áp dụng BĐT Cô-sy

a² + 1 $\geq$ 2a

$\Leftrightarrow$ 1 $\geqslant$ a² (2 - a ) 

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{2-a}$ $\geqslant$ a^{2              (1)}

tương tự áp dụng bất đẳng thức Cô-sy với 2 số

$\Rightarrow$ $\frac{1}{2-b}$ $\geqslant$ b^{2                    (2)}

                   và $\frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ c^{2                    (3)}

^(1)(2)(3) $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$ $\geqslant$ a² + b² + c²

               $\Rightarrow$ $\frac{1}{2-a}+ \frac{1}{2-b}+ \frac{1}{2-c}$$\geqslant$ 1

            $\Rightarrow$ ta có đpcm

dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ a=b=c=1

phương trình $\Leftrightarrow$ (x+6)(x+3)(x-1)(x-2)=21x²

$\Leftrightarrow$ ( x + 9 +$\frac{18}{x}$ )( x -3 + $\frac{2}{x}$ ) =21

đặt x + 3 + $\frac{10}{x}$ = k

$\Leftrightarrow$ ( k + 6 + $\frac{8}{x}$ )(k - 6 - $\frac{8}{x}$) = 21

$\Leftrightarrow$ k² - (6 + $\frac{8}{x}$)² = 21

k² - $\frac{96}{x}$ - $\frac{64}{x^{2}}$ = 57

$\Leftrightarrow$ ( x + 3 + $\frac{10}{x}$)² - $\frac{96}{x}$ - $\frac{64}{x^{2}}$ = 57

$\Leftrightarrow$ x² + $\frac{36}{x^{2}}$ + 6x - $\frac{36}{x}$ = 28

$\Leftrightarrow$ x⁴ + 6x³ - 28x² - 36x + 36=0

đến đây giải phương trình đối xứng thì ra thôi

theo đề bài x-y=2 $\Leftrightarrow$ x = 2 + y

thay x = 2 + y vào phương trình đầu tiên

$\Rightarrow$ 4( y + 2)v + $y^{2}$$(y+2)^{2}$ = 285

$\Leftrightarrow$ 4$y^{2}$ + 8y + $y^{4}$ + 4$y^{3}$ + 4$y^{2}$=285

$\Leftrightarrow$ $y^{4}$ + 4$y^{3}$ + 8$y^{2}$ + 8y + 4= 289

$\Leftrightarrow$ ( y² + 2y + 2)² = 289

$\Rightarrow$ TH1:

y² + 2y + 2=17

$\Leftrightarrow$ y² + 2y - 15=0

$\Leftrightarrow$ y $\epsilon$ { 3;-5}

$\Rightarrow$ hệ phương trình có nghiệm là (x=5; y=3) hoặc (x=-3; y=-5)

trường hợp 2

y² + 2y +2= -17

$\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm

          VẬY HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM LÀ : ( x=5; y=3)

                                                                                   (x= -3; y=-5)

Đồng hồ lớn ở Tây Mẫn Tự, khi báo giờ, tiếng chuông ngân rất dài. Nhất là muốn biết 12 giờ, phải đếm tiếng chuông khá lâu. Giả dụ khoảng cách giữa hai tiếng chuông là 5 giây. Vậy thời gian để đếm biết 12 giờ cần bao nhiêu giây? Ngoài ra muốn biết 6 giờ cần bao nhiêu giây?

bài 1 nè ( Bạn tự vẽ hình nhé)

ta có P_AHC= AH + AC + HC =40

        P_ABH= AH + AB + HB =30

$\Rightarrow$ AH + AH + AB + AC + BH + CH = 70

$\Rightarrow$ P_ABC = 70 - 2AH  (1)

ta có P_AHB/ P_{ABC =} $\frac{30}{70-2AH}$ = $\frac{15}{35-AH}$

 => S_AHB / S_{ABC =} $\frac{225}{(35-AH)^{2}}$ ( do tam giác AHB đồng dạng vs tam giác CAB)

tương tự => P_AHC/P_{ABC =} $\frac{40}{70-2AH}$ 

                                      = $\frac{20}{35-AH}$

=> S_AHC/S_{ABC =} $\frac{400}{(35-AH)^{2}}$

Ta có S_AHC/S_ABC  + S_ABH/S_ABC = 1

=> $\frac{625}{(35-AH)^{2}}$ = 1

=> ( 35 - AH)² = 625 

=> AH = 10 ( chọn) hoặc AH = 50 ( loại)

Thay AH vào (1) 

=> P_ABC = 70 - 2.10 = 50 ( cm)

ỦA tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng chứ nhỉ, sao lại bằng bình phương tỉ số chu vi

Hình của bạn nè:

1.png

thì tỉ số đồng dạng bằng tỉ số chu vi, theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau

cho a,b,c thỏa mãn

0 $\leqslant$ a,b,c $\leqslant$ 2 và a + b + c=3

Chứng minh a³ + b³ +c³ $\leqslant$ 9

bài 1 ( bạn tự vẽ hình)

kẻ AK vuông góc BC

    AH vuông góc AD

$\angle A$ = 105 độ, $\angle B$ = 60 độ

$\Rightarrow$ $\angle C$ = 15 độ

ta có tan15 = 2 - $\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ $\frac{AK}{KC}= 15$ độ

AK = $\sqrt{AD^{2}-DK^{2}}$ $\Rightarrow$ AK= $\frac{\sqrt{3}}{2}$

suy ra KC = $\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$

AC²= AK² + KC² = $\frac{3}{4}$ + $\frac{21+12\sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow$ AC² = $6+3\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ 1/CA² = $\frac{1}{6+3\sqrt{3}}$  (1)

Xét tam giác ABH có : AB=1 (gt)

suy ra BH = 2 và AH = $\sqrt{3}$

suy ra DC= $2 + \sqrt{3}$

$\frac{AD^{2}}{AC^{2}}$ = $\frac{EB^{2}}{BC^{2}}$ ( TA LÉT)

suy ra AD²=$\frac{6+3\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}$ = $6-3\sqrt{3}$ 

suy ra $\frac{1}{AD^{2}}$ = $\frac{1}{6-3\sqrt{3}}$   (2)

cộng (1) và (2) suy ra ta có đpcm

1) bạn tự vẽ hình nhé

a) bạn đọc chéo đỉnh rồi, đọc đúng phải là DECB

+) DE // BC (gt)

$\Rightarrow$ DECB là hình thang       (1)

tam giác ABC đều $\Rightarrow$ góc B=góc C= 60 độ  (2)

(1)(2) $\Rightarrow$ DECB là hình thang cân ( dấu hiệu nhận bt)

+)  MN // AC (gt) 

$\Rightarrow$ góc OMQ = góc C = 60 độ  (3)

DQ // AB (gt)

$\Rightarrow$ góc OQM = góc B = 60 độ  (4)

(3)(4) $\Rightarrow$ tam giác OQM đều

 2x² + 5xy - y² = 2( x² + 2,5x - $\frac{1}{2}$y² )

                       =  2( x² + 2.$\frac{5}{4}$ xy + $\frac{25}{16}$y² - $\frac{33}{16}$ y² )

                       =  2.[ ( x + $\frac{5}{4}$y)² - $\frac{33}{16}$y² ]

                       = 2( x + $\frac{5}{4}$y - $\frac{\sqrt{33}}{4}$)( x + $\frac{5}{4}$y + $\frac{\sqrt{33}}{4}$y)

                       = 2( x + $\frac{5-\sqrt{33}}{4}y$)( x + $\frac{5+\sqrt{33}}{4}y$)

3x² - 6x -2 = 3x² - 6x + 3 -5

                 = 3(x² - 2x +1 -$\frac{5}{3}$)

                 = 3[ (x-1)² - $\frac{5}{3}$ ]

                 = 3( x -1 - $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$)( x -1 + $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$)

                 = 3( x - $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$)( x - $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$)

đặt 2 - x=a  (1)

$\Rightarrow$ phương trình có dạng:

2$\sqrt{a(a+3)}$ = 2 -a + $\sqrt{a(a+8)}$

$\Leftrightarrow$ 2$\sqrt{a(a+3)}$ - $\sqrt{a(a+8)}$ = 2 -a

$\Leftrightarrow$  ( 2$\sqrt{a(a+3)}$ - $\sqrt{a(a+8)}$)² = (2 -a )²

$\Leftrightarrow$  4a(a+3) + 8a + a² - 4$\sqrt{a^{2}(a+3)(a+8)}$ = a² -4a + 4

$\Leftrightarrow$ 5a² + 20a + a² -  4$\sqrt{a^{2}(a+3)(a+8)}$ = a² - 4a + 4

$\Leftrightarrow$ 4a² + 24a - 4 =  4$\sqrt{a^{2}(a+3)(a+8)}$

$\Leftrightarrow$ a² + 6a - 1 =  $\sqrt{a^{2}(a+3)(a+8)}$

$\Leftrightarrow$ (a² + 6a - 1)² = a²(a+3)(a+8)

$\Leftrightarrow$ a⁴ + 12a³ + 34a² - 12a +1 = a⁴ + 11a³ + 24a²

$\Leftrightarrow$ a³ + 10a² - 12a + 1= 0

$\Leftrightarrow$ a$\epsilon$ { 1; $\frac{-11+5\sqrt{5}}{2}$; $\frac{-11-5\sqrt{5}}{2}$ }

theo 1 $\Leftrightarrow$  x $\epsilon$ { 1; $\frac{15-5\sqrt{5}}{2}$; $\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$ }

$\frac{x^{4}+x^{3}+x+1}{x^{4}-x^{3}+2x^{2}-x+1}$

= $\frac{x^{3}(x+1)+(x+1)}{(x^{4}-x^{3}+x^{2})+(x^{2}-x+1)}$

= $\frac{(x+1)^{2}(x^{2}-x+1)}{(x^{2}-x+1)(x^{2}+1)}$

= $\frac{(x+1)^{2}}{x^{2}+1}$

A $\leqslant$ 0 

$\Leftrightarrow$ 

$\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+1}$ $\leqslant 0$

$\frac{2x}{x^{2}+1}$ $\leqslant 0$

x² + 2x +1 $\leqslant 0$

$\Leftrightarrow$ x $\leqslant -1$

cho $(x+\sqrt{x^{2}+3})(y+\sqrt{y^{2}+3})=3$

tính E= x + y

-$\sqrt{2-x}$ ( 3x + 5) - 5$\sqrt{2+x}$ = 0

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2-x}$( 3x + 5) = -5$\sqrt{2+x}$

$\Leftrightarrow$ ( 3x + 5)²( 2 -x ) = 25 ( 2 + x)

$\Leftrightarrow$ ( 9x² + 30x + 25 )( 2-x ) = 50 + 25x

$\Leftrightarrow$ 18x² + 60x + 50 - 9x³ - 30x² - 25x = 50 + 25x

$\Leftrightarrow$ -9x³ - 12x² + 10x = 0 

$\Leftrightarrow$ 9x³ + 12x² - 10x = 0

 $\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 0 ; $\frac{-2-\sqrt{14}}{3}$ ; $\frac{-2+\sqrt{14}}{3}$ }

d bạn nhé

x² + x + 1 = 3$\sqrt{x}$ ( x + 1 )

$\Leftrightarrow$ x² - 3x$\sqrt{x}$ + x - $3\sqrt{x}$ + 1

đặt $\sqrt{x}=a$

suy ra phương trình có dạng 

a⁴ - 3a³ + x²  - 3a + 1 = 0

đến đây thì đơn giản rồi

GPT đối xứng tìm a rồi tìm x

tính A= $\frac{1+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

câu 2

$\sqrt{x^{2}+5x+6}+\sqrt{x^{2}+x-2}\geqslant \sqrt{3x^{2}+7x+2}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+2)(x-1)}\geqslant\sqrt{(x+2)(3x+1)}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+2)(x-1)}-\sqrt{(3x+1)(x+2)}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+2}(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-\sqrt{3x+1})\geqslant 0$

TH1: $\sqrt{x+2}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ x = -2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

TH2: $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-\sqrt{3x-1}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\geqslant \sqrt{3x+1}$

$\Leftrightarrow$ $x+3+x-1+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant3x+1$

$\Leftrightarrow$ $2x+2+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant 3x+1$

$\Leftrightarrow$ $1+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant x$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant \frac{x-1}{2}$

$\Leftrightarrow$ $3x^{2}+10x-13=0$

$\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 1 ; $\frac{-13}{3}$ } ( thỏa mãn ĐKXĐ)

câu 2

$\sqrt{x^{2}+5x+6}+\sqrt{x^{2}+x-2}\geqslant \sqrt{3x^{2}+7x+2}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+2)(x-1)}\geqslant\sqrt{(x+2)(3x+1)}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+2)(x-1)}-\sqrt{(3x+1)(x+2)}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+2}(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-\sqrt{3x+1})\geqslant 0$

TH1: $\sqrt{x+2}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ x = -2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

TH2: $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-\sqrt{3x-1}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\geqslant \sqrt{3x+1}$

$\Leftrightarrow$ $x+3+x-1+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant3x+1$

$\Leftrightarrow$ $2x+2+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant 3x+1$

$\Leftrightarrow$ $1+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant x$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant \frac{x-1}{2}$

$\Leftrightarrow$ $3x^{2}+10x-13=0$

$\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 1 ; $\frac{-13}{3}$ } ( thỏa mãn ĐKXĐ)

mình nhầm, phải là x$\geqslant$ 1 hoặc x $\geqslant$ -2 hoặc x $\geqslant$ -13/3

gọi H,K là trung điểm của AD,BC

Xét tam giác ABC có

   E là trung điểm AC(gt); K là trung điểm BC

$\Rightarrow$ EK là dường trung bình của tam giác ABC 

$\Rightarrow$ EK // AB   (1)

tam giác BDC có:

FK là đường trung bình 

$\Rightarrow$  FK // DC  (2)

tam giác ABD có :

HF là đường trung bình 

$\Rightarrow$ HF // AB   (3)

tam giác ADC có:

HE là đường trung bình 

$\Rightarrow$ HE // DC     (4)

mà AB // CD ( ABCD là hình thang)

$\Rightarrow$ AB // CD  (5)

(1)(2)(3)(4)(5)

$\Rightarrow$ H,E,F,K thẳng hàng 

$\Rightarrow$ EF // CD

tam giác ABC cân tại A

có phân giác BE,CD

+) Từ E kẻ tia Ex // BD

    Từ D kẻ tia  Dy // BE 

Ex cắt Dy tại F

$\Rightarrow$ BEFD là hình bình hành

$\Rightarrow$ DF = BE  (1)

                       góc DFE = góc DBE 

ta có BE = CD ( gt )   (2)

(1)(2) $\Rightarrow$ DF = CD 

         $\Rightarrow$ tam giác DFC cân tại D

$\Rightarrow$ góc DFC = góc DCF (3)

Gỉả sử góc B > góc C

$\Rightarrow$ góc EDC > góc DCB

$\Rightarrow$ góc DFE > góc DCB  (4)

$\Rightarrow$ góc EFC < góc ECF

$\Rightarrow$ EC > EF ( định lý góc và cạnh đối diện trong tam giác )

$\Rightarrow$ EC > BD

Xét tam giác BDC và tam giác CEB có:

          BC chung

          CD = BE ( gt)

          BD  < EC ( cmt)

$\Rightarrow$ tam giác BDC không bằng tam giác BEC 

                    $\Rightarrow$ góc C  > góc B ( trái vs giả sử)

$\Rightarrow$ tam giác ABC cân ( đpcm)

e)

Đặt $\frac{x-2}{x+1}$ = a

      $\frac{x+2}{x-1}$ = b

$\Rightarrow$ phương trình có dạng:

    5a² - 44b² + 12ab = 0

$\Leftrightarrow$ a² - 8,8b² + 2,4ab = 0

$\Leftrightarrow$ th1 : a= 2b

                           th2 : a= -4,4b

đến đây thì dễ rồi

câu 1

phương trình tương đương:

2$\sqrt{x^{2}+3}-x=\sqrt{8+2x-x^{2}}$

Bình phương cả 2 vế 

$\Leftrightarrow$ 4( x² + 3) - 4x$\sqrt{x^{2}+3}$ + x² = 8 + 2x - x²

$\Leftrightarrow$ 6x² - 4x$\sqrt{x^{2}+3}$ - 2x + 4 = 0

$\Leftrightarrow$ 3x² - x + 2 = 2x$\sqrt{x^{2}+3}$

bình phương cả 2 vế suy ra:

9x⁴ + x² + 4 - 6x³ - 4x + 12x² = 4x²( x² + 3)

$\Leftrightarrow$ 5x⁴ - 6x³ + x² - 4x + 4 = 0

$\Leftrightarrow$ ( x -1)²( 5x² + 4x + 4) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 1 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1}

bài 1: bạn tự vẽ hình nhé

gọi hình thang vuông đó là ABCD có  góc A = góc D = 90 độ

$\Rightarrow$ tam giác ABD vuông tại A 

                       tam giác BDC đều

$\Rightarrow$ BD = DC = BC = a ( theo đề bài )

góc D = 90 độ

BDC = 60 độ ( tam giác BDC đều)

$\Rightarrow$ góc ADB = 30 độ

mà tam giác ABD vuông tại A ( gt)

$\Rightarrow$ AB = $\frac{BD}{2}$

$\Rightarrow$ AB = $\frac{a}{2}$

gọi K là trung điểm BD   (1)

      H là trung điẻm AD        (2)

      N là trung điểm BC        (3)

(1)(2) $\Rightarrow$ HK là đường trung bình của tam giác ADC ( định lí)

          $\Rightarrow$ HK = $\frac{a}{4}$

(2)(3) $\Rightarrow$ KN là đường trung bình của tam giác BDC ( định lí )

         $\Rightarrow$ KN = a/2 

HN = KN + HK

      = $\frac{a}{2}+\frac{a}{4}$

      = $\frac{3a}{4}$

Vậy đường trung bình của hình thang là $\frac{3a}{4}$ 

Đặt 

$\sqrt{x+1}$ = a

$\sqrt{x^{2}-x+1}$ = b

$\sqrt{x+3}=c$

$\Rightarrow$ phương trình có dạng

     $\frac{ab}{c}$ + a = b + c

$\Leftrightarrow$ $\frac{ab}{c}$ = b + c - a

$\Leftrightarrow$ ab = bc + c² - ac

$\Leftrightarrow$ ab + ac = bc + c²

$\Leftrightarrow$ a( b + c) = c( b + c)

$\Leftrightarrow$ (b+c)(a-c) = 0

$\Leftrightarrow$ th1 : a =c

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+1}= \sqrt{x+3}$

suy ra phương trình vô nghiệm 

th2 : b = -c

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^{2}-x+1}= -\sqrt{x+3}$

$\sqrt{x^{2}-x+1} > 0$ với mọi x 

$-\sqrt{x+3}\leqslant 0$ với mọi x$\phi$$\phi$

suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của phương trình là S=$\phi$