}=1$

$\Leftrightarrow \frac{2}{a-1}-\frac{7}{a+7}=1$

...

cau kia tuong tu

$(a^2-1)(b^2-1)=1\Rightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1=1\Rightarrow a^2b^2=a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow ab\geq 2$ Khi đó: $P=|1+ab|+|a+b|\geq |1+2|+\sqrt{(a+b)^2}\geq 3+\sqrt{4ab}\geq 3+2\sqrt{2}$ Dấu bằng xảy ra khi $a=b=\sqrt{2}$ Vậy $minP=3+2\sqrt{2}$ khi $a=b=\sqrt{2}$ P/s:

min P=1 chứ

cậu sai ngay ở dòng đầu rồi

xem lại đi

Ai giải giúp mình bài BĐT này với...Mình suy nghĩ mãi k ra...Mình cảm ơn trước nhé

$b+c \geq 2\sqrt{bc} \Rightarrow 1 \geq a+2\sqrt{bc}\Rightarrow a \geq a^2+2a\sqrt{bc} \Rightarrow a+bc \geq a^2+2a\sqrt{bc}+bc\Rightarrow \sqrt{a+bc}\geq a+\sqrt{bc}$

Bài 307: Cho các số thức $x,y,,z$ thỏa mãn $x,y,z\in [0;1]$. Tìm GTLN của biểu thức:
$$P=\sqrt{|x-y|}+\sqrt{|y-z|}+\sqrt{|z-x|}$$

GS $x \geq y\geq z \Rightarrow P= \sqrt{x-y}+\sqrt{y-z}+\sqrt{x-z} \leq \sqrt{2(x-y+y-z)}+\sqrt{x-z}=(\sqrt{2}+1)\sqrt{x-z} \leq \sqrt{2}+1$

$(b+c-a)^2+2b^2c^2 \geq 0 \Rightarrow (a+b+c)^2 \leq 2(bc+1)^2 \Rightarrow \frac{a}{1+bc} \leq \frac{\sqrt{2}a}{a+b+c}$

tt $\frac{b}{ca+1}\leq \frac{\sqrt{2}b}{a+b+c}$

$\frac{c}{ab+1}\leq \frac{\sqrt{2}c}{a+b+c}$

$\Rightarrow P \leq \sqrt{2}$

$a+abc\leq a+\frac{a(b+c)^2}{2}=a+\frac{a(1-a^2)}{2} =1 -\frac{(a-1)^2(a+2)}{2} \leq 1 \Rightarrow \frac{a}{bc+1} \geq a^2$

tt $\frac{b}{ca+1} \geq b^2$

$\frac{c}{ab+1} \geq c^2$

$\Rightarrow P \geq 1$

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~