THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI         NĂM HỌC 2014-2015

     ĐỀ THI CHUYỂN HỆ LỚP 10

          Thời gian : 150 phút

Câu 1: Giải hệ phương trình :

$$\left\{\begin{matrix} \left ( x^2-y+2 \right )\left ( y^2-x+2 \right )=0\\ x+y+3=3\sqrt{2y-1} \end{matrix}\right.$$

Câu 2: Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $k$ là số nguyên dương không lớn hơn $2p$ . Chứng minh rằng :

$$\textrm{C}_{2pk}^{2p}\equiv k\left ( 2k-1 \right )(modp)$$

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp có tâm là $I$ tiếp xúc với

cạnh $BC$ ở điểm $D$. Đường thẳng qua $I$ song song với $BC$ cắt $AB,AC$ ở các điểm $E,F$. Gọi $X$ là giao điểm của các đường thẳng $AB,DF$ và $Y$ là giao điểm của các đường thẳng $AD,DE$. Các đường thẳng $AD$ và $XY$ gặp nhau ở $Z$. Chứng minh rằng :

1. Tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ nằm trên đường thẳng qua $Z$ và song song với $BC$.
2. Tam giác $BCZ$ cân.

Câu 4. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x\leq 1,y\leq 2$ và $x+y+z=6$. Chứng minh rằng 

$$\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right )\geq 4xyz.$$

Lời giải bị sai nha! Chắc gì $a+b$ kg âm để có được BĐT ban đầu

Ở bài toán, $a+b$ chính là $P$ đúng không. Đó, liên hợp ta được 

$\frac{6}{\sqrt[3]{(3+\sqrt{x})^{2}}-\sqrt[3]{9-x}+\sqrt[3]{(3-\sqrt{x})^{2}}}$.

Vậy $P$ dương, hay $a+b$  không âm nhé

1. TÌm các số thực $x$ để biểu thức $P=\sqrt[3]{3+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{x}}$ là một số nguyên

 Ta có: $(a+b)^{3}\leq 4(a^{3}+b^{3})= 24$ nên $0<P<3$

Xét $P=1$ và $P=2$ 

Cho $\Delta ABC,H$ là trực tâm. Các đường cao $AA_1,BB_1,CC_1$. Chứng minh rằng : Với điểm $M$ bất kỳ thì $$MA^2+MB^2+MC^2\geq \frac{4}{3}\left ( HA_1+HB_1+HC_1 \right )^2$$

     Đề bài phải là tìm Max chứ 

 

 Không mất tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$.Do $\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}= > 0< sin\alpha ,sin\beta ,sin\gamma < 1$

 

Ta có $P=\frac{sin\alpha }{a}+\frac{sin\beta }{b}+\frac{sin\gamma }{c}\leq \frac{sin\alpha }{c}+\frac{sin\beta }{c}+\frac{sin\gamma }{c}=\frac{sin\alpha +sin\beta +sin\gamma }{c}$

 

   Mặt khác $sin\alpha +sin\beta =2sin\frac{\alpha +\beta }{2}cos\frac{\alpha -\beta }{2}\leq 2sin\frac{\alpha +\beta }{2}$

              

                    $sin\gamma +sin\frac{\pi }{6}=2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}cos\frac{\gamma -\frac{\pi }{6}}{2}\leq 2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}$

 

Cộng theo vế $= > P\leq \frac{2sin\frac{\alpha +\beta }{2}+2sin\frac{\gamma +\frac{\pi }{6}}{2}-sin\frac{\pi }{6}}{c}=\frac{4sin\frac{\alpha +\beta +\gamma+\frac{\pi }{6} }{4}cos\frac{\alpha +\beta -\gamma -\frac{\pi }{6}}{4}-\frac{1}{2}}{c}\leq \frac{3}{2c}=const$

 

 Dấu = xảy ra khi $< = > \left\{\begin{matrix} a=b=c & \\ \alpha =\beta =\gamma =30 & \end{matrix}\right.$

 

    

.Tam giác $ABC$ bất kỳ anh nhá. Ko đều

Cực trị hình học.

 Cho tam giác $ABC$ có độ dài các cạnh là $a,b,c$. Cho góc $\alpha ,\beta ,\gamma$ sao cho $\alpha +\beta +\gamma =90^{\circ}$. Tìm GTLN của biểu thức sau : $P=\frac{sin\alpha }{a}+\frac{sin\beta }{b}+\frac{sin\gamma }{c}$

P/s: Lâu lắm mới tái xuất giang hồ

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Tìm Min:

E=$\frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$

http://diendantoanho...c-bfrac16cab-c/

Chắc ĐHV đã sửa chữa thôi. Mình xem trang này không có vấn đề gì cả. Bạn thử gửi bài lại xem

tại sao khi em trả lời vào bài viết của chủ đề:câu lạc bộ ngoại khóa, các môn sinh hóa....thì hệ thống lại nói :''bạn không có quyền trả lời vào chủ đề này''.Mong các Mod giải thích ạ

Bạn có thể đưa link ko. Mình vào kiểm tra CLB Ngoại khóa thấy vẫn gởi bài,trả lời được mà.

Thân!

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : $$2\left ( a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2 \right )+3\leq 3\left ( a^2+b^2+c^2 \right )$$

Bạn thiếu mất 1 bộ nữa là $(7,24,25)$

Nếu mình tính k nhầm thì đáp số là $k=20$

OK, Thanks!

Nhưng với $k=20$ thì tập M={1,2,7,11,14,18,19,21,22,23,24,3,4,6,9,10,13,16,17,20} có 20 phần tử chúng ta không tìm được bộ ba Py => $k=21$

Không đi thi , nhưng thầy giáo em bảo người ra đề đưa ra $k=23$ cơ không phải 22, 21 đâu

 Đáp án câu đa thức ngày 1 của anh Cẩn

Đề thi chọn đội tuyển toán THPT chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội năm học 2014-2015

Ngày 1:

Câu 1: Cho dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ thỏa mãn với $x_1=1$ và $x_{n+1}=5\left ( \sqrt{x_n+11}-\sqrt{x_n+4} \right )$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng dãy số $\left ( x_n \right )^\infty _{n=1}$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn ấy.

Câu 2: Xét $M$ là tập tất cả các đa thức $p(x)=a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_{1}x+a_0$ trong đó $n$ là số nguyên dương và $a_k$ là số thực thuộc đoạn $\left [ 100;101 \right ]$ với mọi $k=0,1,...,2n$

1. Chứng minh rằng tồn tại đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng 200 và có nghiệm thực.
2. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn tính chất : tồn tại một đa thức $p(x)$ thuộc $M$ có bậc bằng $2n$ và có nghiệm thực.

Câu 3: Cho tam giác $ABC$ . Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$ ở $D$. $M$ là một điểm thay đổi trên $BC$ khác $B,C$. $(I_1),(I_2)$ theo thứ tự là đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$ và $ACM$. $PQ$ là tiếp tuyến chung ngoài khác $BC$ của $(I_1),(I_2)$ (với $P\in\left ( I_1 \right )$ và $Q\in\left ( I_2 \right )$) . $S$ là giao điểm $BP$ và $CQ$. Chứng minh rằng :

1. Bốn điểm $M,I_1,I_2,D$ cùng nằm trên một đường tròn.
2. $S$ luôn chạy trên một đường tròn cố định.

Câu 4: Một bộ ba số nguyên được $(x,y,z)$ được gọi là một bộ ba $Pythagore$ nếu như $x^2+y^2=z^2$. Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm $k$ phần tử của tập $S=\left \{ 1,2,...,25 \right \}$, luôn có ba phần tử tạo thành một bộ ba $Pythagore$ .

Ngày 2:

Câu 5: Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $A,B$ phân biệt, cố định không thuộc đường tròn. Đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$. Gọi $P,Q$ là các giao điểm thứ hai của $BM,BN$ với $(O)$. Các đường thẳng $PQ$ và $AB$ cắt nhau ở $C$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MCP$ chạy trên một đường thẳng cố định.

Câu 6: Cho dãy số $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ xác định bởi $x_0=0,x_1=3$ và $x_{n+1}=\frac{7x_n+3\sqrt{4+5x_n^2}}{2}$ với mọi số nguyên không âm $n$.

1. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy $\left ( x_n \right )_{n\geq 0}$ là số tự nhiên và $x_{2014}$ chia hết cho $x_{19}$.
2. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $a$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$, trong biển diễn nhị phân của số $x_{an}$ có ít nhất $46^{2014}$ chữ số 1.

Câu 7:  Cho $x,y,z$ là các số thực không âm và đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: $$\frac{x+y}{\left ( x-y \right )^2}+\frac{y+z}{\left ( y-z \right )^2}+\frac{z+x}{\left ( z-x \right )^2}\geq \frac{9}{x+y+z}$$

Câu 8: Có một người sử dụng bản đồ trên điện thoại di động để đi từ một điểm $A$ đến một điểm $B$ . Anh ta đã đi đến được điểm $B$ sau một số lần cứ đi một đoạn thẳng lại phải chỉnh lại hướng bằng cách quay một góc nhọn theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng tổng các góc phải điều chình này bằng $\alpha < 180^{\circ}$. Chứng minh rằng độ dài đoạn đường anh ta đi không vượt quá $\frac{AB}{cos\frac{\alpha }{2}}$.

Giải hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} 3\left (2-x \right )\sqrt{2-y^2}=2-y+\frac{4}{x+1}\\ \left ( x^2+xy-x-2+y \right )\sqrt{2-y^2}+2=x+y \end{matrix}\right.$$

Đề thi chọn đội tuyển quốc gia trường Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ năm 2014-2015

Câu 1 : Cho dãy số $\left ( x_n \right )$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}x_n+n^2 \end{matrix}\right.$ với $n=1,2,3...$

Tính giới hạn : $\lim_{n\rightarrow +\propto }\left ( \frac{\sqrt[3]{x_n}}{1+n} \right )$

Câu 2: Tìm tất cả đa thức $P(x)$ với hệ số thỏa mãn 

$$2P^3\left ( x \right )-3=-P\left ( x^3-1 \right )$$ với mọi số thực $x$

Câu 3 : Cho 3 điểm $A,B,C$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $d$, $M$ là một điểm duy nhất thay đổi trên đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $d$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$, trong đó $D,E$ là các tiếp điểm . Chứng minh trực tâm $H$ của tam giác $MDE$ thuộc một đường tròn cố định.

Câu 4: Trong một kỳ thi có 30 thí sinh và 5 giám khảo. Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt. Giả sử $k$ là một số thỏa mãn điều kiện. Với hai giám khảo bất kỳ , số thi sinh mà họ cho kết luận giống nhau nhiều nhất là $k$. Chứng minh rằng : $k\geq 12$

Câu 5: Cho số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=2$. Tìm giá trị lớn nhất của :

$M=\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{z+y+x+1}+\frac{1}{xyz+3}$

Câu 6: Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn:$\left ( x-1 \right )\left ( y^5+y^2-2y \right )=x^{11}-1$

Câu 7: Trong một bảng ô vuông kích thước $999 \times 999$, mỗi ô được tô bởi một trong 2 màu trắng hoặc đỏ. Gọi $T$ là số bộ $(C_1,C_2,C_3)$ các ô mà hai ô đầu trong cùng 1 hàng và hai ô cuối cùng 1 cột, với $C_1$ và $C_2$ màu trắng, $C_3$ màu đỏ.

Tìm giá trị lớn nhất của $T$

1) Cho $a,b,c,d>0;a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Tìm $max$ $$P= \frac{a}{b^2+3}+\frac{b}{c^2+3}+\frac{c}{d^2+3}+\frac{d}{a^2+3}$$

2) Cho $a,b,c,d>0;a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Tìm $max$ $$P= \frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{d+3}+\frac{d}{a+3}$$

mình thấy ko phù hợp ở THCS nên đã khóa và đăng lại trên THPT . m.n ko phải đưa dạng tổng quát làm gì nữa

Cho $\Delta ABC$ . Cho $O$ nằm trong tam giác. Gọi $CO\cap AB=N;BO\cap AC=M$. Dựng 2 hình bình hành $MONP$ và $BDCO$ . Chứng minh $A,P,D$ thẳng hàng

Cho $a,b,c,d>0;a^2+b^2+c^2+d^2=4$. Tìm $max$ $$P= \frac{a}{b+3}+\frac{b}{c+3}+\frac{c}{d+3}+\frac{d}{a+3}$$

Cho $x,y>0;x+y=1$. Chứng minh rằng : $$\sqrt{\frac{3}{x+1}}+\sqrt{\frac{3}{y+1}}\leq \frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$$

Cách 2 : Ta có : $\left ( a^2+b^2+2 \right )\left ( c^2+2+\frac{(a+b+c)^2}{9} \right )\geq \left ( a+b+c+\frac{a+b+c}{3} \right )^2$ Theo BĐT Bunhiacopxiki

$\Rightarrow \frac{1}{a^2+b^2+2}=\frac{2+c^2+\left (\frac{a+b+c}{3} \right )^2}{(a^2+b^2+2)\left [2+c^2+\left (\frac{a+b+c}{3} \right )^2 \right ]}\leq \frac{2+c^2+\left (\frac{a+b+c}{3} \right )^2}{\left ( \frac{4a+4b+4c}{3} \right )^2}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{6+a^2+b^2+c^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}{\frac{16(a+b+c)^2}{9}}=\frac{2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}{\frac{16(a+b+c)^2}{9}}=\frac{\frac{4(a+b+c)^2}{3}}{\frac{16(a+b+c)^2}{9}}=\frac{3}{4}$

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.

Cmr:  1. $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+2bc}\geq 1$

Nếu $a=0$ thì $VT=2>1$

Nếu 3 số đều dương 

$\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+2bc} = \sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a^{2}}{a^{2}+2abc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6abc}=\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6abc}$

Ta CM $\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6abc}\geq 1$

$\Leftrightarrow 9\geq \sum_{cyc}^{a,b,c}a^{2}+6abc$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{a,b,c}ab\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3abc$ {vì $1\geq abc$)

Vậy $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+2bc}\geq 1$

Giải pt:

3> $cos4x-3.\frac{1-tan^{2}x}{1+tan^{2}x}+2=0$

Nốt cho gọn

$\frac{1-tan^{2}x}{1+tan^{2}x}=\frac{cos^{2}x-sin^{2}}{cos^{2}x+sin^{2}x}= cos2x$

Ta có:

$cos4x-3.\frac{1-tan^{2}x}{1+tan^{2}x}+2=0$

$\Leftrightarrow 2cos^{2}-1-3cos^{2}x+2=0$

$\Leftrightarrow 2cos^{2}2x-3cos2x+1=0$

OK

tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x+y+xy=x^{2}+y^{2}$

$\Leftrightarrow 2x+2y+2xy=2x^{2}+2y^{2}$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(x-y)^{2}=2$

 

 

Này nhé:

 

$3=ab+bc+ca$ $\ge$ $3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

 

Suy ra: $a^2b^2c^2$  1

 

Tương đương: $abc$ $\ge$ 1 hoặc $abc$  -1 (loại vì a,b,c >0)

 

=>  $abc$ $\ge$ 1

 

Cái $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$  $ab+bc+ac$

 

<=> $\dfrac{ab+bc+ca}{abc}$  $ab+bc+ca$

 

<=> $\dfrac{1}{abc}$   $1$

 

<=> 1  abc ( đúng)

Không hiểu bạn là học sinh lớp 10 mà vẫn nhầm ngớ ngẩn. 

Minh chỉ rõ 2 điều vô lý nhá. Với $a^2b^2c^2\leq 1\Rightarrow \left | abc \right |\leq 1\Rightarrow -1\leq abc\leq 1$ không bao giờ lại $abc\geq 1$

Mình cho bạn ví dụ với $a=b=\frac{1}{2},c=\frac{11}{4}\Rightarrow abc=\frac{11}{16}<1$ đã quá vô lý với đáp án của bạn

Cái mẫu thứ nhất, Cauchy đc:

 

$(a^2+1) + (b^2+1)$ $\ge$ $2(a+b)$

 

Suy ra: $\frac{1}{a^2+b^2+2}$   $\dfrac{1}{2(a+b)}$

 

Tương tự đc P   $\dfrac{1}{2(a+b)} + \dfrac{1}{2(b+c)} +\dfrac{1}{2(c+a)}$

 

Nên: 8P   $\dfrac{4}{a+b} + \dfrac{4}{b+c} +\dfrac{4}{c+a}$  $2.(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

 

Mặt khác thì dễ thấy:

 

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$     $ab+bc+ca$

 

(c/m = tương đương)

 

Do đó P max = $\dfrac{3}{4}$

 

Dấu "=" tại a=b=c=1

BĐT này sai nếu 1 trong 3 số $a,b,c$ nhỏ hơn 1