Cho $x,y,z\geq 0$ và $xyz=1$.Cmr :$\frac{1}{(1+x)^{3}}+\frac{1}{(1+y)^{3}}+\frac{1}{(1+z)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

Bài 1: Với a,b,c là các số dương thỏa a²+2b²+3c²=1. Tìm GTNN của A= 2a³+3b³+4c³.

$a^2+b^2=c^2+d^2\Rightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=2(ab-cd)\Rightarrow a+b\equiv c+d(mod2)\Rightarrow (a+b+c+d)\vdots 2$
MK $a+b+c+d>2$ nên a+b+c+d là hợp số

mình vẫn chưa hiểu ở chỗ $\large \left ( a+b \right )^{2}-\left ( c+d \right )^{2}=2\left ( ab-cd \right )$
tạo lại suy ra $\large \ a+b\equiv c+d\left ( mod2 \right )$
tại sao lại suy ra $\large \left ( a+b+c+d \right )\vdots 2$
tại sao a+b+c+d>2

Cho 4 số nguyên dương a,b,c và d thỏa mãn đẳng thức a²+b²=c²+d². Chứng minh rằng số a+b+c+d là một hợp số.

Cho 4 số nguyên dương a,b,c và d thoả mãn đẳng thức $a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}$
Chứng minh rằng a+b+c+d là một hợp số.

Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt nằm trên BC, CA, AB. CM:
$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}= \frac{BM.CN.AP-CM.AN.BP}{AB.BC.CA}$

bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. CMR $(a+b-c)^{2}(b+c-a)^{2}(c+a-b)^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$
bai2:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3, ta luôn có:
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$
bài3:Với mọi số thực dương a,b,c,CMR:$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq \frac{8}{9}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b})$
bài4:CMR với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có:$(a+\frac{bc}{a})(b+\frac{ca}{b})(c+\frac{ab}{c})\geq 4\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$
bài5:Cho a,b,c là số dương.CMR:$(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$
bài6:CMR với mọi a,b,c dương, ta luôn có; $\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\leq \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}$

1.$(x^{2}+x+1)^{2}-7(x-1)^{2}=13(x^{3}-1)$
2.$(x^{3}+5x+5)^{3}+5x^{2}+24x+30=0$
3.$(x^{2}-6x+11)\sqrt{x^{2}-x+1}=2(x^{2}-4x+7)\sqrt{x-2}$
4.$\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$
5.$2\sqrt[3]{2x-1}=27x^{3}-27x^{2}+13x-2$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=1.CMR $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$
gợi ý: dùng $\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}\geq \frac{4}{X+Y}$

bài1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi d_A là đường thẳng Sim-sơn của $\Delta$ BCD ứng vs điểm A. Các đường thẳng d_B, d_C, d_D được định nghĩa tương tự. CMR 4 đường thẳng này đồng quy.
bài2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thay đổi trên đường tròn không trùng vs các đỉnh của tứ giác. Gọi A',B',C' lần lượt là hình chiếu vuông góc của M xuống AB,BC,CD,DA.CMR D' luôn là trực tâm $\Delta$ A'B'C' hoặc không có vị trí nào của M để D' là trực tâm của $\Delta$ này.
bài3: Cho 2 đường tròn (O1) và (O₂) cắt nhau tại A và B ( O₁ và O₂ nam về 2 phía của AB). 1 đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua A cắt (O₁) và (O₂) lan lượt tại C và D ( A nằm giữa D và C).Tiếp tuyến tại C của (O1) và tiếp tuyến tại D của (O₂) cắt nhau tại T. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của B xuống các tiếp tuyến này.
a) tìm vị trí củađể BT lớn nhất.
b) CMR PQ tiếp xúc vs 1 đường tròn cố định.
bài4: Cho $\Delta$ ABC nhọn, ngoại tiếp đtròn (O). CMR:
$\frac{OA^{^{2}}}{AB.AC}+\frac{OB^{2}}{BA.BC}+\frac{OC^{2}}{CA.CB}=1$

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãm $4x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN, GTNN của Bt: $A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}$

giải pt: $\frac{x^{3}}{\sqrt{16-x^{2}}}+x^{2}-16 = 0$

bài I:
1)giải pt $2x^{2}-11x+21-3\sqrt[3]{4x-4}=0$
2)giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 8x^{3}y^{3}+27=18y^{3}\\4x^{2}y+6x=y^{2} \end{matrix}\right.$
Bài II:
1)Giả sử phương trình bậc hai $ax^{2}+bx+c=0,(a\neq 0)$ có 2 nghiệm $0 \leq x_{1}\leq x_{2}\leq 3$.
Tìm GTNN,GTLN của biểu thức $P=\frac{18a^{2}-9ab+b^{2}}{9a^{2}-3ab+ac}$
2) tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
$x^{3}-(4m+3)x^{2}+4m(m+2)x-4(m^{2}-1)=0$
Bài III:
Cho tam giác ABC không nhọn với a,b,c là 3 cạnh của tam giác .
CM:$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2+3\sqrt{2}$
và dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC vuông cân.
Bài IV:
1)Cho tam giác ABC nội tiếp trong (O) có 2 phân giác trong BE,CF. Tia EF cắt (O) tại M và N. CM
$\frac{1}{BM}+\frac{1}{CN}\geq \frac{4}{AM+AN}+\frac{4}{BN+CM}$
Dấu "=" xảy ra?
2)Cho tam giác ABC nội tiếp trong (O).Giả sử các tiếp tuyến vs đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại P nằm khác phía đối vs BC.Trên cung BC không chứa A lấy điểm K. PK cắt đường tròn (O) ở Q.
a) CMR phân giác góc KBQ và góc KCQ đi qua cùng 1 điểm trên PQ.
b)giả sử AK đi qua trung điểm M của BC.CMR $AQ \parallel BC$

Cho 3 số thực dương a, b, c đều nhỏ hơn 1. CMR có 1 trong các BĐT sau đây là đúng
$a(1-b)\leq \frac{1}{4}$
$b(1-c)\leq \frac{1}{4}$
$c(1-a)\leq 1$

bài1: Cho $\Delta$ ABC, M nằm trong $\Delta$. AM,BM,CM lần lượt cắt cạnh đối diện lần lượt tại A₁,B₁,C₁.Giả sử đường tròn ngoại tiếp $\Delta$ A₁B₁C₁ cắt BC,CA,AB tại điểm thứ 2 A₂,B₂,C₂.CMR AA₂,BB₂,CC₂ đồng quy.
bài2: Cho 2 $\Delta$ ABC và A'BC có các đường tròn nội tiếp (I) và (I') cùng tiếp xúc với BC tại P.(I) tiếp xúc với AB,AC tại M,N. (I') tiếp xúc vs A'B,A'C tại M',N'. T là giao điểm của MN và BC. CM T,M',N' thẳng hàng

CMR nếu đa thức : $P(x)=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+1$ có nghiệm thì $\left | 2b \right |+\left | c \right |\geq 2$

giải pt: $x=\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{2-x}$

giải pt: $7x^{2}-10x+14=5\sqrt{x^{2}+4}$

phân tích thành nhân tử :$4(3x-2)^{3}=9x^{2}(3x-2)^{2}-6x^{4}(3x-2)+x^{6}$

Cho tứ giác ABCD, lấy điểm E sao cho $\widehat{EAB}=\widehat{DAC}; \widehat{EBA}=\widehat{ACD}$. Cm $\Delta AED \sim \Delta ABC$

Với 0 $\leq x;y;z \leq 1$. Tìm tất cả nghiệm của pt:
$\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}=\frac{3}{x+y+x}$

Cho phương trình $x^{3} - (4a + 3)x^{2} + 4a(a + 2)x- 4(a^{2}-1) = 0$
trong đó a là tham số.
a) Giải phương trình với $a=-\frac{1}{2}$
b) giải phương trình theo $a$

Cho ba số nguyên x,y,z thỏa mãn x+y+z chia hết cho 6. Chứng minh biểu thức M=(x+y)(y+z)(z+x)-2xyz chia hết cho 6.

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của $P=4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+15abc$

Bài 1: Cho tam giác ABC, E trên cạnh AB, F trên cạnh Ac và M là chân đường cao hạ từ A xuống BC. CMR điều kiện cần và đủ để MA là tia phân giác của góc $\large \widehat{EMF}$ là 3 đoạn thẳng AM, BF, CE đồng quy.
(Gợi ý: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt MF (kéo dài) tại N, cắt ME (kéo dài) tại P. Nếu MA là tia phân giác của $\large \widehat{EMF}$bàithì PA=AN. Áp dụng đinh lí Ceva (điều kiện cần).
Bài 2: CMR, trong tam giác ABC khi giao điểm của 1 trong bộ 3 đường thẳng đồng quy AA', BB', CC' (A' trên BC, B' trên AC, C' trên AB) trùng với trọng tâm G của tam giác thì tích AB'.CA'.BC' có trị số lớn nhất.
Bài 3: CMR trong 1 tam giác, các đường thẳng nối trung điểm của mỗi cạnh của đoạn thẳng Ceva bất kì, phát xuất từ đỉnh đối diện với cạnh đó đồng quy.
bai` tập đ/l Mê-nê-lauyt:
bài 4: Cho 2 tam giác ABC và A'B'C' sao cho AA', BB', CC' đồng quy tại O.Gọi A₁, B₁, C₁ lần lượt là giao điểm của các cặp đường BC và B'C', CA và C'A', AB và A'B'. CMR 3 điểm A₁, B₁, C₁ thẳng hàng.