Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x^2+(y^2-2y-2)\sqrt{x^2+2}-y^2+2y+4=0 & \\ x+\sqrt{x(y^2-6x+10)}=\sqrt[3]{x^2-4}+\sqrt{y^2+2}+2 & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2x^2+(y^2-2y-2)\sqrt{x^2+2}-y^2+2y+4=0 & \\x+\sqrt{x(y^2-6x+10)}=\sqrt[3]{x^2-4}+\sqrt{y^2+2}+2 & \end{matrix}\right.$

Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD. M là một điểm thuộc đường chéo AC. H,K lần lượt là hình chiếu của M lên AD,CD. E là giao điểm của AK và CH. Biết B thuộc đuồng thẳng có phương trình $x+2y-18=0$ và $H(-2,0), K(4,-2), E(\frac{-4}{7},\frac{2}{7})$.

Tìm tọa độ các điểm A,B,C,D.

( đề thi thử 3/2016 trường THPT chuyên DHKHTN Hà Nội )

cho một nhóm gồm m nam và một nhóm khác gồm n nữ. tính xác để có có một cặp nam nữ có cùng ngày sinh nhật.

$\sqrt{2x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}=3x$

$2\sqrt{(2-x)(5-x)}=x+\sqrt{(2-x)(10-x)}$

$\sqrt{x^2 -16}+\sqrt{x^2+4}=\frac{x+5}{\sqrt{(x+11)(x+4)}}$

tam giác ABC, M là 1 điểm bất kì thuộc miền trong tam giác. Gọi x,y,z lần lượt là khoảng cách từ M đến BC,CA,AB. Đặt a=BC, b=CA,c=AB. R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.

C/m

$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{R}}\leq \frac{1}{2r}\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}}$

$\sqrt[4]{(x-2)(4-x)}+\sqrt[4]{x-2}+\sqrt[4]{4-x}+6x\sqrt{3x}\leq x^3+30$

$\left\{\begin{matrix} x^4+4x^3+6x^2+4x+\sqrt{x^2+2x+10} =2& & \\ \sqrt[3]{7x+1}-\sqrt[3]{x^2-x-8}+\sqrt[3]{x^2+2x+10}=2& & \end{matrix}\right.$

tìm Min P=$\frac{(x^3+y^3)-(x^2+y^2)}{(x-1)(y-1)}$

với x,y>1

Đặt $x=\cos t$ với $0\leq t\leq \pi$

 

pt $\Leftrightarrow \sqrt{1+\sin t}\left ( \sin^3\frac{t}{2}-\cos^3\frac{t}{2} \right ).2\sqrt{2}=2+\sin t$

 

$\Leftrightarrow \left (\sin^2\frac{t}{2}-\cos^2\frac{t}{2} \right )(2+\sin t).\sqrt{2}=2+\sin t$

 

$\Leftrightarrow \cos t=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

 

$\Leftrightarrow x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

hai dòng này làm chi tiếc hơn môt tí đi bạn.

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}[\sqrt{(1-x)^3} -\sqrt{(1+x)^3}]=2+\sqrt{1-x^2}$

tam giác ABC với BC=a, CA=b,AB=c,Gọi

$m_{a},m_{b},m_{c}$  là độ dài các đường trung tuyến hạ từ A,B,C. C/m

$S\leq \frac{a^2(m_{a})^2+b^2(m_{b})^2+c^2(m_{c})^2}{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2))}$

$3(\sqrt{2x^2+1}-1)=x(1+3x+8\sqrt{2x^2+1})$

$sin^6(\frac{A}{2})+sin^6(\frac{B}{2})+sin^6(\frac{C}{2})\geq \frac{3}{64}$

với mọi x, cm: $1+cosx+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{3}cos3x+\frac{1}{4}cos4x>0$

định m để (C):$y=x^3+(2m+1)x^2-m-2$ tiếp xúc với (D):$y=2mx-m$

x,x,z>1 và  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$

tìm Max P=$(x-1)(y-1)(z-1)$

Định m để

$y=(m+1)x+m-2$ cắt $y=\frac{3x+1}{x-1}$ tại A,B sao cho diện tích OAB=$\frac{3}{2}$

với a,b,c >0 và abc=1, C/m

$\frac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\frac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+\frac{1}{(c+1)^2+a^2+1}\leq \frac{1}{2}$

định m để y=$\frac{1}{3}x^3-mx^2-x+m+1$ có khoảng cách 2 cực trị nhỏ nhất.

$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

Tìm Min 

$P=\frac{x}{\sqrt{1-x}} +\frac{y}{\sqrt{1-y}}$

Với $x,y>0$ và $x+y=1$

$$\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt{x^3}-(x-4)\sqrt{x-7}-3x+28=0$$