Câu 2 : (1,5 điểm)

Cho đa thức $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ với a nguyên dương và $f(5)-f(4)=2012$. CMR : $f(7)-f(2)$ là hợp số

 

Ta có: $f(5)-f(4)=2012\Leftrightarrow 11a+9b+c=2012$

$f(7)-f(2)=335a+45b+5c=280a+(55a+45b+5c)=(280a+10060)\vdots 10$

Vậy $f(7)-f(2)$ là hợp số

Giải phương trình $3x \sqrt{x^3+1}=x^3+x^2-19x-16$

 

@MOD: chú ý cách đặt tiêu đề

Ta có: $x^{3}+x^{2}-19x-16-3x\sqrt{x^{3}+1}=0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{3}+1}-3x-3 \right )\left ( \frac{3}{2}\sqrt{x^{3}+1}+\frac{1}{2}x-\frac{13}{2} \right )=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x^{3}+1}=3x+3 & \\ 3\sqrt{x^{3}+1}=x-13 & \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x\geq -1 & \\ \begin{bmatrix} x=-1\\ x=5\pm \sqrt{33} \end{bmatrix} & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} x\geq 13 & \\ 9x^{3}-x^{2}+26x-160=0 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Pt dưới vô nghiệm 

PT chỉ có nghiệm $x = 5 \pm \sqrt {33} $ thôi mà 

Chắc mình bấm máy nhầm, thử lại thấy không đúng thật 

Rảnh ngồi post :3

Bài 1 :

$PT \Leftrightarrow (x-\sqrt{x+2})(x^2 +\sqrt{x+2}) =0$

$\Leftrightarrow x =\sqrt{x+2} \Leftrightarrow x^2 -x-2 =0 \Leftrightarrow x =2 $

b, dùng cauchy :
$x^4 +y^4 +z^4 +t^4 +4 \geq 2(x^2+y^2+z^2+y^2) =8$

$\Leftrightarrow x^4+y^4 +z^4 +t^4 \geq 4$

$\Rightarrow dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=\pm 1 , y =\pm 1 , z =\pm1 . t =\pm 1$

Mà $x+y+z+y =0$

$\Rightarrow$  trong 4 số $x,y,z,t $có 2 số $=-1$  2 số $=1$

Bài 2 

a$A=\sqrt{a+3} +2\sqrt{b+2} +3\sqrt{c+1} \leq \sqrt{(1+2+3)(a+3+2b+4+3c+3)} =12$

Dấu = khi $a=1 ,b=2 ,c=3$

b Bình phương của 1 số chỉ $\equiv \pm 1 mod 5$

$\Rightarrow$ khi $p^2 \equiv 1 mod 5$ thì $2p^2 +3 \vdots 5 \Leftrightarrow 2p^2 +3 =5 \Leftrightarrow p =1$ loại

Khi $p^2 \equiv -1 mod 5 \Rightarrow 2p^2 -3 \vdots 5 \Leftrightarrow p =2 :\text{Chuẩn}$

Vậy p =2

Bài 3 :

a, Dễ có $AM.,AN = AK.AB  và AH .AE =AK .AB$

$\Rightarrow$ dpcm

b,Dễ thấy KH là phân giác $\angle EKF$

và KB là phân giác ngoài $\angle EKF$

$\Rightarrow$ DPCM

Còn giá trị $p=5$ nữa mà bạn

 

2. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố.

 

$\bigstar$ Xét $p=2;3;5;7$ chỉ có $p=5$ thỏa mãn

$\bigstar$ Với $p\geq 11$ thì $p$ tận cùng là $1;3;7;9$

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $1$ suy ra $4p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $3$ suy ra $6p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $7$ suy ra $6p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

$\star$ Nếu $p$ tận cùng là $9$ suy ra $4p^{2}+1$ tận cùng là $5$ (không là số chính phương)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN         ĐỀ THI KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 (đợt 2)

                                                                                                    

 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN                                          NĂM HỌC 2012-2013

                                             

                                               Môn: TOÁN HỌC (vòng 2)

                                               Thời gian làm bài: 150 phút

                                               Ngày thi: 14/04/2013

 

Câu $1$: ($3$ điểm)

$a)$ Giải phương trình: $x^{3}-(x^{2}-x)\sqrt{x+2}-x-2=0$

$b)$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+y+z+t=0 & & & \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}=4 & & & \\ x^{3}+y^{3}+z^{3}+t^{3}=0 & & & \\ x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}=4 & & & \end{matrix}\right.$

Câu $2$: ($3$ điểm)

$a)$ Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+2b+3c=14$. Tìm giá trị lớn nhất của: $A=\sqrt{a+3}+2\sqrt{b+2}+3\sqrt{c+1}$

$b)$ Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $2p^{2}-3$ và $2p^{2}+3$ là các số nguyên tố.

Câu $3$: ($3$ điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$. Các đường cao $AE,BF,CK$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng đi qua $A$ và $O$ cắt $KF$ tại $M$, cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $N$ ($N$ khác $A$)

$a)$ Chứng minh tứ giác $MNEH$ là tứ giác nội tiếp

$b)$ Gọi $P$ là giao của $KE$ và $BF$. Chứng minh rằng $HP.BF=HF.BP$

Câu $4$: ($1$ điểm)

Có ba chiếc hộp, hộp thứ nhất có $17$ viên bi, hộp thứ hai có $22$ viên, hộp thứ ba có $24$ viên. Chọn hai hộp bất kỳ và lấy ra từ mỗi hộp ra $1$ viên bi rồi cho vào hộp còn lại (nếu một trong hai chiếc hộp chọn ra không có viên bi nào bỏ hộp ra và chọn hộp còn lại). Hỏi bằng cách đó có thể chuyển tất cả các viên bi vào một hộp hay không?

Câu 2:
Tìm các số hữu tỉ x,y thỏa mãn
$\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{3x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}$
 

Ta có: $\sqrt{2\sqrt{3}-3}=\sqrt{3x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}\Leftrightarrow \sqrt{\sqrt{3}}\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{3}}\left ( \sqrt{3x}-\sqrt{y} \right )\Leftrightarrow 2-\sqrt{3}=3x+y-\sqrt{12xy}$
Đồng nhất các hệ số trên ta được: $\left\{\begin{matrix} 3x+y=2 & \\ 12xy=3 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+y=2 & \\ 3xy=\frac{3}{4} & \end{matrix}\right.$
Giải hệ trên ta được:$x=y=\frac{1}{2}$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{6} & \\ y=\frac{3}{2} & \end{matrix}\right.$

Cho hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (m-1) x+y =3m-4 \\ x+(m-1)y =m \end{matrix}\right.$
a/ Giải hệ phương trình khi m=-2
b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x+y=3

Câu 3:
a)Ta có (x-9)(x+5)+50=50, suy ra (x-9)(x+5)=0 suy ra x=9 hoặc x=-5
b)ta có: $\left | x+3 \right |=\left | -x-3 \right |\Rightarrow x+3=-x-3$ hoặc x+3=x+3
suy ra x=-3

 

 

Bài III: (3,0 điểm)

Cho $a;b;c$ là ba cạnh của tam giác có chu vi bằng $1$ . Chứng minh 

$4.\sum \frac{1}{a+b} \leq (\sum \frac{1}{a})+9$

 

Cách khác: BĐT tương đương $\sum \frac{4}{1-c}\leq \sum \frac{1}{c}+9$

Ta chứng minh: $\frac{4}{1-c}-\frac{1}{c}\leq 18c-3$ $(1)$

Thật vậy: $(1)\Leftrightarrow 5c-1\leq -18c^{3}+21c^{2}-3c\Leftrightarrow 18c^{3}-21c^{2}+8c-1\leq 0\Leftrightarrow \left ( 3c-1 \right )^{2}(2c-1)\leq 0$

Do $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên $a+b>c\Leftrightarrow c< \frac{1}{2}$

Vậy bđt cơ sở là đúng 

Tương tự $\frac{4}{1-a}-\frac{1}{a}\leq 18a-3$ và $\frac{4}{1-b}-\frac{1}{b}\leq 18b-3$

Cộng 3 bđt lại suy ra đpcm 

Câu 5
Gọi tổng số người là A (0<A<1000)
Vì A chia 20; 25; 30 đều dư 15 nên A tận cùng là 5
Mà A chia hết cho 41, A<1000 nên A có thể là 205, 615
Ta thấy số 625 thỏa mãn.
Vậy.............

Vòng 2

Bài 1:
Gọi $\large a, b$ là hai nghiệm của phương trình $\large x^2+px+1=0$ , $\large c, d$ là hai nghiệm của phương trình $\large y^2+qy+1=0$ . Chứng minh hệ thức : $\large (a-c)(a-d)(b-c)(b-d)=(p-q)^2$ .

Theo định lý Viét ta có $\left\{\begin{matrix} a+b=-p & & \\ c+d=-q & & \\ ab=cd=1 & & \end{matrix}\right.$
Ta có $VT=4-2ac-2bd-2ad-2bc+a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=4-2(a+b)(c+d)+(a+b)^{2}-2ab+(c+d)^{2}-2cd=4-2pq+p^{2}-2+q^{2}-2=(p-q)^{2}=VP$

Đề thi HSG lớp 10 trường THPT Chuyên Hà Nội-Amsterdam
Thời gian: 90'
Bài 1:
Cho $a,n\in \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn $(a+1)^3-a^3=n^2$
Chứng minh rằng $n$ là tổng của hai số chính phương liên tiếp

Ta có phương trình đã cho $\Leftrightarrow 3a^{2}+3a+1=n^{2}$
$\bullet$ Với $a> 0$ hoặc $a<-1$ ta có: $(2a)^{2}< 3a^{2}+3a+1< (2a+1)^{2}$ (không xảy ra)
Suy ra $-1\leq a\leq 0\Rightarrow \begin{bmatrix} a=-1 & \\ a=0 & \end{bmatrix}$
$\bullet$ Với $a=-1$ hoặc $a=0$ ta đều có $n=1=0^{2}+1^{2}$
Vậy ta có đpcm.

b) Giải hệ pt:
$\left\{\begin{matrix} x(1+\frac{1}{y})+\frac{1}{y}=1 & \\ x(x+\frac{3}{y})+\frac{1}{y^{2}}=3 & \end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{y}=a$, hệ trở thành
$\left\{\begin{matrix} x+ax+a=1 & \\ x^{2}+3ax+a^{2}=3 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+a+ax=1 & \\ (x+a)^{2}+ax=3 & \end{matrix}\right.$
Đặt $x+a=u;ax=v$
Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} u+v=1 & \\ u^{2}+v=3 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v=1-u & \\ u^{2}-u-2=0 & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} v=-1 & \\ u=2 & \end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} v=2 & \\ u=-1 & \end{matrix}\right.$
Tới đây xét từng trường hợp rồi áp dụng $Viet$ là được

Bài 5:$a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=\sqrt{3}$

$ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

suy ra đpcm

Nhìn là biết sai rồi.Thế tử
$a=b=c=\dfrac{3}{\sqrt{3}}$ là thấy bất đẳng thức sai

Vai trò a,b,c không bình đẳng nên a,b,c có thể khác nhau mà bạn!

PHÒNG GD&ĐT ỨNG HÒA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
KÌ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN Năm học: 2012-2013
Khóa thi ngày 04-03-2013

( thời gian làm bài 150 phút ) MÔN: TOÁN HỌC

Câu 1:(4đ)
Cho $P=\frac{x\sqrt{x}+5\sqrt{x}-12}{x-\sqrt{x}-6}-\frac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}$
$a/$ Rút gọn $P$
$b/$ So sánh $P$ và $4$
$c/$ Tính $P$ khi $x=\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}}$
Câu 2:(4,5đ)
$a/$ Tìm $x,y$ thỏa mãn $(x+1)^{2}+2xy+2y+y^{2}+\sqrt{2x-y-4}=0$
$b/$ Chứng minh nếu $n$ là số nguyên lẻ thì $(m^{3}+3m^{2}-m-3)\vdots 48$
$c/$ Cho $x,y$ dương thỏa mãn $x+y\geq 6$. TÌm min $Q=3x+2y+\frac{6}{x}+\frac{8}{y}$
Câu 3:(2đ)
Cho đường thẳng $(d)$ có phương trình $y=(m-2)x+2m-1$
$a/$ Chứng minh rằng $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của $m$
$b/$ Tìm giá trị của $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến $(d)$ có giá trị bằng $2$
Câu 4:(8đ)
Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp $(O;R)$. Các đường cao $AD;BE;CF$ cắt nhau tại $H$. Kéo dài $AO$ cắt đường tròn tại $K$
$a/$ Chứng minh $BHCK$ là hình bình hành
$b/$ Kẻ $OM\perp BC$ tại $M$. Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$.
Chứng minh $S_{AHG}=2.S_{AGO}$
$c/$ Chứng minh $\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}\geq 9$
Câu 5:(1,5đ)
Hai bạn $A$ và $B$ tiến hành chơi với $2013$ hạt đậu. $A$ đi trước và luân phiên nhau. Một nước đi là một lần lấy khỏi đống hạt đậu đi $1,2$ hoặc $3$ hạt. Người nào đi nước cuối (hết đậu trong đống), người ấy thắng. Vậy người nào có chiến thuật để luôn thắng và chiến thuật đó ra sao?
__________________________________________________________

P/S: Nhờ sự động viên của anh em trên $VMF$ mà mình đã làm hết! Cảm ơn mọi người nhiều! Bây giờ mọi nhười cùng chữa bài giúp mình nhé!

 

             b) Giải phương trình $2(x+1)^{2}=9x(\sqrt{x+2}-1)^{2}$

 

Đặt $\sqrt{x+2}=t(t\geq 0)\Rightarrow x=t^{2}-2$

Phương trình tương đương: $2(t^{2}-1)^{2}-9(t^{2}-2)(t-1)^{2}=0\Leftrightarrow -7t^{4}+18t^{3}+5t^{2}-36t+20=0\Leftrightarrow (t-2)(7t^{3}-4t^{2}-13t+10)\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=2 \rightarrow x=2& \\ t=\frac{-10}{7}(L) & \\ t=1 \rightarrow x=-1& \end{bmatrix}$

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015

 

 

2014 - 2015 chon Doi tuyen_2.jpg

$1)$ Tứ giác $OCAD$ nội tiếp, suy ra $\widehat{ODA}=90^{\circ}$

Suy ra $AC,AD$ là các tiếp tuyến của $\left ( C_{2} \right )$

Suy ra $AC=AD$. Ta có: $\left\{\begin{matrix} \widehat{BCF}=\widehat{CAE} & \\ \widehat{CBF}=\widehat{ACE} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{BFC}\Rightarrow \widehat{CEF}=\widehat{CFE}$

Mà $\left\{\begin{matrix} \widehat{AEG}=\widehat{CEF}=\widehat{CFE}=\widehat{ADC} & \\ \widehat{AGE}=\widehat{ADC} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \widehat{AEG}=\widehat{AGE}=\widehat{ADC}=\widehat{ACD}$

$\Rightarrow \widehat{CAD}=\widehat{GAE}\Rightarrow \widehat{CGD}=\widehat{GCF}$

Tứ giác $CFDG$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HFD}=\widehat{CGD}=\widehat{GCF}\Rightarrow FD//CG$

$2)$ Tứ giác $CEDB$ nội tiếp suy ra $\widehat{GED}=\widehat{CBD}$

Mà $\widehat{CBD}=\widehat{ACD}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

$\Rightarrow \widehat{GED}=\widehat{ACD}$

Mà $\widehat{EGD}=\widehat{CAD}$ (góc nội tiếp)

Suy ra $\Delta ACD\sim \Delta GED$. Mà $ACD$ cân suy ra $\Delta EGD$ cân

$3)$ Từ câu $1$ suy ra $\Delta CEF\sim \Delta ACD\sim \Delta GED$

$\Delta HCG$ cân và $FD//CG$ suy ra $DG=CF$

$\Rightarrow \Delta CEF=\Delta GED$ suy ra $CE=CG$

$HE$ là trung tuyến tam giác cân nên cũng là trung trực 

Vậy $HE$ là trung trực của $FD$

Bạn nói rõ cách tính được không?

 

         

         1. Giải PT $9x^2+12x-2=\sqrt{3x+8}$

        

Thử cách dùng CASIO của anh Việt !

Đặt $\sqrt{3x+8}=t(t\geq 0)$

Suy ra $x=\frac{t^{2}-8}{3}$

Thế vào phương trình ta được $9\left ( \frac{t^{2}-8}{3} \right )^{2}+12\left ( \frac{t^{2}-8}{3} \right )-2-x=0\Leftrightarrow t^{4}-12t^{2}-t+30=0\Leftrightarrow (t-3)(t^{3}+3t^{2}-3t-10)=0\Leftrightarrow (t-3)(t+2)(t^{2}+t-5)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3\\ t=\frac{-1+\sqrt{21}}{2} \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{1}{3}\\ x=\frac{-5-\sqrt{21}}{6} \end{bmatrix}$

Tính chính xác $B=246813579^{2}$

Tìm $x$ để $\frac{x}{\sqrt{x}-3}$ có giá trị nguyên

Nhận dạng tam giác $ABC$ biết

1) $\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}=\frac{2}{\cos \frac{C}{2}}$

$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}\geq \frac{4}{\sin A+\sin B}=\frac{2}{\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}\geq \frac{2}{\cos \frac{C}{2}}$

Vậy $sinA=sinB\Leftrightarrow A=B$ suy ra tam giác cân tại $C$

Câu 1(4đ)

1/Giải phương trình $$\sqrt{3}(x^2-3x+1)+\sqrt{x^4+x^2+1}=0.$$

Ta có phương trình đã cho$\Leftrightarrow 3(x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x+1)=x^{4}+x^{2}+1\Leftrightarrow 2x^{4}-18x^{3}+32x^{2}-18x+2=0$
$\bigstar$ Xét $x=0$ ta có $\sqrt{3}=-1$(vô lý)
$\bigstar$ Với $x\neq 0$ ta có phương trình $2x^{2}-18x+32-\frac{18}{x}+\frac{2}{x^{2}}=0\Leftrightarrow 2(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})-18(x+\frac{1}{x})+32$
Đặt $x+\frac{1}{x}=a\Rightarrow x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=a^{2}-2$
Phương trình đã cho trở thành $2(a^{2}-2)-18a+32=0\Leftrightarrow 2a^{2}-18a+28=0\Leftrightarrow a=2$ hoặc $a=7$
$\bullet$ Với $a=2$ ta có : $x+\frac{1}{x}=2\Leftrightarrow x=1$
$\bullet$ Với $a=7$ ta có: $x+\frac{1}{x}=7\Leftrightarrow x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$ hoặc $x=\frac{-3\sqrt{5}+7}{2}$