Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3.Tìm GTLN của biểu thức 

$\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}+\sqrt{c^2+c+4}$

Cách 1: Ta chứng minh 

        $\sqrt{a^2+a+4}\leqslant \frac{2a+6}{3}\Leftrightarrow 5a(a-3)\leqslant 0$

Tương tự ta có $\sum \sqrt{a^2+a+4}\leqslant \frac{2(a+b+c)+18}{3}=8$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(0;0;3)$

Cách 2: Ta sẽ chứng minh 

      $\sqrt{a^2+a+4}+\sqrt{b^2+b+4}\leqslant \sqrt{(a+b)^2+a+b+2}+2=\sqrt{(3-c)^2+3-c+2}+2$

Khi đó $\sum \sqrt{a^2+a+4}\leqslant \sqrt{(3-c)^2+3-c+2}+2+\sqrt{c^2+c+4}=f(c)$

Khảo sát hàm số ta được $f(c) \leqslant f(3)=8$

Cho hàm số $y=sinxsin2xsin3x$

Tìm $y^{\left ( 2015 \right )}$

Sử dụng công thức tính được $\sin x.\sin 2x.\sin 3x=\frac{\sin 4x+\sin 2x-\sin 6x}{4}$

Sử dụng công thức đạo hàm bậc cao 

 $(\sin ax)^\left ( n \right ) =a^n.\sin (ax+\frac{n.\pi}{2})$

Tính tích phân $\large I=\int_{\pi}^{0}\frac{dx}{1+sinx}$

Xét nguyên hàm $I=\int \frac{dx}{1+\sin x}$

Đặt $t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^2},\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$

$\Rightarrow I=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}=2\int \frac{dt}{t^2+1+2t}=2\int \frac{dt}{(t+1)^2}=\frac{-2}{t+1}=\frac{-2}{\tan \frac{x}{2}+1}$

Sau đó bạn thay cận vào rồi tính.

Tính tích phân: $\large I=\int_{2}^{-2}\frac{dx}{(x+1)^2}$

Sử dụng nguyên hàm cơ bản 

$I=\int \frac{dx}{(x+1)^2}=\frac{-1}{x+1}+C$

Thay cận vào ta được đáp số $I=\frac{4}{3}$

1.Cho $x,y,z$ dương thỏa mãn:$x^2+y^2+z^2=3$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$(x+y)\sqrt{1+\frac{2}{x^2y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{2}{z^2}}+\sqrt{\frac{x+y+z}{2xy+z^2}}$$

 

3..Cho $x,y,z>0$ và $x^2+y^2+z^2=5(x+y+z)-2xy$.Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$P=x+y+z+43\left [ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y+z}} \right ]$$

Bài 1: Áp dụng C-S ta có 

 $\sqrt{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}+\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+2(\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{z})^2}=\sqrt{(x+y+z)^2+2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2}\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{162}{(x+y+z)^2}}$

Và $\sqrt{\frac{x+y+z}{2xy+z^2}}\geqslant \sqrt{\frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2}}=\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}$

Khi đó $P\geqslant \sqrt{(x+y+z)^2+\frac{162}{(x+y+z)^2}}\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=f(t),t=x+y+z\leqslant 3$

Bài 3: Tham khảo ở đây

Cho x;y;z >=0:x+y+z=1.

CM:$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\leq \frac{4}{27}$

Ta sẽ chứng minh $x^2y+y^2z+z^2x+xyz\leqslant \frac{4(x+y+z)^2}{27}$

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $y$ là số nằm giữa $x,z$

Khi đó $(x-y)(y-z)\geqslant 0\Rightarrow xy+yz\geqslant y^2+xz\Rightarrow xyz+yz^2\geqslant y^2z+z^2x$

$\Rightarrow 2xyz+yz^2+x^2y\geqslant y^2z+z^2x+x^2y+xyz$

$\Rightarrow y(x+z)^2\geqslant y^2z+z^2x+x^2y+xyz$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $y(x+z)^2\leqslant \frac{4(x+y+z)^3}{27}$

BĐT luôn đúng theo AM-GM

        $y(x+z)^2=\frac{1}{2}.2y(x+z)(x+z)\leqslant \frac{1}{2}[\frac{2y+x+z+x+z}{3}]^3=\frac{4(x+y+z)^3}{27}$

Vậy ta có đcpm

 

$a,b,c\geqslant 0,a+b+c=2$

$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+abc\leqslant 1$

 

Đặt $q=ab+bc+ca, abc=r, a+b+c=p=2$

Khi đó $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+abc=q^2-2abc(a+b+c)+r=q^2-3r$

Ta cần chứng minh $q^2-3r\leqslant 1\Leftrightarrow q^2\leqslant 3r+1$

+) Nếu $q<1$ ta có đpcm

+) Xét $q \geqslant 1$

Áp dụng BĐT Schur ta có $r\geqslant \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{8q-8}{8}\Rightarrow 1+3r\geqslant 1+\frac{8q-8}{3}$

Ta cần chứng minh $1+\frac{8q-8}{3}\geqslant q^2\Leftrightarrow (q-1)(q-\frac{5}{3})\leqslant 1$

BĐT trên luôn đúng do $q=ab+bc+ca\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{4}{3}<\frac{5}{3}$, và $q \geqslant 1$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(1;1;0)$ và hoán vị.

Giải phương trình:

$$\sqrt[4]{x+\frac{1}{x}+1}+\sqrt[4]{x-\frac{1}{x}+1}=2$$

Dễ thấy $x>0$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt[4]{x+\frac{1}{x}+1}+\sqrt[4]{x-\frac{1}{x}+1}-2$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{4}(x+\frac{1}{x}+1)^{\frac{-3}{4}}(1-\frac{1}{x^2})+\frac{1}{4}(x-\frac{1}{x}+1)^{\frac{-3}{4}}(1+\frac{1}{x^2})>0$

Và $f(1)=0$

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Cho $a,b,c>0$ và $abc+a+c=b$ .TÌm Max $P= \frac{2}{a^2+1}-\frac{2}{b^2+1}+\frac{3}{c^2+1}$

Thêm 1 cách lượng giác rất hay ở đây.

Cho $a>2,b>0,c>0$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}-4a+5}}-\frac{1}{(a-1)(b+1)(c+1)}$

Đặt $a-2=t>0$, khi đó $P=\frac{1}{2\sqrt{t^2+b^2+c^2+1}}-\frac{1}{(t+1)(b+1)(c+1)}$

Áp dụng C-S và AM-GM ta có 

       $t^2+b^2+c^2+1\geqslant \frac{(t+b+c+1)^2}{4}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{t^2+b^2+c^2+1}}\leqslant \frac{1}{t+b+c+1}$

      $\sqrt[3]{(t+1)(b+1)(c+1)}\leqslant \frac{t+b+c+3}{3}\Rightarrow \frac{1}{(t+1)(b+1)(c+1)}\geqslant \frac{27}{(t+b+c+3)^3}$

$\Rightarrow P\leqslant \frac{1}{t+b+c+1}-\frac{27}{(t+b+c+3)^3}$

Sau đó đặt $k=t+b+c+1>1$ rồi khảo sát hàm số

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $(a+b)^2+4a^2b^2+1=(2c^2+1)^2.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:

$$P=\dfrac{16a^3}{(b+c)^3}+\dfrac{16b^3}{(c+a)^3}+\dfrac{3(ab+1)}{c^2+1}$$

Từ giả thiết ta có $(2c^2+1)^2=(2ab+1)^2+(a-b)^2\geqslant (2ab+1)^2\Rightarrow c^2\geqslant ab$

Lại có tiếp $(a+b-2c)(a+b+2c)=(c^2-ab)(c^2+ab)\geqslant 0\Rightarrow a+b\geqslant 2c$

Áp dụng AM-GM ta có

 $P\geqslant 4(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a})^3+\frac{3(ab+1)}{c^2+1}$

Sử dụng $2c \leqslant a+b$, khi đó

 $P\geqslant 4(\frac{a}{b+\frac{a+b}{2}}+\frac{b}{\frac{a+b}{2}+a})^3+\frac{3(ab+1)}{\frac{(a+b)^2}{4}+1}$

$\Rightarrow P\geqslant 32(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3a})^3+\frac{12(ab+1)}{(a+b)^2+4}$

Và $\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3a}\geqslant \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2+4ab}$

Sau đó đặt $P=a+b,S=ab$, $P \geqslant 4S$ để chứng minh $P \geqslant 7$

Cho $3$ số thực $x,y,z$ thuộc $[1;3]$ 

Tìm giá trị nhỏ nhất của $B= \frac{36x}{yz} + \frac{2y}{xz} + \frac{z}{xy}$

Coi $B$ là hàm số theo $x$

Ta có $f'(x)=\frac{36}{yz}-\frac{1}{x^2}(\frac{2y}{z}+\frac{z}{y})\geqslant \frac{36}{yz}-\frac{2y^2+z^2}{yz}>0$

$\Rightarrow B=f(x)\geqslant f(1)=\frac{36}{yz}+\frac{2y}{z}+\frac{z}{y}=f(y)$

Lại có $f'(y)=\frac{-36}{y^2.z}+\frac{2}{z}-\frac{z}{y^2}< 0\Leftrightarrow 2y^2< 36z+z^2$

BĐT trên luôn đúng với $y,z \in [1;3]$

Khi đó $f(y)\geqslant f(3)=\frac{12}{z}+\frac{6}{z}+\frac{z}{3}=\frac{18}{z}+\frac{z}{3}\geqslant f(3)=7$

Vậy $B_{min}=7$ khi $x=1,y=z=3$

Cho $x,y,z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $xy \leq y-1$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\frac{x+y}{\sqrt{x^{2}-xy+3y^{2}}}-\frac{x-2y}{6(x+y)}$

Đề khối B-2013

Ta có $A=\frac{t+1}{\sqrt{t^2-t+3}}-\frac{t-2}{6(t+1)}=f(t),t=\frac{x}{y}$

Từ giả thiết ta có $\frac{x}{y}\leqslant \frac{1}{y}-\frac{1}{y^2}\leqslant \frac{1}{4}\Rightarrow t \in (0;\frac{1}{4}]$

Sau đó khảo sát hàm số 

Cho mình hỏi tại sao $2S= AM\times BC$ ? Vì mình nghĩ tam giác ABC chưa chắc đã là tam giác cân tại A nên AM chưa chắc là đường cao.

Hàm bậc $4$ trùng phương cũng giống như ham bậc $2$, luôn có trục đối xứng.

Vì thế nếu nó có $3$ cực trị thì $3$ cực trị đó luôn tạo thàn tam giác cân.

 

Bài 4:Cho hai số thực x,y thỏa mãn : $x^2+4y^2=1.$ Tìm GTNN, GTLN của $P=\dfrac{(x+1)^2+4y(x+y+1)}{x+2(y+1)}$

Ta có $P=\frac{(x+2y+1)^2}{x+2y+2}=\frac{(t+1)^2}{t+2}=f(t)$

Áp dụng C-S ta có 

      $t^2=(x+2y)^2\leqslant 2(x^2+4y^2)=2\Rightarrow t \in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Sau đó khảo sát hàm $f(t)$

Bài 8 Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$$P=(a-b)(b-c)(c-a)$$

Bạn nên đánh đúng số thứ tự của bài nhé.

Bài này đã đăng trong Topic, bạn có thể xem các lời giải đằng trước, có nhiều bài rất hay.

Cho a,b,c không âm: ab+bc+ca+3abc=6.

Tìm Min của 3(a+b+c)+2abc

Đặt $a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r$

Ta sẽ  chứng minh $3p+2r \geqslant 11$

Thay $r=\frac{6-q}{3}\Rightarrow P=3p+\frac{2(6-q)}{3}\geqslant 11\Leftrightarrow 9p-2q\geqslant 21$

Sử dụng $q\leqslant \frac{p^2}{3}$, ta chỉ cần chứng minh $9p-\frac{2p^2}{3}\geqslant 21\Leftrightarrow (p-3)(2p-21)\leqslant 0$

Từ giả thiết dễ thấy $p \geqslant 3$

Nếu $2p-21 \leqslant 0$, khi đó ta có đpcm, $P_{min}=11$

Nếu $2p-21 \geqslant 0$, khi đps $P>11$

Vậy $P_{min}=11$, khi $a=b=c=1$

 

Tính tích phân: 

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1-cosx}{1+cosx}dx$

 

Mình không có máy tính nêu chỉ xét nguyên hàm thôi.

Đặt $t=\tan \frac{x}{2}\Rightarrow dx=\frac{2dt}{t^2+1},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\Rightarrow I=\int \frac{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}.\frac{2dt}{t^2+1}=\int \frac{2t^2dt}{t^2+1}=\int (2-\frac{2}{t^2+1})dt=2t-2\arctan t +C$

Môn Tiếng Anh, điểm có số thí sinh nhiều nhất là 2,5đ ( = 25% ), chả lẽ đi thi phần lớn thi sinh là khoanh bừa hết.

Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ thì $\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq 10$

Do vai trò như nhau nên giả sử $c$ là số nhỏ nhất.

Khi đó 

   $P\geqslant \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{(b+\frac{c}{2})^2}+\frac{1}{(a+\frac{c}{2})^2}$

Đặt $x=a+\frac{c}{2},y=b+\frac{c}{2}\Rightarrow x+y=1$

Và $P\geqslant \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{1-2t}+\frac{1-2t}{t^2},t=xy\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}$

Ta cần chứng minh 

        $\frac{1}{1-2t}+\frac{1-2t}{t^2}\leqslant 10\Leftrightarrow (4t-1)(5t^2-1)\geqslant 0$

Vậy BĐT được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$ và hoán vị.

1) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $0 \leq a \leq b \leq c$ và $a^2+b^2+c^2=3$.tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3abc-2015a-b-c$

2)Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\dfrac{7}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{121}{14(ab+bc+ca)}$

Bài 1: Ta cần tìm max của $Q=2015a+b+c-3abc$

Ta sẽ chứng minh

         $Q\leqslant 2014\Leftrightarrow b+c-2\leqslant 2014(1-a)-3(1-abc)$  (*)

Do $a \leqslant b \leqslant c$ nên $abc \geqslant a^3$

Khi đó $VP(*)\geqslant 2014(1-a)-3(1-a^3)=(1-a)(2011-3a^2-3a)$

Lại có $VT(*)=b+c-2\leqslant \sqrt{2(b^2+c^2)}-2=\frac{2(1-a^2)}{2+\sqrt{6-2a^2}}$

Do vậy chỉ cần chứng minh 

         $(1-a)(2011-3a^2-3a)\geqslant \frac{2(1-a^2)}{2+\sqrt{6-2a^2}}$

$\Leftrightarrow 2011-3a^2-3a\geqslant \frac{2(1+a)}{2+\sqrt{6-2a^2}}$

BĐT luôn đúng với $a \leqslant 1$

Vậy GTNN của $P$ là -$2014$, khi $a=b=c=1$

Bài 2: Đặt $t=ab+bc+ca\leqslant \frac{1}{3}\Rightarrow A=f(t)=\frac{7}{1-2t}+\frac{121}{14t}$

Khảo sát hàm số.

Chứng minh rằng phương trình: sin x = x + 1 có 1 nghiệm duy nhất

Dễ thấy phương trình vô nghiệm với $x \geqslant 0$

Xét $x<0$

Xét hàm số $f(x)=x+1-\sin x$

      $\Rightarrow f'(x)=1-\cos x>0$

Và $f(-2 \pi).f(0)<0$

Do đó phương trình có duy nhất 1 nghiệm

mình thấy VP tăng trên (-∞;0) mà

Từ chỗ $3x-1=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+3}>0\Rightarrow x>\frac{1}{3}$

Mình làm tắt.

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x,y,z\in(0;1)$ và $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$.Chứng minh rằng:$\frac{x^2+y^4}{y}+\frac{y^2+z^4}{z}+\frac{z^2+x^4}{x}\geq \frac{15}{8}$

Đặt $(a,b,c)=(\frac{1-x}{x},\frac{1-y}{y},\frac{1-z}{z})\Rightarrow abc=1$

Khi đó $P=\sum \frac{b+1}{(a+1)^2}+\sum \frac{1}{(a+1)^3}\geqslant \sum [\frac{1}{a+1}+\frac{1}{(a+1)^3}]$

Do vai trò như nhau nên ta có thể giả sử $c \leqslant 1$, khi đó $ab \geqslant 1$

Khi đó $P\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{ab}}+\frac{1}{c+1}+\frac{2}{(1+\sqrt{ab})^3}+\frac{1}{(c+1)^3}=f(c)$

Sau đó khảo sát hàm số 

Giải phương trình:

$\sqrt{x^2 + 3} = 1 - 3x + \sqrt{x^2 +15}$

Mình được hướng dẫn là phương trình trên giải bằng phương pháp hàm số hay đạo hàm nhưng không biết cách làm. Mong mọi người giúp đỡ ạ

Phương trình tương đương

      $3x-1=\sqrt{x^2+15}-\sqrt{x^2+3}=\frac{12}{\sqrt{x^2+15}+\sqrt{x^2+3}}$

Dễ thấy $VT$ là hàm tăng, $VP$ là hàm giảm theo $x$

Vậy phương trình nếu có nghiệm thì là nghiệm duy nhất, đó là $x=1$