Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}+9x-1}+x\sqrt{11-3x}=2x+3$

Giải phương trình: $2^{x}+3^{x}=3x+2$

Ta xét hàm số $f(x)=2^{x}+3^{x}-3x-2\Rightarrow f'(x)=2^{x}ln2+3^{x}ln3-3\Rightarrow f"(x)=2^{x}ln^{2}2+3^{x}ln^{2}3> 0\forall x\in\mathbb{R}$.

Theo định lí Roll ta suy ra pt f(x) = 0 có ko quá 2 nghiệm. Dễ thấy f(1) = f(0) = 0 nên x = 1 và x = 0 là tất cả các nghiệm của pt...

anh ơi Dirichlet bọn em chưa học. Nó là gì vậy

Nó là nguyên lí nhốt bồ câu, gọi là nguyên lí Dirichlet...Nguyên lí Dirichlet.

Tham khảo cách giải này nhé: $(a-2)(b-2)(c-2)+1\geq 0\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)-7\geq 0\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ca)+5\geq 0\Leftrightarrow 2abc+10\geq 4(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}+2abc+1\geq 4(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca).$ (*)

Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại 2 trong 3 số, giả sử là a, b sao cho (a - 1)(b - 1) ko âm. Khi đó: $(*)\Leftrightarrow (a-b)^{2}+(c-1)^{2}+2c(a-1)(b-1)\geq 0$ (luôn đúng).

Nếu chỉ chia hết cho 1 và 3 thì chỉ có 3 thôi, thay vào lại ko thoả....Bạn thử xem lại đề bài xem....    

Tìm mọi số nguyên tố thỏa mãn: $x^{2}-2y^{2}=1$

đây là pt pell loại 1.về nghiệm tổng quát và công thức bạn có thể xem:http://www.scribd.co...ƯƠNG-TRINH-PELL

hoặc:http://mathltv.viole...ntry_id/9737600

Không cần xài Pell lắm, vì chỉ cần tìm đến số nguyên tố: $(x-1)(x+1)=2y^{2}$. Vì x - 1 và x + 1 cũng tính chẵn lẻ mà tích chúng chia hết cho 2 nên nó cũng chia hết cho 4. Suy ra y chia hết cho 2, mà y nguyên tố nên y = 2. Suy ra x = 3 (thoả mãn).

Mặc dù là đề THCS nhưng cũng hứng thú làm thử (câu 5 nhé): 

Với n = 1 thì ko thoả. Với n = 2 thì $2^{4}+2^{3}+1=25$ là số chính phương. Xét n > 2 thì dễ dàng chứng minh được bằng biến đổi tương đương: 

$(n^{2}+n-1)^{2}<n^{4}+n^{3}+1<(n^{2}+n)^{2}$

Mà đều này ko thể xảy ra với một số chính phương.

Kết luận n = 2.

 

ĐỀ KIỂM TRA TRƯỜNG ĐÔNG TOÁN HỌC MIỀN NAM

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa $\begin{cases} a+b+c+d=10 \\ a^2+b^2+c^2+d^2=26 \end{cases}$.

a) Tìm Min và Max của $a$.

b) Tìm Min và Max của $S=a+b$.

 

Bài 2: Tìm các hàm số $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R^+}$ thỏa $$\begin{cases} f(x^2)=[f(x)]^2-2xf(x) \\ f(-x) = f(x-1) \\ \text{ Nếu } 1<x<y \text{ thì } f(x)<f(y) \end{cases}$$

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$ có $AB<BC<CA$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $ (I)$. Trên các tia $AB,AC$ lần lượt lấy $D,E$ sao cho $AD=AE=BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$. Dựng hình bình hành $BIJC$ và gọi $K$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Chứng minh:

a) $FA=FB+FC$

b) $F,J,K$ thẳng hàng.

 

Bài 4: Cho bàn cờ $7 \text{ x } 7$ ô. An có 1 quân unomino gồm 1 ô vuông. Bình có 1 quân trimino hình chữ L và 15 quân trimino hình chữ I. 

a) Chứng minh An có thể đặt quận unomino của mình vào 1 ô nào đó của bàn cờ để Bình không thể phủ phần còn lại bằng các quân trimino của mình.

b) Giả sử Bình có 2 quân trimino hình chữ L và 14 quân trimino hình chữ I. Chứng minh dù An có đặt quân unomino của mình vào ô nào thì Bình đều có thể phủ phần còn lại bằng các quân trimino của mình.

 

Lỡ rồi chém nốt bài 1      : 

a) Áp dụng BĐT Buniacovski ta được: $26=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq a^{2}+\frac{(b+c+d)^{2}}{3}=a^{2}+\frac{(10-a)^{2}}{3}\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{3}}{2}\leq a\leq \frac{5+\sqrt{3}}{2}$. Từ đó ta tìm được max, min (dấu bằng xảy ra khi b = c = d và tùy TH ra giá trị.....     )

b) Đặt $a+b=A,ab=B,A^{2}\geq 4B$. Khi đó ta thu được hệ:

$\left\{\begin{matrix} c+d=10-A\\cd=37+A^{2}-10A-B \end{matrix}\right.$

Để hệ có nghiệm thì: $\Delta =(10-A)^{2}-4(37+A^{2}-10A-B)=-3A^{2}+20A-48+4B\geq 0;-2A^{2}+20A-48\geq -3A^{2}+20A-48+4B\geq 0\Leftrightarrow 4\leq A\leq 6$.

Từ đó có max, min (max xảy ra khi a = b = 3, c = d = 2 và min xảy ra khi a = b = 2, c = d = 3.

Còn câu a thì sao hả bạn? Phương trình bình phương lên thì ra tận bậc 4 thì làm sao giải ? 

Nếu mà bậc 4 thì vẫn có thể giải được bằng công thức giải tổng quát pt bậc 4 (hoặc nếu nhẩm được 1 nghiệm thì quá tốt)>>>    

1. Họ và tên: Trần Ngọc Bách.

2. Lớp: 11 Chuyên Toán, Trường: THPT Chuyên Phan Ngọc Hiển, TP Cà Mau, tỉnh Cà Mau.

3. Đề: Có tồn tại hay không số $\alpha \in\mathbb{R}$ sao cho tồn tại hàm số f: $[2013^{2013};2014^{2014}]\rightarrow [2013^{2013};2014^{2014}]$ liên tục và thỏa mãn:

 1)$f(x)+f(y)\geq x+y+(\alpha-2014)^{2},\forall x,y \in [2013^{2013};2014^{2014}]$;

 2)$f(2014^{2014})\neq 2014^{2014}$?

4. Đáp án:

Đặt $2013^{2013}=a,2014^{2014}=b$. Xét hàm số $g(x)=f(x)-x$. Khi đó $g(x)$ liên tục.

Ta có: $g(a)=f(a)-a\geq 0;g(b)=f(b)-b<0$. Do đó phương trình $g(x)=0$ có nghiệm. Gỉa sử các nghiệm của nó là $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ (n là số nguyên dương).

Thay $x=b$ và $y=x_{i}$ vào điều kiện 1) ta được: $f(b)\geq b+(\alpha-2014)^{2}$ (1).

Mà $f(x)\leq b,\forall x\in[a;b]$ nên từ (1) ta suy ra $(\alpha-2014)^{2}\leq 0\Rightarrow \alpha =2014$.

Khi đó ta có dấu bằng xảy ra, tức là $f(b)=b$ (điều này trái với điều kiện 2, vô lí).

Vậy nên không tồn tại số $\alpha$ thỏa mãn đề bài.

Đã sửa lại đề , cáo lỗi...  

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3^{\frac{y}{\sqrt{x}}}\sqrt{x}=y+2^{\frac{y}{\sqrt{x}}}\sqrt{x}\\(x^{x^{4}-2y^{4}+2}-1)(x^{y^{8}-2x^{2}+2}+1)=(1-x^{y^{4}})(x^{y^{4}}+1) \end{matrix}\right.$

p/s: Hệ này dui nhỉ???     

Mình nhầm một tí, còn cặp (2;2) và (1/2;1/2) nữa!!!!    

Cho x, y, z không âm thỏa xyz = 1. Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

Bài 206. Cho $x,y$ là các số hữu tỷ. sao cho $x+y,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ là các số tự nhiên. Tìm $x,y$

Đặt $x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d};((a,b)=1;(c,d)=1;a,b,c,d\in\mathbb{Z})$ thì$x+y=\frac{ad+bc}{bd}\Rightarrow b\vdots d,d\vdots b\Rightarrow b=d$. Tương tự từ 1/x +1/y là số tự nhiên ta suy ra a = c. Thay vào ta được $2\frac{a}{b},2\frac{b}{a}\in\mathbb{N}\Rightarrow x=1,y=1$. Thử lại thấy thỏa mãn....Giải như vậy chắc là đúng rồi nhỉ...    

Kinh nghiệm đoán nghiệm của bạn là gì? Chia sẻ với.

Cái này thực sự cũng ko có kinh nghiệm gì lắm đâu!!! Nó đã xuất hiện ở câu 1 VMO 2008 (ko phải 17 mà là 29) và Đề đề nghị thi OLIMPIC 30/4 năm 2012 lớp 11 (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)....     Bạn thử tìm xem nhé...

Nghiệm của nó vốn ko phải đẹp gì lắm...    

PT thứ 2 $< = > x^2+y^2=2(2x-4-xy+2y)+5< = > (x^2+y^2+2xy)-4(x+y)+3=0< = > (x+y)^2-4(x+y)+3=0< = > (x+y-1)(x+y-3)=0$

-Nếu $x+y-1=0< = > x+y=1= > x=1-y$. Thay vào pt thứ 1 ta có :$3\sqrt{1+2(1-y)^2}+2\sqrt{40+9y^2}=5\sqrt{11}< = > 3\sqrt{2y^2-4y+3}+2\sqrt{40+9y^2}=5\sqrt{11}$

Đến đây chắc bình phương là ra

Mình không chắc là nó sẽ ra, bạn thử làm rõ xem???

\[{2^{3{\rm{x}}}} + {3^{\frac{2}{x}}} = 17\]

 

 

Hộ em phát nào mấy pro

Xét hàm số: $f(x)=8^{x}+9^{\frac{1}{x}}-17\Rightarrow f"(x)>0$ (Cái này có thể chứng minh được). Do đó f'(x) = 0 có ko quá một nghiệm (do là hàm số đồng biến). Hơn nữa ta có: 

$f(1).f(2)< 0.$ nên pt f'(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất và nghiệm đó thuộc khoảng (1;2). Do đó theo định lí Roll pt f(x) = 0 có ko quá 2 nghiệm. Mà ta thấy: $f(1)=0,f(\frac{3}{2}log_{3}2)=0$ nên chúng là tất cả các nghiệm của pt đã cho.

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3\sqrt{1+2x^{2}}+2\sqrt{40+9y^{2}}=5\sqrt{11}\\x^{2}+y^{2}=2(x-2)(2-y)+5 \end{matrix}\right.$

Ý mình là thay vào $f(y-f(y))=0$ cơ....

Thì đúng rồi, thay vào là được như vậy đó (tất cả các ẩn y đều được thay bằng $x+f(y)$ thì nó ra như trên (ko thể khẳng định là f(x) = x)...

1) Ch0 $x=-1,y=0$ ta được $f(-1)^2=-1$ $\Rightarrow$ vô lí

 

 

 

 

2)Thay $y$ bởi $x+f(y)$

Khi thay y bởi $x+f(y)$ thì ta sẽ được: $f(x+f(y)-f(x+f(y)))=0$. Điều này ko thể dẫn đến kết luận f(x) = 0...Bạn xem lại lần nữa nhá...  

Cho $x=y=0$ được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=1$ (loại)

Cm được: $f(y^2)=f^2(y)=yf(y)$

Viết lại pt thành:

$yf(y)+xf(y)+xf(x+f(y))=(x+y)f(x+y)$

Thay $x$ bởi $-f(y)$ được $(y-f(y))f(y-f(y))=0$

Vậy $f=0$ , $f=x$

f(0) = 1 tại sao lại loại vậy bạn.....Và $f(y-f(y))=0$ sao lại có thể suy ra f(x) = 0...???? Bạn có thể giải thích rõ một chút được ko???

Vì là hàm đa thức nên ta cũng có thể thực hiện phương án sơ đồ Hoocne....

Ta có thể lí luận bằng giải tích: Xét hàm $f(x)=x^{6}-15x-25$ thì pt f'(x) = 0 có 1 nghiệm nên dựa vào bảng biến thiên ta suy ra f(x) = 0 có 2 nghiệm.

Thực hiện bấm x ^ 6 - 15 x - 25 = 0 shift solve:

Nhập x = 0 và x = 1.5 vào ta tìm được hai nghiệm của nó là x = 1,945230675 và x = -1,317692529...