chứng minh :
a) với mọi a, b thuộc R thì a^2 - ab + b^2 > 0
b) với mọi a > 0 thì căn a + căn ( a +2 ) < 2. căn( a + 1 )

a, $(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}>0$

b, Bình phương hai vế lên là ra

Em này thành viên mới à?   

Cho hình chóp SABCD ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa SC và ABCD là 60 độ và M là trung điểm SB 

a) Tính thể tích khối chóp SABCD

b) Tính thể tích khối chóp MBCD

Vì có SA vuông góc đáy nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)

Suy ra SCA=60

Đường chéo AC của hình vuông bằng $2\sqrt{2}a$

$SA=AC.tan60=2\sqrt{6}a$

diện tích ABCD=$4a^2$

Suy ra thể tích SABCD=$\frac{8\sqrt{6}a^3}{9}$

thể tích MBCD bằng một phần bốn thể tích SABCD

Cho $x,y,z\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ và $\sin^2 x,\sin^2 y,\sin^2 z$ thứ tự lập thành cấp số cộng, $\sin y\neq 0$, $tan x.tan z=1$.
Cmr $\tan y=1$

Vì  $\sin^2 x,\sin^2 y,\sin^2 z$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

$sin^2x+sin^2z=2sin^2y$

mà có: $sin^2x=1-cos^2x=1-\frac{1}{tan^2x+1}=\frac{tan^2x}{tan^2x+1}$

$\frac{tan^2x}{tan^2x+1}+\frac{tan^2z}{tan^2z+1}=2\frac{tan^2y}{tan^2y+1}\Leftrightarrow\frac{2tan^2x.tan^2z+(tanx+tanz)^2-2tanx.tanz}{tan^2x.tan^2z+1+(tanx+tanz)^2-2tanx.tanz}=2\frac{tan^2y}{tan^2y+1}$

Thay $tanx.tanz=1$ vào ta có

$1=2\frac{tan^2y}{tan^2y+1}\Leftrightarrow tan^2y=1$

Đến đây thì mình nghĩ cần có thêm điều kiện để $tany>0$ mới suy ra $tany=1$ được

$x^4+2x^3+2x^2-2x+1=(x^3+x)\sqrt{\frac{1-x^2}{x}}$

Từ phương trình suy ra $x^3+x\geq 0$ hay $x\geq 0$

phương trình tương đương với:

$x^4+2x^3+2x^2-2x+1=(x^2+1)\sqrt{x-x^3}\Leftrightarrow (x^2+1)^2-2(x-x^3)=(x^2+1)\sqrt{x-x^3}$

Đây là phương trình đẳng cấp!! 

Ta chứng minh : $\frac{a^{3}}{a^{2}+1}\geqslant \frac{7}{25}a-\frac{3}{50}$ $(1)$

Thật vậy $(1)$ tương đương $50a^{3}\geq 14a^{3}-3a^{2}+14a-3\Leftrightarrow 36a^{3}+3a^{2}-14a+3\geq 0\Leftrightarrow \left ( 3a-1 \right )^{2}\left ( 3a+4 \right )\geq 0$ (đúng)

Vậy $P\geq \frac{7}{25}\left ( a+b+c \right )-\frac{9}{50}=\frac{1}{10}$

Nghĩ thế nào mà ra được cái (1) thế bạn, chỉ cho mk với!!

 

P/s: Đề nghị các chiến hữu giải bài này nhanh lên.

Định là không làm nữa 

Từ phương trình suy ra $\frac{-1}{2}\leq x\leq \frac{1}{3}$

Áp dụng AMGM cho vế phải$\sqrt{(2x+1).1}.\sqrt[3]{(1-3x).1.1}\leq \frac{(2x+2)(3-3x)}{6}=1-x^2\Rightarrow 2x^{3}+2x^{2}+1\leq 1-x^2\Leftrightarrow 2x^{3}+3x^{2}\leq 0\Leftrightarrow x^2(2x+1+2)\leq 0\Rightarrow x=0$ 

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 và $ab+ac+bc\geq 0$ Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\frac{2}{\left |a-b \right |}+\frac{2}{\left |b-c \right |}+\frac{2}{\left |c-a \right |}+\frac{5}{\sqrt{ab+ac+bc}}$

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Các điểm M, N, P Q thay đổi tương ứng trên các cạnh AB, AD, CD, CB.

Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng K=MN+NP+PQ+QM 

Xác định m để hàm số sau không có cực trị

$y=\frac{x^2+2mx-3}{x-m}$

Có $y'=\frac{x^2-2mx+3-2m^2}{(x-m)^2}$

Để hàm không có cực trị thì y' không đổi dấu. Suy ra y'=0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Suy ra $\Delta \leq 0\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$

Cho a, b, c dương.

Tìm max:  $P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Cho hình chóp đều S.ABC, SA=a. Gọi D, E là trung điểm của SA, SC.

1, Tính thể tích khối chóp SABC theo a, biết BD vuông góc AE

2, Gọi G là trọng tâm SBC, mặt phẳng (P) qua AG cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Gọi V1, V lần lượt là thể tích khối chóp S.AMN và S.ABC. Tìm giá trị lớn nhất của $\frac{V1}{V}$

Chứng minh bất đẳng thức:

$(\frac{sinx}{x})^3\geq cos^{2}x$ với mọi $x\epsilon (0;\frac{\Pi }{2})$

Giải thử, không biết đúng không

Ta xét 2 TH:

• $m=0$. Hàm số trở thành $y=3\sin x$, ko thoả yêu cầu bài toán nên loại.
• $m\neq 0$. Hàm số được "kết hợp" từ 2 đồ thị hàm số $\left\{\begin{matrix}\left(C\right): y=3\sin x-4m\cos x\\(d): y=mx \end{matrix}\right.$

Khi đó đồ thị hàm số $y=3\sin x-4m\cos x+mx$ hoặc luôn có xu hướng đi lên với $m>0$ (khi $x\to+\infty$ ), hoặc luôn có xu hướng đi xuống với $m<0$ ((khi $x\to+\infty $)

 

Từ đó suy ra không có $m$ nào thoả đk bài toán

A xem hộ e xem làm thế này có đúng không?

Tính $y^{''}=-3sinx+4cosx$

Thay $x=\frac{\Pi }{2}$ vào được giá trị bằng -3<0. Suy ra  $x=\frac{\Pi }{2}$  không thể là hoành độ cực tiểu.

Cho hàm số: $y=3sinx-4mcosx+mx$

Tìm m để hàm đạt cực tiểu tại $x=\frac{\Pi }{2}$

Gải hpt sau:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{y^{2}-1}-\sqrt{\frac{x^{3}+y^{3}}{2}-2}+y=0& & \\ \sqrt{5x^{2}+2xy+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+2xy+5y^{2}}=2\sqrt{2}(x+y)& & \end{matrix}\right.$

vế trái phương trình bên dưới tương đương với:

 $VT= \sqrt{(2x)^2+(x+y)^2}+\sqrt{(2y)^2+(x+y)^2}\leq \sqrt{(2x+2y)^2+(x+y+x+y)^2}=2\sqrt{2}(x+y)=VP$

Dấu = xảy ra khi x=y 

Thay x=y vào pt trên thì có nhiều cách giải.

Ra nghiệm x=y=3

Vậy còn TH $x<\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{5}}}$ thì sao TH này chưa chắc đã đúng bạn ạ

Tại sao???

Bạn có thể biến đổi như vậy không? Ý mình là cách hàm số ấy>

Sau khi nhân liên hợp thì  phương trình có dạng:

$(\sqrt{x^2-1}-1)^2+x\sqrt{x}\sqrt{x-1}=2$

Đến đây thì có thể đạo hàm hay là xét x> $\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{5}}}$ thì VT>VP và ngược lại.

Cuối cùng là suy ra $x=\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{5}}}$ là nghiệm duy nhất

Cách này của bạn mình thấy không được phù hợp mặc dù bạn biết nghiệm như biểu thức trong P(X) liệu có còn nghiệm không nên không xét như vậy?

Hơn nữa nếu đi thi mà không có cách để tìm nghiệm trên mạng như vậy thì làm sao đây?

Thực ra làm thế này là làm vớ vẩn. Khi đã biết nghiệm rồi thì phải đưa về hàm đồng biến chứ ko nhân liên hợp được!

Mình chưa nghĩ ra được cách làm tự nhiên cho bài này....... và cũng chưa ai làm được! Có thể là do đề bài có vấn đề!

Mong đi thi không vào bài này!

ờ đi thi thì may mắn thôi chứ cũng chả biết             

dislike!

Chắc là tra trên cốc cốc hay trang nào đó tương tự!

Ra $x=-\frac{2}{\sqrt{3}};x=\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{5}}};x=-\sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{5}}}$ đúng ko

Ờ hay!! Nhưng $x\geq 1$ mà!!

Mà làm kiểu gì ra $x=\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{5}}}$ thế?? Bấm máy thấy đùng rồi đấy!! Nếu biết thế này rồi thì xét hàm ra ngay, biến đổi ra được hàm đồng biến mà!!

Nhưng mà như vậy sẽ ko tự nhiên, đi thi cũng không biết nghiệm thế nào mà xét!

Nghiệm lẻ bạn à

ừ lẻ lắm

mình vẫn chưa làm được!

Giải phương trình:

$2(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})(1+\sqrt{x^2-1})=x\sqrt{x}$

Bất đẳng thức được tô đỏ chưa chắc đã hoàn toàn đúng với mọi $abc=1$ ví dụ như $a=2;b=3;c=1/6$

BĐT$\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca+a+b+c)\leq 2(a+b+c)^2\Leftrightarrow a+b+c\geq ab+bc+ca$ (đúng vì $abc=1$)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Bị ngược dấu nặng nề!:

Áp dụng AM-GM

$ab+ac+bc\geq abc(a+b+c)=a+b+c$

 

1, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a^4+b^4+c^4=3$. Chứng minh:

 

$\dfrac{1}{4-ab}+\dfrac{1}{4-bc}+\dfrac{1}{4-ca} \le 1$

 

2, Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:

 

$a, \dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \le \dfrac{1}{2}$

 

$b, \dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{1}{3}$

 

Phần b câu 2 phải là:

Cho $abc=1$ Chứng minh:  $\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)} \ge \dfrac{3}{2}$