Bài 6

Prove: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

 $\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z)\geq 2x\sqrt{y+z}$ is right because of AM-GM

Use:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

mọi người rảnh giúp mình 1 số bài này nữa ( do mấy box kia chả có mấy người )

1.Một người điều khiển ô tô đi nửa quãng đường AB với vận tốc 40km/h và đi nửa còn lại với vận tốc 60km/h.Tính vận tốc trung bình của người đó đi được trên toàn bộ quãng AB

2.Tính N=$\frac{2.30^{30}+2.30^{26}+2.30^{22}+....+2.30^{2}}{45.(30^{28}+30^{24}+30^{20}+....+30^4+1)}$

3.giải phương trình $x^3+ax^2+bx+1=0$$x^3+ax^2+bx+1=0$ a,b là các số hữu tỉ và 1+$\sqrt{2}$ là 1 nghiệm của phương trình

4.Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}$ với x$\geq 2$

5.Phân tích đa thức 4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3$x^{2}y^{2}$

6.giải phương trình $\sqrt{2x^2+7x+10}+\sqrt{2x^2+x+4}=3x+1$

7.giải hệ phương trình $\dpi{80} \LARGE \frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}$

8.tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đồng thời $\dpi{80} \LARGE \frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $\dpi{80} \LARGE x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

9.tìm nghiệm nguyên phương trình 4$\dpi{80} \LARGE x^2-8y^3+2z^2+4x-4=0$

Bạn xem kĩ lại đi. Bình phương rồi mà!

Thế thì biểu thức ban đầu lớn hơn hoặc bằng 9 à! Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Ta có

$a+b+c=abc\Leftrightarrow a^2+ab+ac=a^2bc\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)$

$\Leftrightarrow a^2+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}$

Do đó$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})=\frac{3}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

1/ Ta có $\frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Xây dựng các BDT tuơng tự ta được $\sum \frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

2/ $P=2xy+\left ( x^{3}+y^{3} \right )=2xy+\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right ) ^{2}-3xy\right )=2xy+2011.\left ( 2011^{2} -3xy\right )=2011^{3}-6031xy\geq 2011^{3}-6031.\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=2011^{3}-\frac{6031.2011^{2}}{4}$

câu 1:

$\sum \frac{a^{3}}{(b+1)(c+1)}= \sum \frac{a^{4}}{a(abc+b)(abc+c)}= \sum \frac{a^{4}}{(bc+1)(ac+1)}\geq \sum \frac{4a^{4}}{(ac+bc+2)^{2}}\geq \frac{4}{3}(\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2})^{2}(1)$

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+ac+bc+3)}$

vì 

$(a+b+c)^{2}\geq 9\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9$

$ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

nên

$\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac+3)}\geq \frac{3}{4}$

suy ra $\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{3}{4}(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm

mọi người rảnh giúp mình 1 số bài này nữa ( do mấy box kia chả có mấy người )

1.Một người điều khiển ô tô đi nửa quãng đường AB với vận tốc 40km/h và đi nửa còn lại với vận tốc 60km/h.Tính vận tốc trung bình của người đó đi được trên toàn bộ quãng AB

2.Tính N=$\frac{2.30^{30}+2.30^{26}+2.30^{22}+....+2.30^{2}}{45.(30^{28}+30^{24}+30^{20}+....+30^4+1)}$

3.giải phương trình $x^3+ax^2+bx+1=0$$x^3+ax^2+bx+1=0$ a,b là các số hữu tỉ và 1+$\sqrt{2}$ là 1 nghiệm của phương trình

4.Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}$ với x$\geq 2$

5.Phân tích đa thức 4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3$x^{2}y^{2}$

6.giải phương trình $\sqrt{2x^2+7x+10}+\sqrt{2x^2+x+4}=3x+1$

7.giải hệ phương trình $\dpi{80} \LARGE \frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}$

8.tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đồng thời $\dpi{80} \LARGE \frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $\dpi{80} \LARGE x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

9.tìm nghiệm nguyên phương trình 4$\dpi{80} \LARGE x^2-8y^3+2z^2+4x-4=0$

1.cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) có AB=AC=R$\sqrt{2}$

a)tính BC theo R

b)M là điểm di động trên cung nhỏ AC,đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D.Chứng minh AM.AD ko đổi

c)chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên 1 đường tròn cố định khi M di động trên cung nhỏ AC

(câu a,b đã giải )

2.cho tam giác ABC có $\angle$ A =120 ,AB=4cm,AC=6cm gọi H là hình chiếu của B trên AC

a.tính HA(đã giải )

b.tính độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC

3.cho nửa đường tròn tâm O,đường kính AB=2R,1 dây cung MN=R di chuyển trên nửa đường tròn.Qua M kể đường thẳng // với ON cắt đường thằng AB tại E.Qua N kể đường thẳng // với OM cắt đường thẳng AB tại F.

a) chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng(đã giải)

b)gọi K là giao điểm của EN và FM.Hãy xác định vị trí của dây MN để tam giác MKN có chu vi lớn nhất

Áp dụng $AM-GM$

$1.\frac{b+c}{a}\leq (\frac{1+\frac{b+c}{a}}{2})^2=(\frac{a+b+c}{2a})^2$

=>$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Làm tương tự với các phân thức còn lại ta có

$\sum\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b+c & & \\ b=a+c & & \\ c=a+b & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow a+b+c=0$ (vô lí vì $a,b,c>0$)

Vậy không xảy ra dấu $=$

1/ Ta có $\frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Xây dựng các BDT tuơng tự ta được $\sum \frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

2/ $P=2xy+\left ( x^{3}+y^{3} \right )=2xy+\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right ) ^{2}-3xy\right )=2xy+2011.\left ( 2011^{2} -3xy\right )=2011^{3}-6031xy\geq 2011^{3}-6031.\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=2011^{3}-\frac{6031.2011^{2}}{4}$

Bạn ơi, câu 3 là $x^2+y^2+z^2=3$ hay $x+y+z=3$ vậy bạn?

câu 1:

$\sum \frac{a^{3}}{(b+1)(c+1)}= \sum \frac{a^{4}}{a(abc+b)(abc+c)}= \sum \frac{a^{4}}{(bc+1)(ac+1)}\geq \sum \frac{4a^{4}}{(ac+bc+2)^{2}}\geq \frac{4}{3}(\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2})^{2}(1)$

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+ac+bc+3)}$

vì 

$(a+b+c)^{2}\geq 9\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9$

$ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

nên

$\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac+3)}\geq \frac{3}{4}$

suy ra $\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{3}{4}(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm

Bài 6

Prove: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

 $\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z)\geq 2x\sqrt{y+z}$ is right because of AM-GM

Use:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

http://diendantoanho...28302430203041/

http://diendantoanho...-tròn-nội-tiếp/

http://diendantoanho...tính-bc-theo-r/

mọi người giúp mình mấy bài này nữa ,tks

Bạn ơi, câu 3 là $x^2+y^2+z^2=3$ hay $x+y+z=3$ vậy bạn?

là $x^2+y^2+z^2=3$

câu 7,

áp dụng bđt schwars ta có

P=$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{16}.32=2$

vậy Max P=2

dấu bằng  xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{8}$

A viết rõ hộ e phần $\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})

vì e chưa học cái dấu $\sum$

1.cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Trên đường tròn (O) lấy một điểm D bất kì ( D khác A,B),trên đường kính AB lấy C.Kẻ CH vuông góc với AD tại H,phân giác trong của $\angle DAB$ cắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F,DF cắt đường tròn (O) tại N.Chứng minh

a)Ba điểm N,C,E thẳng hàng

b)Nếu AD+BC thì DN đi qua trung điểm của AC

2.cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diên tích S và nửa chu vi p chứng minh IA+IB+IC $\geq \frac{6S}{p}$

1.tính $N=\frac{2.30^{30}+2.30^{26}+2.30^{22}+....+2.30^2}{45.(30^{28}+30^{24}+30^{20}+...+30^4+1)}$

2.cho a,b,c nguyên thỏa mãn $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ chứng minh $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho 3

3.Một người điều khiên ô tô đi nửa quãng đường AB với V=40km/h và đi nửa còn lại với V=60km/h.tính V trung bình người đó đi được trên toàn bộ quãng AB

Cộng cả 2 vế với $c^{5}+d^{5}$ thì $a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}$ chia hết cho 5.

=> $(a+b+c+d)^{5}$ chia hết cho 5 => đpcm

sao từ $a^5+b^5+c^5+d^5$ chia hết cho 5 lại => $(a+b+c+d)^5$ chia hết cho 5 ?

1. a,b,c dương thỏa mãn abc=1 chứng minh $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

2.x,y dương thỏa mãn x+y=2011 tìm Min,Max P=x($x^{2}+y$) +y($y^{2}+x$)

3.x,y,z >0 x^2+y^2+z^2=3 chứng minh $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}\geq 3$

4.I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diện tích S,nửa chu vi p chứng minh IA + IB + IC $\geq \frac{6S}{p}$

5.a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=abc tìm max  S=$\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ac(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}$

6.a,b,c >0 chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

7.cho x,z,y là 3 số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=8$ tìm Max $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x}$

8.cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB,AC. chứng minh $\frac{AC}{MH}+\frac{AB}{MK}4$

a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn a^5+b^5=4(c^5+d^5) Chứng minh a+b+c+d chia hết cho 5

1.Tìm Min A=$\frac{x^{3}+2012}{x}$ (x>0)

1.cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Trên đường tròn (O) lấy một điểm D bất kì ( D khác A,B),trên đường kính AB lấy C.Kẻ CH vuông góc với AD tại H,phân giác trong của $\angle DAB$ cắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F,DF cắt đường tròn (O) tại N.Chứng minh

a)Ba điểm N,C,E thẳng hàng

b)Nếu AD+BC thì DN đi qua trung điểm của AC

2.cho I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diên tích S và nửa chu vi p chứng minh IA+IB+IC $\geq$$\frac{6S}{p}$

1.Cho (O;R) đường kính AB.Trên đường tròn (O) lấy 1 điểm D bất kì (D khác A,B) trên đường kính AB lấy C.Kẻ CH vuông góc AD tại H,phân giác trong của $\angle DAB$ cắt đường tròn (O) tại E và cắt CH tại F ,DF cắt đường tròn (O) tại N.Chứng minh:

a.Ba điểm N,C,E thẳng hàng ( đã giải )

b.Nếu AD=BC thì DN đi qua trung điểm của AC

1.giải phương trình $x^4+2x^3+3x^2+2x-y^2-y=0$ x,y nguyên ko âm

( đây là phương trình ban đầu $x^4+(x+1)^4=y^2+(y+1)^2$ )

1.$\sqrt{2x^2+x+9} +\sqrt{2x^2-x+1} =x+4$

2.$x^2+y^2+xy=3$ đồng thời  $x^2+2xy=7x+5y-9$

3.tìm nghiệm nguyên ko âm của pt :$x^4+(x+1)^4 =y^2+(y+1)^2$

1.Cho hình vuông ABCD,cạnh X.Trên AB,,BC,CD,DA lấy M,N,P,Q sao cho MN // AC // PQ và  $\angle$∠ AMQ=30$^{\circ}$∘ .Gọi A' đối xứng A qua MQ,C' đối xứng C qua NP, giả sử đoạn thẳng QA' giao đoạn NP tại E ,đường thẳng PC' giao MQ tại      F

a). chứng minh E,F,Q,P cùng thuộc 1 đường tròn

b). AC=3MN tính S tứ giác MNPQ theo X

2.Cho hình vuông ABCD,M thuộc BC(M khác B) N thuộc CD(N khác D) sao cho$\angle MAN=\angle MAB +\angle NAD$

a)/BD giao AN ,AM tại P,Q chứng minh P,Q,M,N,C thuộc 1 đường tròn

b)chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc 1 đường tròn cố định khi M,N thay đổi trên BC,CD

c)đặt S APQ = S1, S PQMN = S2 chứng minh $\frac{S1}{S2}$ không dổi khi M,N thay đổi

http://diendantoanho...-xứng-a-qua-mq/

1.Cho hình vuông ABCD,cạnh X.Trên AB,,BC,CD,DA lấy M,N,P,Q sao cho MN // AC // PQ và $\angle$ AMQ=30$^{\circ}$.Gọi A' đối xứng A qua MQ,C' đối xứng C qua NP, giả sử đoạn thẳng QA' giao đoạn NP tại E ,đường thẳng PC' giao MQ tại F

a). chứng minh E,F,Q,P cùng thuộc 1 đường tròn

b). AC=3MN tính S tứ giác MNPQ theo X

2.Cho hình vuông ABCD,M thuộc BC(M khác B) N thuộc CD(N khác D) sao cho $\angle$ MAN= $\angle$ MAB + $\angle$ NAD

a)/BD giao AN ,AM tại P,Q chứng minh P,Q,M,N,C thuộc 1 đường tròn

b)chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc 1 đường tròn cố định khi M,N thay đổi trên BC,CD

c)đặt S APQ = $S1$ , S PQMN =$S2$ chứng minh $\frac{S1}{S2}$ không dổi khi M,N thay đổi

$ax+b$ đề dẫn tới $f(x)$ có nghiệm thôi

vậy cho mình hỏi cách làm trên là sao,nhìn nó lạ quá ,làm thế nào nghĩ ra cách đấy hay là có công thức gì?

2.Xét y=0 =>$x^{2}+1=0$ (vô lí)

=>$y\neq 0$ .Từ (1)=> $x^{2}+1=y(4-x-y)$

Thế vào (2) được:

y(4-x-y)(x+y-2)=y

<=> (x+y-4)(x+y-2)=-1

<=>$(x+y-3)^{2}-1=-1$ 

<=>x+y=3 đến đây thay vào (1) nữa là xong

Nghiệm (1;2) và (-2;5)

giúp mình cái bài 1 ở đề này nữa,tks

Bài 2 tham khảo ở đây bạn nhé

http://diendantoanho...1998-là-hợp-số/

Sao lại nghĩ đến việc tìm g(x)=f(x)+ax+b và vì sao lại là +ax+b

1.tìm x,y nguyên thỏa mãn $x^{3}+2x^2+3x+2=y^3$

2.giải hệ phương trình sau $x^2+y^2+xy+1=4y$ đồng thời ( mình ko biết làm cái dấu đồng thời) $(x^2+1)(x+y-2)=y$

1.tìm tất cả các số nguyên dương n để A=$2^{9}+2^{13}+2^{n}$ là số chính phương

2.cho P(x) là đa thức bậc 3 với hệ số của $x^{3}$ là 1 số nguyên.Biết P(2012)=2013,P(2013)=2014 chứng minh rằng P(2014)-P(2011) là hợp số

Tham khảo ở đây

Giúp e bài http://diendantoanho...iếp-tam-giác-d/

với ,cảm ơn