Đề bài : Có $6$ học sinh, $3$ nam và $3$ nữ được xếp vào $6$ ghế , $2$ hàng đối diện , được đánh số từ $1$ đến $6 $. Tính xác xuất để nam nữ ngồi đối diện .

Không gian mẫu $n_{\omega }=6!$

Cách $1$ :

Có $6$ cách để xếp một bạn nam vào $1$ ghế trong $6$ ghế

Nên có $3$ cách chọn một bạn nữ ngồi đối diện với bạn nam trên

Xếp tiếp $1$ bạn nam vào $4$ ghế còn lại : có $4$ cách

Nên có $2$ cách xếp $1$ bạn nữ ngồi đối diện với bạn nam trên

Còn lại $1$ nam và $1$ nữ xếp vào $2$ ghế còn lại có $2$ cách .

Vậy tổng cộng có $6.3.4.2.2=288$ cách

Xác xuất để nam nữ ngồi đối diện là $P=\frac{288}{6!}=\frac{2}{5}$

Cách $2$ :

TH$1$ : Nam hàng $1$ nữ hàng $2$ có : 3!.3! cách

             Nam hàng $2$ nữ hàng $1$ có : 3!.3! cách

TH$2$ : Hàng $1$ có $2$ nam , hàng $2$ có $1$ nam

Số cách xếp : $A_3^2.A_1^1.3!=36$

Tương tự hàng $1$ có $1$ nam , hàng $2$ có $2$ nam

Số cách xếp : $A_3^2.A_1^1.3!=36$

Vậy Sẽ có $144$ cách xếp

Xác xuất $P=\frac{1}{5}$

Cách $3$ :

TH$1$ : $3$ nam ngồi cùng hàng, $3$ nữ ngồi cùng hàng ( vậy nam nữ luôn đối diện)

Có $2.3!.3!$ cách

TH$2$ : (Hình kèm dưới )

             Chọn $1$ nam ngồi vào $1$ ô của hàng $1$ có $3.3=9$ cách

             Chọn $2$ nam còn lại ngồi vào $2$ ô của hàng $2$ có $2$ cách

             Chọn $3$ nữ ngồi vào 3 ô còn lại có $3!$ cách

Suy ra có $9.3!.2.2$ cách

Vậy $P=\frac{2.3!.3!+9.2.2.3!}{6!}=\frac{2}{5}$

Cách làm nào mới đúng , hay là sai hết ???

Cách $2$ giải sai rồi.Giải đúng là như thế này :

TH 1 : Nam hàng $1$, nữ hàng $2$ : $3!.3!=36$ cách.

TH 2 : Nam hàng $2$, nữ hàng $1$ : $3!.3!=36$ cách.

TH 3 : Hàng $1$ có $2$ nam, hàng $2$ có $1$ nam :

        + Chọn $3$ ghế cho các "bậc mày râu" : $C_{3}^{2}=3$ cách

        + Xếp $3$ "đấng trượng phu" ngồi vào $3$ ghế vừa chọn : $3!=6$ cách.

        + Xếp $3$ "người đẹp" vào $3$ chỗ còn lại : $3!=6$ cách.

       $\Rightarrow$ TH 3 có $3.6.6=108$ cách

 

TH 4 : Hàng $1$ có $1$ nam, hàng $2$ có $2$ nam :

        + Chọn $3$ ghế cho các "bậc mày râu" : $C_{3}^{1}=3$ cách

        + Xếp $3$ "đấng trượng phu" ngồi vào $3$ ghế vừa chọn : $3!=6$ cách.

        + Xếp $3$ "người đẹp" vào $3$ chỗ còn lại : $3!=6$ cách.

       $\Rightarrow$ TH 4 có $3.6.6=108$ cách

Xác suất cần tính là $P=\frac{36+36+108+108}{6!}=\frac{2}{5}$.

Chỗ này lời dẫn bị sai . Đáng ra là chọn 2 ghế trong 3 ghế ở hàng 1 cho 2 nam

Dưới tương tự ..

Bạn xem thử ở Cách 1 và cách 3 thì cách nào đúng , cách nào sai ... Hình như 2 cách này mâu thuẫn nhau ở bước đầu tiên

Cho mình hỏi : Bạn lấy ở bài toán nào trong sgk 11 vậy ? Mình rất thích cách đặt vấn đề của bạn..

Bài toán gốc : Bài 6 trang 74 :

Đề : Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau . Tính xác suất sao cho :

Nam nữ ngồi đối diện nhau 

Bài toán có thể mở rộng lên thành

n bạn nam và n bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên vào 2n ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau . Tính xác suất đề nam nữ ngồi đối diện

Cách giải cho bài toán tổng quát thì mình cũng tìm được 3 cách rồi 

2/ Cho a,b,c: $\sum a^2=2;\sum ab=1.$. Tìm Max, min của a,b,c

Ta có : $4=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow a+b+c=\pm 2$

Xét $\left\{\begin{matrix} a+b+c=2 \\ ab+ac+bc=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2-b-c \\ a(b+c)=1-bc \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2-(b+c) \\ a(b+c)=1-bc \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4a(2-a)\leq 4-(2-a^2)\Leftrightarrow 0\leq a(4-3a)\Rightarrow 0\leq a\leq \frac{4}{3}$

Tương tự $0\leq b,c\leq \frac{4}{3}$

TH còn lại tự làm nhé 

Bạn nói ở sách nâng cao hay cơ bản vậy ? Mình lấy sách nâng cao tìm thì không có....hay bạn có nhầm bài không ???

Sách Đại Số 11 cơ bản nhé bạn .

Cho $a,b,c$ dương thõa mãn : $abc=1$ . Chứng minh 

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+2$

P/s : Chém thoải mái , không biết được mấy cách đây 

Đề của Thầy Trần Quốc Luật - tranquocluat_ht

Giải phương trình lượng giác : $9sinx+3\sqrt{3}cosx=8(sin^{3}x+cos^{3}2x)$

chứng minh với mọi tứ giác lồi ABCD ta luôn có $AC^{2}+BD^{2}\leq AD^{2}+BC^{2}+2AB*CD$ dấu bằng xảy ra khi nào?

Gợi ý : Vẽ thêm $AE,BF$ vuông góc với $CD $(E,F\in CD)$

Dấu bằng Hình thang cân $ABCD$ với $(AB//CD)$

Đề bài : Lấy dễ thôi

Có $n$ quả cầu cùng màu đỏ . Số cách để lấy ra hai quả cầu màu đỏ trong hộp trên.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu $n$ quả cầu ấy khác nhau thì sẽ có $C_{n}^{2}$ cách chọn

Nếu $n$ quả cầu ấy giống nhau thì sẽ có bao nhiều cách chọn.

$C_{n}^{2}$ cách hay chỉ là $1$ cách

Trong các sách tham khảo khi đưa ra bài toán họ chỉ đề cập đến việc có $n$ quả cầu cùng màu , chứ không đề cập là nó giống nhau hay khác nhau . Nhưng khi giải thì vẫn cho là có $C_{n}^{2}$ cách chọn . 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vấn đề này mình thắc mắc khá lâu rồi , nếu mà $n$ quả cầu ấy giống hệt nhau thì khi lấy ra $2$ quả thì luôn có $1$ cách

Đề bài : Lấy dễ thôi

Có $n$ quả cầu cùng màu đỏ . Số cách để lấy ra hai quả cầu màu đỏ trong hộp trên.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nếu $n$ quả cầu ấy khác nhau thì sẽ có $C_{n}^{2}$ cách chọn

Nếu $n$ quả cầu ấy giống nhau thì sẽ có bao nhiều cách chọn.

$C_{n}^{2}$ cách hay chỉ là $1$ cách

Trong các sách tham khảo khi đưa ra bài toán họ chỉ đề cập đến việc có $n$ quả cầu cùng màu , chứ không đề cập là nó giống nhau hay khác nhau . Nhưng khi giải thì vẫn cho là có $C_{n}^{2}$ cách chọn . 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vấn đề này mình thắc mắc khá lâu rồi , nếu mà $n$ quả cầu ấy giống hệt nhau thì khi lấy ra $2$ quả thì luôn có $1$ cách

Khi gửi bài mới , nếu ấn $2$ lần gửi bài mới thì nó sẽ thành $2$ bài nhưng chỉ tính $1$ bài viết . Mà nếu gửi bài tiếp theo thì phải đơi $60$s , nhưng sao nó lại hiện ra $2$ bài nhỉ !!

Phải là $C_n^2$ là đúng rồi mà.

 

Làm theo bước sau nhé:

Bước 1 - Em lấy 2 quả bất kì.

Bước 2 - em bỏ lại 1 quả vào giỏ và quay lại bước 1

 

Bằng cách đó, em có thể lấy được nhiều cặp 2 quả. Do đó đáp án 1 cách là có vấn đề.

 

Hơn nữa, nếu các quả giống nhau, ta có thể đánh số, và như vậy chúng vẫn khác nhau. Khái niệm "giống nhau" không nên hiểu lầm thành "trùng nhau"

Nhưng mà nếu giống nhau hoàn toàn thì khi lấy ra chỉ có một cách duy nhất đó thôi mà thầy !! 

Nếu như thầy nói là đúng thì các quả cầu giống nhau hay khác nhau đều là một à ??

Đúng rồi, vì khi đó, ta có thể đánh số thứ tự để phân biệt chúng. Chúng chỉ giống nhau chứ không trùng nhau mà

Nhưng ở đây đề bài có bảo đánh số thứ tự gì đâu thầy . Vì các quả giống nhau hoàn toàn , nên nếu lấy $2$ quả này ra thì cũng giống như lấy $2$ quả khác ra , nên chỉ có $1$ cách thôi chứ . Em vẫn băn khoăn về điều này , Hỏi  thầy của em thì bảo là khi làm thì cứ coi như chúng khác nhau . :3

Bài 2: Cho phương trình:  $x^{2}+bx+c=0$                       (1)      $\left ( b;c\neq 0 \right )$

                                             $x^{2}+mx+n=0$                      (2)      $\left ( m;n\neq 0 \right )$

Biết b ; c là 2 nghiệm phương trình (1) và  m ; n là 2 nghiệm phương trình (2)

CMR : $b^{2}+c^{2}+m^{2}+n^{2}=10$

$b,c$ là nghiệm PT(1) nên theo Vieste ta có :

$bc=c$ nên $b=1$ tìm được $c=-2$ 

$m,n$ tương tự

Suy ra ĐPCM

Trước hết hãy xét 1 bài "đơn giản" (ít gây tranh cãi) hơn (bài 5, trang 55, sách Đại số và Giải tích 11) :

Có bao nhiêu cách cắm $3$ bông hoa vào $5$ lọ khác nhau (mỗi lọ không quá 1 bông) nếu :

a) Các bông hoa khác nhau ?

b) Các bông hoa giống hệt nhau ?

 

LỜI GIẢI :

a) Số cách cắm là $A_{5}^{3}=5.4.3=60$ cách.

b) + Chọn ra $3$ trong $5$ lọ : $C_{5}^{3}=10$ cách.

    + Cắm $3$ bông hoa giống nhau vào $3$ lọ đã chọn (mỗi lọ 1 bông) : $1$ cách

 $\Rightarrow$ số cách là $10.1=10$ cách.

 

Ở đây cần lưu ý rằng, $3$ bông hoa giống nhau cắm vào $3$ lọ khác nhau (mỗi lọ 1 bông) thì chỉ tính là $1$ cách, chứ không phải là $3!=6$ cách (nên đáp án câu b là $10$ chứ không phải $60$)

Tức là, nếu trong 2 cách sắp xếp (hoặc 2 cách chọn) mà cách này có thể trở thành cách kia bằng cách đổi chỗ các phần tử giống hệt nhau, thì 2 cách ấy xem như đồng nhất.

 

Như vậy số cách chọn $k$ quả cầu từ $n$ quả cầu giống hệt nhau ($k$ nhỏ hơn hoặc bằng $n$) là $1$ cách.

(chứ nếu là $C_{n}^{k}$ cách thì cần gì phải nói là "các quả cầu giống hệt nhau")

Mình cũng nghỉ như vậy , nhưng trong các sách tham khảo thì nó giải khác , nên khi đi thi cũng không biết nên làm sao !!

Chào các bạn, hiện tại mình đang có một số quyển sách tham khảo toán phổ thông không dùng đến (vì không có thời gian đọc, toàn lo bài vở trên lớp với đi chơi ). Mà sách vở cứ để không như thế thì phí phạm tri thức quá. Vậy nên mình xin được được tặng lại cho anh em trong diễn đàn, hy vọng nó sẽ giúp ích cho mọi người

Danh sách các quyển sách gồm:

- Sáng tạo bất đẳng thức, của anh Phạm Kim Hùng
- Phân loại phương pháp giải toán bất đẳng thức của anh Cẩn và anh Quốc Anh.
- Vẻ đẹp của Bất đẳng thức trong các kì thi Olympic toán học của anh Cẩn và anh QA.
- Các quyển sách của thầy Nguyễn Hữu Điển: sáng tạo trong giải toán phổ thông, những pp điển hình trong giải toán phổ thông, một số chuyên đề hình học tổ hợp.
- Phương trình nguyện nguyên của thầy Phan Huy Khải.
- Cuối cùng là 2 cuốn tuyển tập tạp chí THTT hai năm 2006, 2007 (đóng 12 số thành một cuốn lớn có bìa nhìn chất lắm :x)


Mọi người ai muốn những quyển nào có thể đưa cho mình địa chỉ rồi mình sẽ gửi qua đường bưu điện. Các bạn có thể gửi địa chỉ trong topic này hoặc qua PM đều được

Nếu không có ai nhận thì bạn k dùng cuốn gì thì gửi cho mình luôn

Địa chỉ : Thôn Xuân Bắc -Cẩm Nhượng- Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh

Tên : Phạm Hùng 

Sđt :01639589105

Còn tiền gửi thì mình gửi cho , hơi ham thì phải

 

Vào lúc 11 Tháng 1 2015 - 11:06, ngutoanso1 đã nói:

 
chứng minh nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn  $b^{2}+4ac$ $b^{2}-4ac$ là số chính phương thì abc chia hết cho 30

 
 
 

Ta có :$b^2-4ac=x^2$ và $b^2+4ac=y^2$

$\bullet$ Nếu $b$ chia hết cho $2$ thì $abc$ chia hết cho $2$

$\bullet$ Nếu $b$ không chia hết cho $2$ thì $b=2k+1$ 

$\Rightarrow b^2=4k(k+1)+1\equiv 1$ (mod $8$)

Vì $b$ lẻ $\Rightarrow x$ lẻ $\Rightarrow x^2\equiv 1$ (mod $8$)

$\Rightarrow 4ac=b^2-x^2\equiv 0$ (mod $8$)

Suy ra $ac$ chia hết cho $2$ nên $abc$ cũng chia hết cho $2$

$\bullet$ Nếu $b$ chia hết cho $3$ thì $abc$ chia hết cho $3$

$\bullet$ Nếu $b$ không chia hết cho $3$ thì $b^2\equiv 1$ (mod $3$)

Nếu $ac\equiv 1$ (mod $3$) hoặc $ac\equiv 2$ (mod $3$) thì $x^2\equiv 2$ (mod $3$) , vô lý

Vậy $ac$ chia hết cho $3$ hay $abc$ chia hết cho $3$

$\bullet$Nếu $b$ chia hết cho $5$ thì $abc$ chia hết cho $5$

$\bullet$Nếu $b$ không chia hết cho $5$ thì $b^{2}\equiv \pm 1$ (mod $5$)

Nếu $ac$ không chia hết cho $5$ thì $4ac\equiv \pm 1,\pm 2$ (mod $5$)

Khi đó một trong hai số $x^2,y^2$ có dạng $5k\pm 2$ không phải là số chính phương

Vậy $ac$ chia hết cho $5$ hay $abc$ chia hết cho $5$

Suy ra ĐPCM

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho đường tròn nội tiếp tam giác AMB bà AMC bằng nhau. Chứng minh $AM^{2}=S.cot\frac{A}{2}$

Lời giải

Èo, sorry các bạn, các quyển sách đều được đăng kí cả rồi

Mình có cuốn nào k bạn

Cho $sin^{n}A+sin^{n}B+sin^{n}C< \frac{n}{n-1}$ . CHứng minh tam giác $ABC$ tù

Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương và $6xyz+30xy+21xz+2yz+105 x+10y+7z = 812$, tìm $x+y+z$.

$gt\Leftrightarrow 6xyz+30xy+21xz+2yz+105x+10y+7z+35=847$

$\Leftrightarrow (3x+1)(2y+7)(z+5)=847=7.11^2$

Do $x,y,z$ là các số nguyên dương nên $\left\{\begin{matrix} 3x+1> 1 \\ 2y+7> 1 \\ z+5> 1 \end{matrix}\right.$

Vậy $(3x+1,2y+7,z+5)=(7,11,11)$ và các hoán vị của chúng .

Lại có $2y+7> 7$ nên $2y+7=11\Leftrightarrow y=2$

Trường hợp $1$ : $\left\{\begin{matrix} 3x+1=7 \\ z+5=11 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 \\ y=6 \end{matrix}\right.$

Trường hợp $2$ : $\left\{\begin{matrix} 3x+1=11 \\ z+5=7 \end{matrix}\right.$ (loại vì $x,z$ nguyên dương$

$\Rightarrow x+y+z=10$

Tính các góc của tam giác $ABC$ biết : 

a, $cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A-C}{2}=\frac{3}{2}+sin\frac{3A}{2}$

b, $\left\{\begin{matrix} 4p(p-a)\leq bc \\ sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}=\frac{2\sqrt{3}-3}{8} \end{matrix}\right.$

 1. Với $a,b,c \in \left [ 1;2 \right ]$

 CM: $(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$ (*)

Bài toán mạnh hơn bài trên là 

Với $a,b,c \in \left [ 1;2 \right ]$

CM: $(a+b+c).(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq \frac{81}{8}$