Cho $x,y,z>0$ và$(\sum xy)^2.\sum x^2=(\sum x)^2$

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum x^3+\sum x+1-xyz$

a,b,c làm gì có vai trò như nhau đâu nhỉ .

sao $a^2+b^2+c^2=1$ được ????

$a,b,c$ có vai trò như nhau đấy ạ

Và $a^2+b^2+c^2=1$

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$

Tìm GTLN của biểu thức:$A=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$

Cách này cũng có thể coi là giống cách của http://diendantoanho...0032-kanashini/

Đặt: $a=x^3$, $x=b^3$, $y=c^3$

$=>abc=1$

Khi đó, ta có:

$Q=\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}$

$\leq \sum \frac{1}{ab(a+b)+1}$

$=\sum \frac{abc}{a^2b+ab^2+abc}$

$=\sum \frac{c}{a+b+c}=1$

Dấu $"="$ xảy ra $<=>a=b=c=1$

                            $<=>x=y=z=1$    

$A=x-y+\frac{y+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{4}{(x-y)(y+1)^{2}}-1\geq 4\sqrt[4]{(x-y).\frac{y+1}{2}.\frac{y+1}{2}.\frac{4}{(x-y)(y+1)^{2}}}-1=3$

$x-y$ đã đảm bảo không âm chưa bạn?

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$.

CMR:

$\sum \frac{1}{x^2+y^2}\leq 3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

Cho các số $x, y\geq 0$.

CMR:

$A=x+\frac{ 4}{(x-y)(y+1)^2}\geq 3$

Cho $x,y,z>0$.

CMR:

$\sum x^2+\sqrt{3xyz(x+y+z)}\geq 2\sum xy$

Lời giải:

Áp dụng bđt CBS ta có:

$\sqrt{3xyz(x+y+z)}=\sqrt{(xyz+xyz+xyz)(x+y+z)}\geq \sum x\sqrt{yz}$

Áp dụng bđt Schur bậc 2 ta có:

$\sum x(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{z}) \geq 0$

$=> \sum x^2+\sum x\sqrt{yz} \geq \sum (x+y)\sqrt{xy}$

$=> \sum \sqrt{xy}.2\sqrt{xy}=2.\sum xy$

$=>đpcm$

Dấu $”=”$ xảy ra $<=>x=y=z$

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\sum \frac{a}{a^2+1}+abc$

Cho $x,y,z>0$.

CMR:

$\sum x^2+\sqrt{3xyz(x+y+z)}\geq 2\sum xy$

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

Cho $a,b,c>0$. CMR:

$a^3b^2c+\frac{c^2}{b^2}+\frac{b}{ac^2}\geq ab+ac+1$

 

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC $2014-2015$

                                 

    Thời gian: 150 phút

 

 

 

Câu 3:

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân và $AB>BC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,C$ cắt nhau ở $P$. $D$ là hình chiếu của $A$ trên $BP$. $E$ là giao điểm của $BP$ và $AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDE$ cắt $(O)$ ở $F$ khác $C$.

 

a) CMR $A,P,F,D$ cùng nằm trên một đường tròn

 

b) $M$ là trung điểm của $AC$. CMR $FC\perp FM$

 

c) Đường thẳng $PF$ cắt $(O)$ ở $N$. CMR $CA.CF=2NC.MF$

 

 

Hix, không biết vẽ hình, mong Mod nào vẽ hộ cái hình giúp mình nha.
...............................................................
c. Ta có: $ANCF: tgdh\Rightarrow AF.CN=AN.FC$
Theo định lí $Ptolemy: AF.CN+AN.CF=AC.NF\Leftrightarrow 2NC.AF=AC.NF\Leftrightarrow \frac{AF}{NF}=\frac{AC}{2NC}$ (7)
Dễ dàng CM $\triangle AFN\sim \triangle MFC(g.g)\Rightarrow \frac{MF}{CF}=\frac{AF}{NF}$                                               (8)
Từ (7) và (8) $\Rightarrow \frac{MF}{CF}=\frac{AC}{2NC}\Leftrightarrow CA.CF=2NC.MF(dpcm)$
 

$tgdh$ là tứ giác điều hòa : HoanghungChelski nhỉ....

http://diendantoanho...yenhongsonk612/ Bạn tham khảo tại đây nhé! http://diendantoanhoc.net/index.php?/user/123151-nguyenhongsonk612/

Hình vẽ cho lời giải:

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

CMR:

      $\sum \sqrt{x+yz}\geq \sum \sqrt{x}+\sqrt{xyz}$

 

 

câu 5:

Cho a,b,c,d là các số thực .

CMR 

$a^2+b^2+c^2+d^2\geq a(b+c+d)$

dấu = xảy ra khi nào

BĐT cần CM $<=>$

$a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad\geq 0$

$<=>(\frac{1}{2}a-b)^2+(\frac{1}{2}a-c)^2+(\frac{1}{2}a-d)^2+\frac{1}{4}a^2\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu $"="$ xảy ra $<=>a=b=c=d=0$

Cho tam giác $ABC$, trên tia $BA$ lấy điểm $M$, trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $N$ sao cho $BM=CN$. Chứng minh rằng đường trung trực của $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Đường trung trực của $MN$ luôn đi qua  điểm chính giữa của cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

Cho $a, b, c\ge 0$. Chứng minh rằng $\sum {\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}}}  \ge 1$

Đề bài hình như không ổn

$a,b,c>0$ chứ nhỉ?

Giải HPT:

$\left\{\begin{matrix} (x+y)^2-(x+y)\sqrt{3}-xy+1=0\\ x^2+y^2+x+2y=\sqrt{3}+\frac{2}{3} \end{matrix}\right.$

Ba số nguyên được gọi là đồng dạng nếu hoặc chúng có ước chung từng đôi một,hoặc chúng nguyên tố cùng nhau từng đôi một.

CMR: với 6 số nguyên tùy ý luôn tồn tại ít nhất 1 bộ 3 số đồng dạng.

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=1$

Tìm GTLN của biểu thức:

$M=\sum \sqrt{a^2+abc}+9\sqrt{abc}$

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $ a+b \neq 0$.

CMR:

$a^2+b^2+\frac{(ab+1)^2}{(a+b)^2}\geq 2$

Cho $1\leq a,b,c\leq 3 $ thỏa mãn :$a+b+c=6$

Chứng minh rằng: $ a^2+b^2+c^2\leq 14$

Cho $a,b,c >0$ thỏa mãn: $a\leq b\leq 3\leq c$ ; $c\geq b+1$ ;$a+b\geq c$

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Cho các số thực không âm $a.b.c$ thỏa mãn :$a+b+c=\frac{3}{2}$

Tìm GTNN của biểu thức :

$A= a^3+b^3+c^3+a^2b^2c^2$

Cho 3 số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=\frac{9}{4}$

Tìm GTNN của biểu thức: $M=a^2+14b^2+10c^2-4\sqrt{2b}$