Cho tam giác ABC, A', B', C' là trung điểm BC, CA, AB, P bất kì:
a) C/m: $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec{OH}$
b) C/m: $\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}=2\vec{HO}$

bạn xem lại đề xem H là điểm j vậy

Andrew và Tom mỗi bạn nghĩ về một số nguyên dương và thì thầm vào tai Peter. Peter nói rằng hiệu của hai số đó là 1998. Andrew nói rằng, dựa vào dữ kiện đó, cậu không thể nói số của Tom là số nào. Tiếp theo Tom cũng nói tương tự. Sau đó, Andrew nói rằng, bây giờ cậu có thể đoán được số của Tom, nhưng nếu cả hai đã nghĩ về một số lớn hơn số của họ 1 đơn vị, thì cậu không thể nói số của Tom là bao nhiêu.
Hỏi 2 số mà Andrew và Tom nghĩ đến là hai số nào?
(Tất cả giả thiết đều đủ sau khi kiểm tra 4 lần)

Theo em đoán thì 2 số đó là 1998 và 3996.
Hiệu của 2 số này bằng 1998 và nếu tăng 1998 lên 1 đơn vị thì khi đó có 2 cặp số phù hợp là (1;1999) và (1999;3997).
(phù hợp với các dữ liệu của đề bài).

Bài 28: Tìm số tự nhiên $n$ để $1^n+2^n+3^n+4^n \vdots 5$

Bài này chưa thấy ai làm nên chém thử vậy.
* Nếu $n$ là số lẻ thì ta có $(1^n+4^n)+(2^n+3^n)\vdots 5$ (chọn).
* Nếu $n$ là số chẵn thì $n$ có dạng $n=2^k.i$ (với $k$ là số tự nhiên khác 0 và i là số lẻ).
- Với $k=1$ thì $$1^{2.i}+2^{2.i}+3^{2.i}+4^{2.i}=1^i+4^i+9^i+16^i=(1^i+4^i)+(9^i+16^i)\vdots 5$$ (chọn)
- Với $k\geq 2$ thì $$1^n+2^n+3^n+4^n=1^{4.2^{k-2}.i}+2^{4.2^{k-2}.i}+3^{4.2^{k-2}.i}+4^{4.2^{k-2}.i}=1^{2^{k-2}.i}+16^{2^{k-2}.i}+81^{2^{k-2}.i}+256^{2^{k-2}.i}\equiv 1+1+1+1(mod 5)\equiv 4(mod 5)$$ (loại)

Vậy các số tự nhiên $n$ thỏa mãn là các số có dạng $n=2j+1$ ($j$ là số tự nhiên) và $n=1^{2.i}+2^{2.i}+3^{2.i}+4^{2.i}$($i$ là số tự nhiên lẻ).

33. Chứng minh rằng: $\exists n\in \mathbb{N}$ thoả mãn $13579^n-1\vdots 3^{13579}$.

Xét $3^{13579}$ số có dạng $13579, 13579^2,...,13579^{3^{13579}}$ ta có thể dễ dàng nhận thấy có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho $3^{13579}$ (do không có số nào chia hết cho $3^{13579}$).
Ta xét hiệu 2 số đó thì dễ dàng có đpcm.
(sorry mn, ngại ko muốn viết dài dòng nên làm tắt)

Hình như topic chưa vượt qua khủng hoảng yên ắng nên mình xin post một bài
Bài 25: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $a,b,c,d$ thì tích $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) \vdots 12$
P.s: Một tuần không post bài mà như là cả mấy năm trời vậy '+_+

Trong 4 số a, b, c, d có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 nên tích sẽ chia hết cho 3.
Trong 4 số a, b, c, d có ít nhất 2 cặp số cùng tính chẵn lẻ nên có ít nhất 2 hiệu chia hết cho 2 nên tích chia hết cho 4.
Vậy ta có đpcm.

Câu a bạn bình phương lên sẽ có được
$A^2=2+2\sqrt{x-1}\sqrt{3-x}\geq 2$
Vậy min=2 khi và chỉ khi x=1 hoặc x=3

Xét 2003 số có dạng 2004, 20042004, 200420042004, ..., 2004200420042004...2004 (2003 lần số 2004).
TH1: Nếu có 1 số chia hết cho 2003 thì ta có đpcm.
TH2: Nếu không có số nào chia hết cho 2003 thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2003. Gọi 2 số đó là $a_i=20042004...2004$ (i lần số 2004) và $a_j=20042004...2004$ (j lần số 2004)
$\Rightarrow a_i-a_j=2004..200400..000\vdots 2003$ (i-j lần số 2004 và 4j lần số 0)
$\Leftrightarrow 20042004...2004.10^{4j}\vdots 2003$
Mà $(10^{4j}, 2003)=1$
Suy ra ta có đpcm.

Bài 2:C/m:$n^{p}-n\vdots p$ với $p\in$ {$3;5;7;11;13$}.Hãy tổng quát hóa bài toán.

Bài này dùng định lí Fermat.
Định lý Fermat: Cho số nguyên tố p và (p,n)=1. Ta có $n^{p-1} \equiv 1 (mod p)$
Trở lại bài toán.
Nếu (p,n)=1 áp dụng định lí Fermat ta sẽ có:
$n^{p-1}-1\vdots p\Rightarrow n^p-n\vdots p$ (đpcm).
Còn nếu (p,n) khác 1 thì $n\vdots p$ ta dễ dàng có đpcm

Tổng quát Với mọi p là số nguyên tố thì ta có đpcm.

Tìm các số nguyên tố dạng $2^{1994^n} + 17$ với $n$ là một số tự nhiên.

Với $n=0$ ta có 19 là 1 số nguyên tố.
Với $n\geq 1$ thì $2^{1994^n}\equiv 1 (mod 3)\Rightarrow 2^{1994^n}+17\equiv 0(mod 3)\Leftrightarrow 2^{1994^n}+17\vdots 3$
nên $2^{1994^n}+17$ không phải là một số nguyên tố (do $2^{1994^n}+17> 3$)
Vậy số nguyên tố thỏa mãn là 19 khi $n=0$

Câu b:
Min: $y=\sqrt{x+1}+\sqrt{6-x}\Leftrightarrow y^2=x+1+6-x+2\sqrt{x+1}\sqrt{6-x}=7+2\sqrt{x+1}\sqrt{6-x}\geq 7\Leftrightarrow y\geq \sqrt{7}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=-1$ hoặc $x=6$

Max: $y\sqrt{\frac{7}{2}}=\sqrt{\frac{7}{2}(x+1)}+\sqrt{\frac{7}{2}(6-x)}\leq \frac{\frac{7}{2}+x+1}{2}+\frac{\frac{7}{2}+6-x}{2}= 7\Leftrightarrow y\leq \sqrt{14}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\frac{5}{2}$

Bạn sai ở đoạn chuyển vế nhen ^^ bạn quê chuyển dấu nên thành ra cho nghiệm sai ^^
----

Spoiler

Bài này chưa phân tích ra :-??

cảm ơn bạn. mình sẽ tìm cách sửa.

đk $x\geq 0$
Phương trình đã cho tương với
$$x^4=8x+7\Leftrightarrow x^4-8x+7=0\Leftrightarrow (x-1)(x^3+x^2+x-7)=0$$
Đến đây thì dễ rồi.

Ta có:
$(x+y+z)^2+y^2+(x+z)^2\geq 0\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+2zx)\geq 0\Leftrightarrow xy+yz+2zx\geq -2008$
Dấu "=" xảy ra $y=0; x=-\sqrt{1004};z=\sqrt{1004}$ hoặc $y=0; z=-\sqrt{1004};x=\sqrt{1004}$

Đề:chứng minh bằng phản chứng: không có số nguyên tố dạng 4k+1 có thể biểu diễn như tổng của hai số bình phương
ai giúp em với

Bạn xem đề có đúng ko? Vì $13=4.3+1=2^2+3^2$ mà

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$A=\frac{\sqrt{x-2001}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2002}}{x}$$
(Bài 1 đề thi Chuyên Toán Tin THPT Chu Văn An và Hà Nội-Amsterdam năm 2002)

Bài 15: Tìm $x,y,z$ là các số nguyên tố sao cho $x^y+1=z$.

Bài 12: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $\left ( p,q \right )$ sao cho $p^2-2q^2=1$.
----

Spoiler

Bài này dành riêng cho chủ thớt :-" lập thớt ra mà chưa vô chém với mọi người

Với $p=3$ thì $q=2$.
Với $q=3$ thì $p^2=19$ vậy không tồn tại p.
Với p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì
$p^2\equiv 1(mod 3); 2q^2\equiv 2(mod 3)\Rightarrow p^2-2q^2\equiv 2(mod 3)$
mà $p^2-2q^2=1$
Suy ra vô lí.
Vậy cặp số nguyên tố thỏa mãn là $(3;2)$

B1: Người 1 bốc 2003 viên sỏi.
Như vậy còn lại 8 viên sỏi trên bàn.

B2:
TH1: Nếu người 2 bốc số sỏi trong các số 1, 3, 5, 7 thì bốc nốt số sỏi còn lại thì người 1 thắng.
TH2: Nếu người 2 bốc 2 viên sỏi thì còn lại 6 viên. Người 1 bốc tiếp 2 viên thì sẽ còn lại 4 viên. Sau lượt bốc của người 2, người 1 có thể bốc nốt số sỏi còn lại.

Làm theo cách đó, người 1 luôn thắng.

Bài 10: Cho hai lũy thừa: $2^n$ và $5^n$ với $n\in N^*$.
a) Hãy tìm $n$ nhỏ nhất để $2^n$ và $5^n$ có cùng chữ số đầu tiên.
b) Chứng minh rằng nếu với $n$ nào đó mà $2^n$ và $5^n$ có chữ số đầu tiên thì chữ số đầu tiên ấy là duy nhất.

Với $n=5$ thì $2^n=32, 5^n=3125$ suy ra $2^n, 5^n$ có cùng chữ số đầu.
Giả sử $2^n, 5^n$ có cùng chữ số đầu là $a (1\leq a\leq 9)$. Giả sử $2^n$ có k chữ số, $5^n$ có m chữ số.
Ta có:
$$a.10^{k-1}< 2^n< (a+1).10^{k-1}$$ và $$a.10^{m-1}< 5^n< (a+1).10^{m-1}$$
$$\Rightarrow a^2< 10^{n-k-m+2}< (a+1)^2\Rightarrow 1\leq n-k-m+2< 2 (1\leq a\leq 9)\Rightarrow n-k-m+2=1\Rightarrow a^2< 10< (a+1)^2\Rightarrow a=3$$

P/s: Đây là bài 3 đề thi vào 10 chuyên toán CVA và HN-Amsterdam năm 1993.
----
$L$: Trích dẫn bài cho tiện theo dõi nhé bạn

2. Tìm $x,y,z$ biết $\frac{3x}{8}=\frac{3y}{64}=\frac{3z}{216}$ và$2x^{2}+2y^{2}-z^{2}=1$

$\frac{3x}{8}=\frac{3y}{64}=\frac{3z}{216}\Rightarrow y=8x,z=27x$
Thay trực tiếp giá trị vào phương trình.

p/s: cách khác: bình phương các tỷ lệ, rồi sử dụng tính chất tỉ lệ thức cũng sẽ ra kết quả.

3.Cho $\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}$, $abcd\neq 0$. Tính $M=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{a+d}{b+c}$

$$\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d} \Leftrightarrow \frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d} \Leftrightarrow a+b+c+d=0$ hoặc $a=b=c=d$$

$$a+b+c+d=0\Leftrightarrow a+b=-(c+d); b+c=-(a+d);c+d=-(a+b);a+d=-(b+c)\Leftrightarrow M=-4$$
$$a=b=c=d\Leftrightarrow M=4$$

Bài 7. Cho p là số nguyên tố thỏa mãn $p\equiv 1~(mod~6)$, đặt $q=\left \lfloor \frac{2p}{3} \right \rfloor$. CMR: Nếu $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(q-1).q}=\frac{m}{n};~m,n~\epsilon ~Z^+$ thì $p~|~m$

Đặt
$$a=6k+1(k\in N)\Rightarrow q=\left \lfloor \frac{2p}{3} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{12k+2}{3} \right \rfloor=\left \lfloor 4k+\frac{2}{3} \right \rfloor=4k+\left \lfloor \frac{2}{3} \right \rfloor=4k$$
Thay vào phương trình ta được
$$\frac{m}{n}=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(4k-1)4k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{4k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k}-2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{4k})=\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}+...+\frac{1}{4k}$$
$$\Leftrightarrow \frac{m}{n}=\frac{6k+1}{(2k+1)4k}+\frac{6k+1}{(2k+2)(4k-1)}+...$$
$$\Rightarrow m\vdots 6k+1\Leftrightarrow m\vdots p$$ (ĐPCM)

Bài này áp dụng AM-GM:
$$\sqrt{x-1}\leq \frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}$$
$$\sqrt{x(\sqrt{x}-1)}=\sqrt{x}\sqrt{\sqrt{x}-1}\leq \sqrt{x}\frac{\sqrt{x}-1+1}{2}=\frac{x}{2}$$
Cộng các vế của bđt.
Do dấu "=" không xảy ra nên ta có đpcm

Tìm m để phương trình có 2 ngiệm phân biệt
$2x^{2} - 2mx +1 = 3\sqrt{4x^{3}+2x}$

Phương trình tương đương với
$$2x^2+1-2mx=3\sqrt{2x(2x^2+1)}$$
Đặt $\sqrt{2x^2+1}=a, \sqrt{2x}=b$ điều kiện $a> 0, b\geq 0$
Phương trình tương đương với $a^2-mb^2=3ab\Leftrightarrow a^2-3ab-mb^2=0$
Đến đây lần lượt coi phương trình là phương trình bậc 2 với ẩn a, b.
Sử dụng định lý Vi-ét để tìm ra điều kiện của m để phương trình có nghiệm a, b thỏa mãn điều kiện.

Bài này giống bài tại đây http://diendantoanho...r-a-vdots-1979/