bai 2:
đặt:
$\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x^2-x+1}=b \Rightarrow 5ab=2(a^2+b^2)\Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)=0$
bai 1:
$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+4ab+\frac{1}{4ab}+\frac{1}{4ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2+\frac{1}{4ab}\geqslant 4+2+\frac{1}{4.\frac{1}{4}}=4+2+1=7$

với a,b,c là các số thực dương.Chứng minh:
$\frac{a+b}{a^2+bc+c^2}+\frac{b+c}{b^2+ca+a^2}+\frac{c+a}{c^2+ab+b^2}\geqslant 27.\frac{ab^2+bc^2+ca^2+3abc}{(a+b+c)^4}$

$x^2-6xy+13y^2=100\Leftrightarrow (x-3y)^2+4y^2=100\Rightarrow 4y^2\leqslant 100\Rightarrow y^2\leq 25\Rightarrow -5\leqslant y\leqslant 5$
lap bang tim x

áp dụng bất đẳng thức swarch:
$\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{x^3+y^3+3xy}=\frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{x^3+y^3+3xy(x+y)}=\frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{(x+y)^3}=4+2.\sqrt{3}$ (do x+y=1)

áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geqslant \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$

lam tương tự sau đó công lại

đặt $\sqrt{x^2+}3=a(a>0));\sqrt{x}=b(b>0)$
$\Rightarrow \sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^2+7}{2(x+1)}\Leftrightarrow \frac{a} {b}=\frac{a^2+4}{2b^2+2}\Leftrightarrow 2a.b^{2}+2a=4b+b.a^{2}\Leftrightarrow ab(2b-a)=2(2b-a)$
xet a=2b;ab=2 là xong

do parabol cắt trục hoành tại hai điểm nên:$ax^2+bx+c=0$
$\Rightarrow T=a.S_{2012}+b.S_{2011}+c.S_{2010}=a(x_{1}^{2012}+x_{2}^{2012})+b(x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011})+c(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})=x_{1}^{2010}(a.x_{1}^{2}+b.x_{1}+c)+x_{2}^{2010}(a.x_{2}^{2}+b.x_{2}+c)=0$

cho tam giác ABC nhọn,các đường trung tuyến $m_{a};m_{b};m_{c}$ ứng với các cạnh a,b,c.chứng minh:
$\sum_{cyc}\frac{bc}{a}.\sum_{cyc}\frac{m_{a}}{m_{b}m_{c}}\geqslant 6\sqrt{3}$

ồn ào quá,mọi người làm hay cãi vã đấy

Gọi S,R , a,b,c lần lượt là diện tích,bán kính đường tròn ngoại tiếp ,BC,AC,AB của tam giác ABC
Ta cần chứng minh:
$\sqrt{a^2b^2-4S^2}+\sqrt{a^2c^2-4S^2}=a^2 \Leftrightarrow \frac{a^2b^2-4S^2-a^2c^2+4S^2}{\sqrt{a^2b^2-4S^2}-\sqrt{a^2c^2-4S^2}}=a^2\Leftrightarrow b^2-c^2=\sqrt{a^2b^2-4S^2}-\sqrt{a^2c^2-4S^2}\Leftrightarrow$$b^2-c^2=\sqrt{a^2b^2-\frac{a^2b^2c^2}{4R^2}}-\sqrt{a^2c^2-\frac{a^2b^2c^2}{4R^2}} \Leftrightarrow b^2-c^2=ab\sqrt{1-\frac{c^2}{4R^2}}-ac\sqrt{1-\frac{b^2}{4R^2}}=\frac{ab\sqrt{4R^2-c^2}-ac\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}=\frac{ab\sqrt{\frac{c^2}{sin^2C}-c^2}-ac\sqrt{\frac{b^2}{sin^2B}-b^2}}{2R} =\frac{abc\left [ \sqrt{\frac{1}{sin^2C}-1}-\sqrt{\frac{1}{sin^2B}-1} \right ]}{2R} =\frac{abc(cotC.cotB)}{2R}=\frac{4RS.(cotC-cotB)}{2R}=2S.(cotC-cotB)$
dễ đang chứng minh được :
$cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S};cotB=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S} \Rightarrow 2S(cotC.cotB)=2S.(\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}-\frac{a^2+c^2-b^2}{4S})=b^2-c^2$

"Nếu là con chim chiếc là
Thì con chim phải hót
Chiếc là phải bay
Lẽ nào vay mà ko trả
Sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình".




Hãy like nhé

ta có:
a^3/(b+c)^3+1/8+1/8>=3/4(a/(b+c))(cauchy)
b^3/(a+c)^3+1/8+1/8>=3/4(a/(b+c))
c^3/(a+b)^3+1/8+1/8>=3/4(c/(a+b))
=>a^3/(b+c)^3+1/8+1/8+b^3/(a+c)^3+1/8+1/8+c^3/(a+b)^3+1/8+1/8>=3/4[a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)]
ap dung bat dang thuc Nesbit
a/(b+c)+c/(a+b)+b/(a+c)>=3/2
=>đ.p.c.m
dau bang xay ra khi a=b=c
to moi dang xin dien dan , to khong biet go cong thuc toan.ai noi cho to biet voi .thanksyou

n^3+2009n=n^3+2010n-n=(n^3-n)+2010n
ta có:2010n chia het cho 3 voi moi n
n^3-n=n(n-1)(n+1) chia het cho 3 voi moi n
=> n^3+2009n chia het cho 3 voi moi n