áp dụng bđt minkowski $\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{9+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}\geq \sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}$

do a+b+c=abc, suy ra $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

suy ra $\sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$

Bạn cho mình dạng tổng quát và cách chứng minh bđt minkowski đk k?

Gọi R,r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC, d là khoảng cách giữa trọng tâm G và tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó, chứng minh $d^{2}< R(R-2r)$

Cho $x,y,z\in \left [ 1;2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của $P= (x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Ta có: $(\sqrt{2}+1)P=(\sqrt{2}+1)ab+(\sqrt{2}+1)b^{2}\leq \frac{(\sqrt{2}+1)^{2}a^{2}+b^2}{2}+(\sqrt{2}+1)b^{2}=(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(a^{2}+b^{2})=\frac{3}{2}+\sqrt{2}\Leftrightarrow P\leq \frac{\sqrt{2}+1}{2}$

Bạn có thế ns rõ cách suy nghĩ để tìm ra hướng giải đk k? Vd như tại sao lại phải nhân thêm vào??? 

$P=\left ( x^2+\frac{1}{y^2} \right )\left ( y^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{\left ( x^2y^2+1 \right )^2}{x^2y^2}$

Ta sẽ chứng minh $\frac{x^2y^2+1}{xy}\geq \frac{17}{4}$ (1)

Thật vậy ta có (1) $\Leftrightarrow x^2y^2-\frac{17}{4}xy+1\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} xy\geq 4& \\ xy\leq \frac{1}{4}& \end{bmatrix}$

Mặt khác $1=(x+y)^2\geq 4xy\Leftrightarrow xy\leq \frac{1}{4}$

Từ đó chứng minh được (1)

Suy ra $P\geq \left (\frac{17}{4} \right )^2$

Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=\frac{1}{2}$

Tại sao lại đoán đk cho min =17/4 hả bạn

Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng: 

$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Cho $x,y,z\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$. Chứng minh: $\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Cho hai số dương a,b thỏa mãn $a^{2}+b^{2}=1$. Tìm GTLN của $P=b(a+b)$

Cho x,y>0 và x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+\frac{1}{y^2})(y^2+\frac{1}{x^2})$

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{^{2}}}}=\frac{x^{4}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}}+\frac{y^{4}}{y\sqrt{1+z^{^{2}}}}+\frac{z^{4}}{z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x\sqrt{1+y^{^{2}}}+y\sqrt{1+z^{^{2}}}+z\sqrt{1+x^{^{2}}}}\geq \frac{3^{2}}{\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})((x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}+3)}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Chỗ cuối áp dụng bđt nào vậy bạn?

Bài này có nhiều cách giải lắm!       

Thì chọn cách giải đi bạn

CM như sau :
Ta có :$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2} ; x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ 
Theo Viet thì $x_{1}.x_{2}=-3$ và $x_{1}+x_{2}=1$
Khai triển $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})-x_{1}.x_{2}(x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009})$ 
hay $S_{n+2}=S_{n+1}+3S_{n}$
Lại có $S_{0}=2 ,S_{1}=1$
CM bằng quy nạp ta đc $S_{n}$ $\in \mathbb{Z} ,\forall n \in N$

Bạn nói rõ đoạn sau được không. Mình không hiểu lắm. Có cách làm khác không bạn???

Cho tam giác ABC(a,b,c) nội tiếp đường tròn (O;R) cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của P= abc

Cho phương trình: $x^{2}-x-3=0$ với $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Chứng minh $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}$ là số nguyên

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn$a+b+c=3$. Tìm GTNN của:

$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+c+a}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+a+b}}$

Cho tam giác ABC có độ dài ba đường phân giác trong đều nhỏ hơn 1 và có diên tích S. Chứng minh:

$S< \frac{1}{\sqrt{3}}$

Xét các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a+2b+3c\geq 20$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$L=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}$

Hê rông+ phân giác

Rõ hơn 1 chút đk ko bạn?

Cho x,y,z là các số thực nằm trong đoạn $\left [ \frac{1}{2};1 \right ]$. Tìm gtnn, gtln của biểu thức:

$P=\frac{x+y}{1+z}+\frac{z+y}{1+x}+\frac{x+z}{1+y}$

 

$P= \sum \frac{x+y}{1+z}=\sum \frac{(x+y)^2}{(x+y)+z(x+y)}$

$\geq \frac{4(x+y+z)^2}{2\sum x+2\sum xy}$

$\geq \frac{2(\sum x)^2}{\sum x+\frac{1}{3}(\sum x)^2}$

$=\frac{6\sum x}{3+\sum x}$

Vì $\frac{3}{2}\leq \sum x\leq 3$ nên $MIN P=2$ khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

 

Bạn giải thích kĩ hơn phần biến đổi đầu đk k? Mình chưa hiểu lắm

Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} x+y=2+xy & \\ \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=m& \end{matrix}\right.$

Chia cả 2 vế cho $cos\alpha \neq 0$:

$A=\frac{sin^{3}\alpha+cos\alpha }{3cos\alpha -sin\alpha }=\frac{(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^3+1}{3-\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}=\frac{tan\alpha^3+1}{3-tan\alpha}=\frac{7}{18}$

KQ : $\boxed{A=\frac{7}{18}}$

P/s : sorry, mình làm nhầm mất T.T

Bạn ơi chia kiểu ji mà lại có $(\frac{sin\alpha }{cos\alpha })^{3}$ được, $sin^{3}\alpha :cos\alpha$ thôi mà???

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}=2y-1 & & \\ y^{3}=2z-1& & \\ z^{3}=2x-1& & \end{matrix}\right.$

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} x+y=2+xy (1) \\ \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=m (2) \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{xy}+1$

$\Rightarrow m=\frac{4}{x^2y^2}\frac{2}{xy}+1$

$\Rightarrow m=4a^2 + 2a +1(\frac{1}{xy}=a, a\neq 0)$

Tới đây ta nhanh chóng tìm được đk là $m\neq 1 \wedge m\geq \frac{3}{4}$

Hix, nhanh chóng tìm ra là làm tn bạn???

Giải phương trình: 

$\sqrt{\frac{6}{2-x}}+\sqrt{\frac{10}{3-x}}=4$