Xét sự hội tụ của các tích phân sau :

$1,\int _0 ^1 \frac{\sqrt{x}}{\sin x} dx ; \\ 2,\int _1 ^{+\infty} \frac{\ln (1+x^2)}{x}dx ;\\ 3,\int_1 ^{+\infty} \frac{e^{-x^2}}{x^2}dx$

Bài toán: Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left | z \right |=1$.Tìm giá trị lớn nhất của $P=\left | z^3-z+2 \right |$

Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD (MN là đoạn vuông góc chung của AB, CD).

Ta thấy: tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên MN sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$

Suy ra: $IA=IB=IC=ID$ (Giờ ta tính bán kính)

Xét tam giác AMC: $MC=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$

Xét tam giác AMD: $MD=\sqrt{22a^2-4a^2}=3\sqrt{2}a$

Xét tam giác MCN: $MN=\sqrt{18a^2-9a^2}=3a$

Do: $\dfrac{MI}{NI}=\frac{7}{2}$ nên $MI=\dfrac{7a}{3}$ và $NI=\dfrac{2a}{3}$

Xét tam giác AMI: $IA=\sqrt{\dfrac{49a^2}{9}+4a^2}=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$

Vậy bán kính mặt cầ ngoại tiếp tứ diện: $R=\dfrac{\sqrt{85}a}{3}$

Các bạn kiểm tra iaij giúp mình kết quả...

Thưa anh, em chưa hiểu lắm : Tại sao tâm $I$ đường tròn ngoại tiếp tứ diện nằm trên $MN$ sao cho $\dfrac{MI}{NI}=\dfrac{7}{3}$ vậy ạ ?? Đó là định lý hay sao ạ ?

Bài toán: Tất cả các giá trị $m$ để phương trình $e^x=m(x+1)$ có nghiệm duy nhất là:

$A. m>1$

$B.m<0; m \geq 1$

$C.m<0;m=1$

$D.m<1$

Bài toán: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=4a;CD=6a$, các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{22}.$ Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Bài toán: Cho các số phức $z,w$ khác $0$ thỏa mãn $\left | z-w \right |=2.\left |z \right |=\left |w \right |.$ Phần thực của số phức $u=\frac{z}{w}$

Như bài này :

https://diendantoanh...nh-đề-nào-đúng/

Nhưng chọn $D$.

Nhưng cháu có thắc mắc..Lúc lấy nguyên hàm 2 vế thì mỗi bên phải có công thêm C nữa...tức $\ln f(x) +C = \frac{2}{3}.\sqrt{3x+1} +C'$ ....Liệu có thể chuyển vế hai hằng số $C$ và $C'$ sang để cộng trừ hay không ???

Bài toán: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho biết đường cong $(C)$ là tập hợp tâm của các mặt cầu $(S)$ đi qua $A(1;1;1)$ đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng $\alpha:x+y+z-6=0; \beta:x+y+z+6=0.$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(C)$ bằng ?

Bài toán: Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên khoảng $(0;+\infty)$ và thỏa $f(1)=1;f(x)=f'(x).\sqrt{3x+1} ,\forall x>0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng ?

$A.1<f(5)<2$

$B.4<f(5)<5$

$C.2<f(5)<3$

$D.3<f(5)<4$

Điều kiện: $x> 0$.

Đặt: $4^x=t> 1$.

Ta có: $m=f(t)=log_2\frac{t-1}{t+1}$, với $t\in (1;+\infty)$.

$f'(t)=\frac{2}{(t+1)^2.ln2}> 0$ nên $f(t)$ đồng biến trên $(1;+\infty)$.

Từ đó, ta được $m\in (-\infty; 0)$.

 

Hoặc ta có thể biến đổi lại: $4^x=\frac{-1-2^m}{2^m-1}$.

Để PT trên có nghiệm thì $2^m-1< 0\Leftrightarrow m< 0$. 

Làm thế này có được không nhỉ ??

Với điều kiện $x>0$ thì $0<\frac{4^x-1}{4^x+1} <1$ vì thế $\log_2 \frac{4^x-1}{4^x+1} <0$ bởi vậy để thỏa mãn đề thì $m<0$

Đặt $z=a+bi,b\neq 0$.

Ta có: $w=\frac{z}{z^2+2}=\frac{a+bi}{a^2-b^2+2+2abi}\in \mathbb{R}$.

Nên: $\frac{a}{a^2-b^2+2}=\frac{b}{2ab}\Rightarrow a^2+b^2=2$.

Hình biểu diễn của $z$ là đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính là $\sqrt{2}$.

Hình biểu diễn của $z+1-i$ có tâm $I$ thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $\sqrt{2}$.

Nên $M$ lớn nhất khi $z=1-i$.

Khi đó GTLN của $M=2\sqrt{2}$.

Mình chưa hiểu lắm đoạn $\frac{a}{a^2-b^2+2}=\frac{b}{2ab}$ ? Bạn có đang ngộ nhận không vậy ??

Nhận xét parabol $y=x^2-2x$ nhận đường $x=1$ làm trục đối xứng và trên $[-1;2]$ nó có GTNN là $-1$ ; GTLN là $3$.Từ đó ta suy ra mấy điều sau về GTLN của hàm $y=f(x)=|x^2-2x+m|$ trên $[-1;2]$ :

+ Nếu $m\geqslant 1$ :

   GTLN của hàm $f(x)$ đang xét trên $[-1;2]$ chính là $f(-1)=|1+2+m|=m+3$ và GTLN đó bằng $5\Leftrightarrow m=2$

+ Nếu $-3< m< 1$ :

   Khi đó $f(-1)=|1+2+m|=m+3< 5$ ; $f(1)=|1-2+m|=|m-1|=1-m< 5$ và GTLN trên đoạn $[-1;2]$ là số lớn nhất trong 2 số trên, dĩ nhiên GTLN đó nhỏ hơn $5$

+ Nếu $m\leqslant -3$ :

   GTLN của hàm $f(x)$ đang xét trên $[-1;2]$ chính là $f(1)=|1-2+m|=1-m$ và GTLN đó bằng $5\Leftrightarrow m=-4$

 

Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn là $m=2$ và $m=-4$

(Hình như đáp án $A$ là $(-6;-3)\cup (0;2)$.Nếu là vậy thì chọn đáp án $C$)

Đáp án A cháu sửa lại rồi.....đúng như chú nói.....

Mà cháu chưa hiểu: tại sao phải xét $m \geq 1; -3<m<1; m \leq -3$ cho lắm ?????

Bài toán: Tập hợp nào dưới đây chứa tất cả các giá trị của tham số $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left | x^2-2x+m \right |$ trên đoạn $\left [-1;2 \right ]$ bằng $5$ ?

Bài toán: Cho số phức $z$ thỏa mãn $z$ không phải là số thực và $w=\frac{z}{z^2+2}$ là số thực. Giá trị lớn nhất của $M=\left | z+1-i \right |$

Bài toán: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\log_2 \frac{4^x-1}{4^x+1}=m$ có nghiệm.

Bài toán: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A.$ Biết $AB=AA'=a;AC=2a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M.A'B'C'$ là ?

Bài toán: Khi đường thẳng $y=m-x$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$ là $2.\sqrt{2}$ thì tích tất cả các giá trị của tham số $m$ là ?

Bài toán : Cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1};d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{1}.$ Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng $(Q):x+y-2z+3=0$ đồng thời (P) cắt $d_1;d_2$ theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Phương trình (P) là ?

Bài toán: Cho các hàm số $y=f(x);y=g(x);y=\frac{f(x)}{g(x)}.$ Nếu các hệ số góc của tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x=0$ bằng nhau và khác $0$ thì :

A.$f(0)>\frac{1}{4};$

B.$f(0) \geq \frac{1}{4}$

C.$f(0) <\frac{1}{4}$

D.$f(0) \leq \frac{1}{4}$

Bài toán: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=\frac{a.\sqrt{3}}{2},$ các cạnh còn lại bằng $a.$ Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là ?

Bài toán : Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S) : (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=4.$ Xét đường thẳng 

Bài toán : Cho $(P):y=x^2.$ $M,N$ di động trên $(P)$ sao cho $MN=1.(H)$ là diện tích hình phẳng giới bởi $MN$ và $(P)$.Giá trị lớn nhất của (H) là bao nhiêu ?

Bài toán 1 : Tìm tất cả gái trị của tham số $a$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{ax^2+2}}$ có tiệm cận ngang.

Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ để hàm số $y=ax+\sqrt{x^2+1}$ có cực tiểu

Bài toán : Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ xét mặt cầu $(S)$ đi qua  hai điểm $A(1;2;1);B(3;2;3),$ có tâm thuộc mặt phẳng $(P):x-y-3=0,$ đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính $R$ thuộc mặt cầu $(S).$

Dễ thấy khi $m=0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Xét trường hợp $m\neq 0$ :

$m\ln(1-x)-\ln x=m\Rightarrow \ln\frac{(1-x)^m}{x}=\ln e^m\Rightarrow \frac{1-x}{e}=x^{\frac{1}{m}}$

Đặt $f(x)=\frac{1-x}{e}$ ; $g(x)=x^{\frac{1}{m}}$ ($f(x)$ và $g(x)$ đều là hàm liên tục trên $(0;1)$)

+ Nếu $m> 0$ : Vế trái là hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và đơn điệu giảm từ $\frac{1}{e}$ đến $0$

                        Vế phải là hàm đồng biến trên $(0;1)$ và đơn điệu tăng từ $0$ đến $1$

                        $\Rightarrow$ phương trình có nghiệm duy nhất thuộc $(0;1)$

+ Nếu $m< 0$ : Vế trái là hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và đơn điệu giảm từ $\frac{1}{e}$ đến $0$

                        Vế phải là hàm nghịch biến trên $(0;1)$ và đơn điệu giảm từ $+\infty$ đến $1$

                        $\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.

 

Kết luận : Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là $m> 0$.

Cháu có cách này không biết có được không ạ ?