1,$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+1)=6y-2 & \\ x^{4}y^{2}+2x^{2}y^{2}+y(x^{2}+1)=12y^{2}-1 & \end{matrix}\right.$

2,$\left\{\begin{matrix} y=-x^{3}+3x+4 & \\ x=2y^{3}-6y-2 & \end{matrix}\right.$

3,$\left\{\begin{matrix} (1+x)(1+x^{2})(1+x^{4})=1+y^{7} & \\ (1+y)(1+y^{2})(1+y^{4})=1+x^{7} & \end{matrix}\right.$

4,$\left\{\begin{matrix} x^{2}y+y^{3}=x^{4}+x^{6} & \\ (x+2)\sqrt{y+1}=(x+1)^{2} & \end{matrix}\right.$

Bài 4

PT (1)$x^2(y-x^2)+y^3-(x^2)^3=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=x^2 & \\ x^2+y^2+x^2y+y^4(*) & \end{bmatrix}$

(*) thì xét denta chứng minh vô nghiệm

 

a/

$\begin{cases}
2x-y=1+\sqrt{x(y+1}& \color{red}{(1)} \\
x^3-y^2=7 & \color{red}{(2)} \\
\end{cases} $

 

ĐK...

PT 1 $\Leftrightarrow 2x-\sqrt{x(y+1)}-(y+1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{x}=\sqrt{y+1} & \\ \sqrt{x}=-\frac{1}{2}\sqrt{y+1} & \end{bmatrix}$

Và đến đây thì cứ vô văn tư thế vào PT 2 để mà giải tiếp 

$S=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

Ko ra được giá trị hữu tỉ của x hay sao ý, mình nghĩ là khó có thể giải trực tiếp như vậy, mà mình cũg không biết Công thức nghiệm bậc 3 Cardano là cái gì ??

Có khi giải theo chiều hướng đó được rồi ????.Cardano mình cũng tiếp xúc ít !!!!!

Tính : $A=2x^{3}+2x^{2}+1$

biết $x=\frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{(23+\sqrt{513})}{16}}+\sqrt[3]{\frac{(23-\sqrt{513})}{16}}-1)$

Đặt $a=\sqrt[3]{\frac{(23+\sqrt{513})}{16}}+\sqrt[3]{\frac{(23-\sqrt{513})}{16}}$

Ta có $a^3=\frac{23}{8}+3a.\sqrt[3]{\frac{(23+\sqrt{513})(23-\sqrt{513})}{16^2}}$

$\Leftrightarrow a^3=\frac{23}{8}+\frac{3a}{\sqrt[3]{16}}$.

Đến đay thì dùng Công thức nghiệm bậc 3 Cardano để tìm a.Suy ra x

a)Tìm Min A= x²+x+1
b)Tìm Max B= -x²+x-1

a)$A=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

 $\Rightarrow minA=\frac{3}{4}$ đạt được <=> x=-0,5

b) $B=-(x^2-x+1)=-[(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}]\leq -\frac{3}{4}$

$\Rightarrow maxB=-\frac{3}{4}$ đạt được khi và chỉ khi x=0,5

Từ bất đẳng thức $(a+b)^2\leqslant 2(a^2+b^2)$  Áp dụng

$VT^2\leqslant 2(1+4cosx+4cos^2x+1+4sinx+4sin^2x)=2[6+4\sqrt{2}cos(x-\frac{\pi }{4})]\leqslant 12+8\sqrt{2}$

$\Rightarrow VT\leqslant \sqrt{12+8\sqrt{2}}=2\sqrt{2}+2$

Suy ra $m\geqslant \sqrt{2}+\frac{3}{2}$

Cho các số thực x,y thoả mãn $x+y-1=\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1}$

Tìm GTLN,GTNN của S= $(x+y)^{2}-\sqrt{9-x-y}+\frac{1}{\sqrt{x+y}}$

Từ giả thiết

$(x+y-1)^2=(\sqrt{2x-4}+\sqrt{y+1})^2\leq (2+1)(x+y-1)$

$\Rightarrow 1\leq x+y\leq 3$

Và đến đây đặt $t=x+y$ thay vào biểu thức sau đó dùng đạo hàm là ra max min ngay

bài 2 áp dụng tính chất của csc biến đổi ắt sẽ có sự chiệt tiêu:
cuối cùng ta có được:a
a+c=2b ==> dpcm

Góp thêm một bài :
Giải PT :
$\sqrt[3]{1 - x} + \sqrt{x + 2} = 1$

phương trình đã cho tương đương:
$(\sqrt[3]{1-x}+1)+(\sqrt{x+2}-2)=0$$\Leftrightarrow \frac{2-x}{(\sqrt[3]{1-x})^2-\sqrt[3]{1-x}+1}-\frac{2-x}{\sqrt{2+x}+2}=0$
đặt nhân tử chung (2-x)

Mình xin post thêm một số hệ phương trình nữa 

4/$\left\{\begin{matrix} \frac{x-y}{1-xy} =\frac{1-3x}{3-x}& & \\ \frac{x+y}{1+xy}=\frac{1-2y}{2-y}& & \end{matrix}\right.$

5/$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+\frac{1}{y}}=3-\sqrt{x+y+3} & & \\ 2x+y+\frac{1}{y}=8& & \end{matrix}\right.$

Tự hào là thành viên VMF

Bài 5

ĐK....

ĐẶt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x+\frac{1}{y}} & \\ b=\sqrt{x+y+3} & \end{matrix}\right.$

Ta có hệ mới $\left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ a^2+b^2=11 & \end{matrix}\right.$

Tim min cua $P=\frac{1}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}-\frac{3}{1+c^2}$

Voi $a+b+ab=c$

Giải pt:

$4\sqrt{x^2+x+1}=1+5x+4x^2-2x^3-x^4$

$\frac{3(x-5)}{5-x^2}+\sqrt{3}(x+1)=0$

Bạn nào giỏi Pt Giải giùm mình pt này với :

$13\sqrt{2x^2-x^4} +9\sqrt{2x^2+x^4}=32$

Nhanh lên nha !

Đề ra kì này

 Đặt $\small \left\{\begin{matrix} a=\sqrt{2x^2-x^4} & \\ b=\sqrt{2x^2+x^4} & \end{matrix}\right.$

Ta có hệ $\small \left\{\begin{matrix} 13a+9b=32 & & \\a^2+b^2=4x^2 & & \\ a^2-b^2=-2x^4 & & \end{matrix}\right.$

Thầy mình cũng vừa đưa bài này cho mình giải.Mình mới ý tưởng đến đây...

$(\sqrt{1+x} - 1 ) ( \sqrt{1-x} +1) = 2x$ e đặt tổng 2 

căn là t nhưng vẫn còn 2x phải làm thế nào ạ ?

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{1+x} & \\ b=\sqrt{1-x} & \end{matrix}\right.$

Ta có hệ:$\left\{\begin{matrix} ab+a-b-1=a^2-b^2 & \\ a^2+b^2=2 & \end{matrix}\right.$

Và đây là hệ đối xứng thì giải vô tư

bài này nhân liên hợp là đc ạ.  

Không đc e.

Ngoài nghiệm bằng 0 ra thì pt còn 1 nghiệm Lẻ nữa

e vẫn chưa rõ cách giải hpt nay. có phải giải kiểu đặt S, P ko a? nếu thế thì còn  (a-b) làm thế nào ạ ?

Đúng rồi đấy,đặt ẩn phụ thì được nhưng quan trọng là có giải được cái hệ đó không.

Nó chưa chắc phải là hệ đx.ĐỂ suy nghĩ thêm

e vẫn chưa rõ cách giải hpt nay. có phải giải kiểu đặt S, P ko a? nếu thế thì còn  (a-b) làm thế nào ạ ?

Cái hệ này thì làm như sau:

Hệ$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab+2a-2b-2=2a^2-2b^2 & \\ 2=a^2+b^2 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2ab+2a-2b=3a^2-b^2 & \\ 2=a^2+b^2 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2ab-2a^2)+(2a-2b)=a^2-b^2 & \\ 2=a^2+b^2 & \end{matrix}\right.$

Đến đây thì biết phải làm gì đối với PT trên rồi nhé !!!!!

(Chú ý nhớ đến đk để mà loại nghiệm)

giải phương trình: 

Ta có $cos3x.sin^3x+sin3x.cos^3x=3sinx.cosx.cos2x=\frac{3}{4}sin4x$

Thế vào giải tiếp:

$sin^2x+\frac{sin^23x}{4}=sinx.sin^23x$  (Đẳng cấp nhé)

Đến đây thì dễ rồi !!!!

Đến đây giải tiếp kiểu gì bạn ơi,tớ nghĩ mai chẳng ra 

Đó là PT đẳng cấp

$x^2+\frac{y^2}{4}=xy$

-Xét y=0 có là nghiệm không,

-Chia hai vế cho y^2 thì ta có $(\frac{x}{y})^2-\frac{x}{y}+\frac{1}{4}=0$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{2}$

Vế phải là $sinx.sin^{2}3x$ mà bạn

Ừ công nhân...thế mà làm khí thế.....

Nhưng mà chưa hẳn là giập tắ cơ hội.áp dụng công thức nhân 3 đối với sin và giải PT 1 ẩn theo sin

nhưng rất cồng kềnh,thuận lợi thì nghiệm đẹp ây

1,Giải phương trình: $ 1+(6x+2).\sqrt{2x^2-1}=2(5x^2+4x) $
2, Giải BPT: $ x^2-6x+2$ $\geq $ $2(2-x).\sqrt{2x-1}$
3, Giải phương trình:
 $ x+1=(2x+1).\sqrt{\sqrt{x+1}+2} $
4, $ x.\sqrt[3]{x-2}-11\sqrt[3]{-x^2+4x-4}+14=5x+13\sqrt[3]{x-2}$

Bài 1

ĐK........

PT$\Leftrightarrow (2x^2-1)-(6x+2)\sqrt{2x^2-1}+8x+8x^2=0$   (*)

Ta có $\Delta =(2x-2)^2$

$(*)\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-1}=\frac{6x+2\pm \left | 2x-2 \right |}{2}$

Bài 10:

Đặt $y=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$

Ta có hệ $\left\{\begin{matrix} y^3=7x^2+9x-4 & \\ y=x^3-4x^2-5x+6 & \end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế ta được $y^3+y=(x+1)^3+(x+1)$  (*)

Xét hàm $f(t)=t^3+t$ đông biến trên R với mọi t.nên từ (*) suy ra y=x+1

Quy về giải PT $x+1=\sqrt[3]{7x^2+9x-4}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=5 & \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} & \end{bmatrix}$

$2\sqrt{x+3}=9x^2-x-4$

$12\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=3x+9$

Bài 1

ĐK...

PT$\Leftrightarrow x+3+2\sqrt{x+3}+1=(3x)^2 \Leftrightarrow (\sqrt{x+1}+1)^2=(3x)^2$

ĐẾn đây OK !!!