Mọi người trả lời đi.Có phải không có không vậy?

$sin^{4}x + cos^{4}x = 1 - \frac{sin^{2}2x}{2}= 1+\frac{3}{4}cos4x$
$sin^{6}x + cos^{6}x = 1 - 3\frac{sin^{2}2x}{4}= \frac{5}{8}+\frac{3}{8}cos4x$
Vậy có công thức tổng quát của $sin^{2n}x +cos^{2n}x$ không?
MOD: Công thức được kẹp trong cặp dấu

$  $

Có bạn ạ
Công thức:

$cos^{2m}\theta=2^{-(2m-1)}\left ( \frac{1}{2}\binom{2m}{m}+\sum_{k=0}^{m-1}\binom{2m}{k}cos(2(m-k)\theta) \right )$

$sin^{2m}\theta=2^{-(2m-1)}(-1)^{m}\left ( \frac{(-1)^{m}}{2}\binom{2m}{m}+\sum_{k=0}^{m-1}(-1)^{k}\binom{2m}{k}cos(2(m-k)\theta) \right )$

Sao khó hiểu vậy bạn.Mình muốn hỏi để khi gặp mũ cao hơn còn tính nhanh được.
Ai có CT dễ hơn không ?

Bài 1: Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$, $B(-3:0) ,C(7:0)$, bán kính đường tròn nội tiếp bằng $2\sqrt {10} - 5$. Tìm tọa độ tâm $I$ đường tròn nội tiếp tam giác biết $y_I > 0$

Bài 2: Cho $(C_1): x^2 + y^2 - 2x + 4y + 2 = 0$ . Viết pt $(C_2)$ biết tâm $K(0:1)$, biết $(C_2)$ cắt $(C_1)$ tại 2 điểm $M$ và $N$ sao cho $MN=\sqrt{5}$

1. Học gõ $\LaTeX$ bạn nhé: http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=63178

2. Chú ý cách đặt tiêu đề cho bài viết: http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=65669

Thêm nhé:

 8)  Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn:

                a + b + c + d=2.

    Tìm GTNN của:

        P = $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+4(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})+4(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a})$

1) Tìm số tự nhiên n có tích các chữ số thoả mãn: n^2 -10n-12

2) Cho a,b là 2 số thực dương thoả:

   a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰    = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰²

Tính giá trị của: P = a²⁰¹⁴ + b²⁰¹⁴ 

3) Cho x + y = a + b

           x² + y² = a² + b²

 Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, ta có:

         xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ 

4) Tìm số nguyên x, y thoả mãn:

      x² +2y² +2y=1 + 2xy +2x

5) Chứng minh rằng: x⁴ +64 là hợp số với mọi x thuộc N

6) Cho f(x)= ax² + bx + c. Tìm các số nguyên a,b,c biết:

        f(2009)=2015

        f(2005)=2010

7) Cho x,y,z thoả : xy + yz + zx=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

        A= 2x² +5y² +z² .

 Đây là một số bài toán của mình. Mong các bạn vào góp y cùng tiến bộ.

 

 

Thanks các bạn đã ủng hộ. Mình xin đưa ra lời giải bài 8 mong các bạn góp ý:

   Áp dụng BĐT cô-si, ta có:

 +) $a^{2}+\frac{1}{16a^{2}}\geq 2\sqrt{a^{2}*\frac{1}{16a^{2}}}= \frac{1}{2}$

Chứng minh tương tự, ta được:

     $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+\frac{1}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\geq 2$

 +) $\frac{63}{16}(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}})\geq \frac{63}{16}*4\sqrt{\frac{1}{abcd}}\geq \frac{63}{16}*4*\sqrt{\frac{1}{\frac{(a+b+c+d)^{4}}{4}}}=63$

 +) $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}\geq 4$

  Vậy: P$\geq 2+63+4*4=81$

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d=$\frac{1}{2}$

  Vậy là còn bài 1 và bài 7 mong các bạn góp ý tiếp. 

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

   $x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})$

Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

          $10x^{2}+8x+4=m(2x+1)\sqrt{x^{2}+1}$

  Mình tính f'(x) rồi vẽ bảng biến thiên không được.

Tìm m để hệ phương trinh sau co nghiệm duy nhất.
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{1+x} + \sqrt{6-y}= m\\ \sqrt{1+y} +\sqrt{6-x}= m \end{matrix}\right.$

Em làm lần đầu các anh chị thông cảm

Tìm m để hàm số sau đồng biến trên tập xác định:

         $y=x+1+m\sqrt{x^{2}+1}$

Cho đường tròn ©: x² + y² + 4x + 4y +6 =0
$\Delta$ : x + my - 2m + 3 =0
Gọi I là tâm đường tròn ©. Tìm m để $\Delta$ cắt © tại 2 điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

Cho đường tròn ©: x² + y² + 4x + 4y +6 =0
$\Delta$ : x + my - 2m + 3 =0
Gọi I là tâm đường tròn ©. Tìm m để $\Delta$ cắt © tại 2 điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.

Giải

Ta có: $I(-2; -2); R_{©} = \sqrt{2}$

Nhận thấy: $S_{\triangle IAB} = \dfrac{1}{2}IA.IB.\sin{AIB} \leq \dfrac{1}{2}R^2$
Do đó: $S_{\triangle IAB Max} = \dfrac{1}{2}R^2 = 1$
Điều này xảy ra khi: $\sin{AIB} = 1 \Rightarrow \widehat{AIB} = 90^o $

$\Rightarrow $ Tam giác AIB là tam giác vuông.

- Gọi H là hình chiếu của I trên AB, ta có:
$\dfrac{1}{IH^2} = \dfrac{1}{IA^2} + \dfrac{1}{IB^2} = \dfrac{2}{R^2} = 1$

$\Rightarrow IH = 1 \Leftrightarrow d(I; \Delta) = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{|-2 - 2m - 2m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1 \Leftrightarrow (1 - 4m)^2 = m^2 + 1$

$\Leftrightarrow 15m^2 - 8m = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 0\\m = \dfrac{8}{15}\end{array}\right.$

Thanks bạn nha!

Cho $x,y,z> 0; x+y+z\geq 12$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

   $P=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

      A=$\sqrt{-x^{2}+5x+24}-\sqrt{-x^{2}+6x+7}$

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SB$ và $SD$. Lấy điểm $P$ trên $SC$ sao cho $SP=3PC$. Tìm giao tuyến của $(MNP)$ với:
a) $(SAC)$;
b) $(SAB)$.

a/ Hai điểm cực trị nằm về hai phía $Ox \to$ hoành độ hai điểm cực trị trái dấu $(x_1<0<x_2)$

b/ Hai cực trị nằm về hai phía $Oy \to y_{CĐ}.y_{CT}<0$.

 Hai điểm cực trị nằm về hai phía $Ox \to$ thì $y_{CD}.y_{CT}<0$ chứ anh. Cái kia cũng ngược rồi.

Em đang mắc bài này nằm về 2 phía trục hoành. Không biết giải bpt kiểu gì.

Câu 1: Cho hàm số y=$x^{4}+2x^{_{2}}-3$.Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng cách đến điểm M(0;-3) bằng$\frac{5}{\sqrt{65}}$.

Câu 2:Cho hàm số y=$x^{3}-2x^{2}+(m-1)x+2m$ có đồ thị (Cm):

a)Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (Cm) vuông góc với đường thẳng $\Delta$:y=2x+1.

b)Tìm m để từ điểm M(1;2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến.

Câu 3:Tìm điểm M trên đồ thị (C):y=$\frac{2x+1}{x-1}$ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta :x+3y-3=0$ đạt GTNN. Trong trương hợp này, chứng minh $\Delta$ song song với tiếp tuyến của (C) tại M.

Một acquy khi được nạp điện bởi dòng điện có cường độ 2,4A thì hiệu điện thế giữa hai cực là 6V. Nếu tăng cường độ dòng điện nạp thêm 0,2 A thì hiệu điện thế giữa 2 cực của acquy tăng 0,1 V. Tính hiệu suất nạp điện cho acqut lúc chưa tăng cường độ dòng điện

Trong một giải cờ vua gồm nam và nữ vận động viên (VĐV). Mỗi vận động viên phải chơi 2 ván với mỗi VĐV còn lại. Cho biết có 2 VĐV nữ và cho biết số ván các VĐV nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với 2 VĐV nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu VĐV chơi và số ván tất cả các VĐV đã chơi?

Cộng vế theo vế của hai pt ta được
$$sin^{12}x+cos^{12}x+sin^{12}y+cos^{12}y=\frac{1}{16}$$
Mặt khác $$sin^{12}x+cos^{12}x+sin^{12}y+cos^{12}y\ge \frac{1}{16}$$
Đẳng thức chỉ xảy ra khi $$sinx = cosx=siny=co sy=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Mình nghĩ câu 2 cũng thế, nghĩa là vế phải là giá trị min của vế trái ^^!

Cho mình hỏi chứng minh cái bất đẳng thức kia kiểu gì vậy?

Giải phương trình:

  $\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}=2$

Giải bằng phương pháp hàm số càng tốt a.

Hệ phương trình thứ nhất
Đây là đề thi HSG QG năm 2004.
Nhân pt 2 với 3 rồi cộng với pt 1 được phương trinh tích có nhân tử chung là (x+1)

Gợi ý bài 3 nhá

Phân tích thành 

$(\sqrt{x}-1)+(\sqrt{3x-2}-1)+(\sqrt{6-4x-x^2}-x)=x^2-4x+3$

trục căn thức rồi đưa về pt tích 

Đưa sang pt tích sao được bạn.

Còn bài 1

Giải các phương trình:

1.$\frac{x^{2}-12}{(x+2)^{2}}=3x^{2}-6x-3$

2.$\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}-16$

3.$\sqrt{x}+\sqrt{3x-2}+\sqrt{6-4x-x^{2}}=x^{2}-3x+5$