Câu 4a/ Câu trả lời là không do số cuối cùng không thể là số lẻ.

Thật vậy, theo quy luật đề bài ta có:

chẵn + chẵn = chẵn 

lẻ + lẻ = chẵn

chẵn + lẻ = lẻ + chẵn = lẻ

Trước dấu "=" là xóa đi và sau là số viết vào.

Ta thấy số lẽ luôn mất đi 2 hoặc không mất đi qua cả 3 TH ta xóa tùy ý. Mà ta có 1008 số lẻ nên theo luật bất biến rõ ràng số lẻ không thể còn lại cuối cùng.

Cho tam giác ABC với diện tích S. Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và AC. Điểm M khác C và điểm N cùng nằm trên cạnh BC sao cho NM=NC. Các đường thẳng AN và EM lần lượt cắt BF tại P và Q. Đặt $S'$ là diện tích tứ giác MNPQ. Chứng minh rằng:

$\frac{S}{5}\ge S' \ge \frac{S}{6}$

Cho tam giác ABC với diện tích S. Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và AC. Điểm M khác C và điểm N cùng nằm trên cạnh BC sao cho NM=NC. Các đường thẳng AN và EM lần lượt cắt BF tại P và Q. Đặt $S'$ là diện tích tứ giác MNPQ. Chứng minh rằng:

$\frac{S}{5}\ge S' \ge \frac{S}{6}$

Chứng minh đồng nhất thức Jacobi: $\sum [\overrightarrow{a},[\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]]=0$

Hàm nghịch biến thì suy ra hai dãy con với chỉ số chẵn và lẻ với tính đơn điệu trái ngược nhau   

Đúng rồi tớ xin lỗi nhé. Hồi đó xem vội nên làm nhằm. Thêm bước CM 2 dãy chẵn-lẽ có cùng giới hạn

Bạn ơi xem lại đề giúp mình với, mất 15p dùng Lagrange tìm điểm rơi mà kq là không có

 

 

Ta chứng minh với 2n+2 có 2n+2 cách
Thì từ 2n có 2n cách

Hình như bạn giải nhằm rồi, Thử n=3 cũng thấy thiếu 

Bài một mình không nhầm là thế này. Mong mọi người góp ý.

Xét dãy số liên tiếp gồm n số 1 (ứng với n viên kẹo), ta ghi vào dãy số trên thêm 2 số 0 ở vị trí bất kì khi đó ta sẽ được "3 đoạn" (ứng với a;b;c). Rõ ràng phép đặt này là 1-1.

Vd: 111011011 <=> (3;2;2)

Theo tính chất của ánh xạ và qui tắc tổ hợp. Vậy số cách chia thỏa mãn đề bài là (n+2)C2

Mọi người làm thử bài này đi. Mình mới chế được   Có gì sai mong mọi người bỏ qua nhé

Cho tam giác ABC vuông tại A và tanC=2/3, điểm C(2;3), Đường thẳng AD cắt đoạn BC tại D sao cho DC=2DB có phương trình (AD):x-y-7=0. Biết xA>3. Tìm tọa độ A,B.

Xét $a>0$ khi đó theo giải thuyết $(1)$ có 2 nghiệm $x_1\le 1\le x_2$

Suy ra $f(1)=a+b+c+d+e <0$  (Do Bảng biến thiên)

Lại có $g(1)=a+b+c+d+e =f(1)< 0$ 

Mặt khác Do $a>0 $ nên tồn tại số thực $t$ đủ lớn để $g(t)>0$

Suy ra: $g(1).g(t)<0 => g(x)=0$ có nghiệm.

CM biểu thức sau đây không phụ thuộc vào số nguyên dương n:

$S_n=\cos\frac{\pi}{2n+1}-\cos\frac{2\pi}{2n+1}+\cos\frac{3\pi}{2n+1}-...+(-1)^{n+1}\cos\frac{n\pi}{2n+1}$

Bài 5: hướng đi khác

Đặt $(a;b;c)\rightarrow \left ( \frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z} \right )\Rightarrow ab+bc+ca=1$

Khi đó $P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\\=\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}} \\ \le a\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c} \right )+b\left ( \frac{1}{4(b+c)}+\frac{1}{a+b} \right )+c\left ( \frac{1}{4(b+c)}+\frac{1}{a+c} \right )=\frac{9}{4}$

Dấu bằng có khi $(x;y;z)=\left ( \frac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15} ;\sqrt{15}\right )$

Bạn có cách nào khác ngoài khảo sát hàm ố hay không.

Giờ chưa nghĩ ra. Mà có hàm $\ln $ nên đánh giá hơi khó

Từ điều kiện dễ dàng suy ra mẫu số dương

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: $P \ge \frac{9}{12+\sum[ 2\ln(x+1)-x]}=\frac{9}{12+\sum f(x)}$

Khảo sát hàm $f(x)$ dễ dàng tìm được: $-1<f(x)\le-1+\ln 4$

Bài 5: Với $y \in R$ ta chọn $b=f(0)-y$ hay $y=f(0)-b;a=-2f(b);c=2f(a)-b$.

Bài này không có GTNN đâu. 

ĐKXĐ: $x\leq 3$

Đặt $\sqrt{3-x}=a(a\geq 0)\Rightarrow x=3-a^2$

$\Rightarrow A=f(a)=-a^2+a+3$

Lập bảng biến thiên 

dddsfdasfsdf.jpg

Từ đó suy ra 

$f(a)$ min $=f(0)=3\Leftrightarrow a=0\Leftrightarrow x=3$

$f(a)$ max $=\frac{13}{4}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{11}{4}$

GTNN sai rồi. Nhìn vào BBT ta có thể thấy khi a dần tới dương vô cực thì $f(a)$ dần tới âm vô cực vậy theo lẽ sẽ tồn tại $a$ đủ lớn để $f(a)$ đủ nhỏ hơn $f(0)$

Câu 3 lượng giác hóa

  Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+bc=1$

    Chứng minh: $ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$.

 P/s: Các bạn like ủng hộ mình nha...

Đề sai rồi

$\frac{1}{a+1}\ge \frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+3}\ge 2\sqrt{\frac{bc}{(b+2)(c+3)}} \\\frac{2}{b+2}\ge \frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+3}\ge 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+3)}} \\\frac{3}{c+3}\ge \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+2}\ge 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+2)}}\\ \Rightarrow 6\ge 8abc\Leftrightarrow abc\le \frac{3}{4}$

Áp dụng BĐT Holder: $a+b+c\le \sqrt[3]{9(a^3+b^3+c^3)} \\\Rightarrow P\le \sqrt[3]{9.4(a+b+c)}=3$

Dấu bằng có khi $a=b=c=\frac{1}{4}$

Vậy$ Max P =3$

$A=(\sqrt{x-9}-3)^2 \ge 0$

Dấu bằng có khi $x=18$

Vậy: $Min A=0$

Bài này thiếu mối liên hệ giữa $x,y$ rồi:

$x,y \to +\infty$ thì $P \to +\infty$

$x=y=\frac{-1}{2}$ thì $P_{min}=0$

$3^n\equiv 1,3 (mod 8) \Rightarrow 3^n+1\equiv 2,4 (mod 8)$

Hay $3^n+1$ không chia hết cho 8

Suy ra $3^n+1+21.8$ không chia hết cho 8

hay $3^n+169$ không chia hết cho 184 

Suy ra $3^n+169+10.184=3^n+2009$ không chia hết cho 184

$\lim (U_n-1)=\lim(\sqrt[n]{2n+1}-1)=\lim \frac{2n}{\sum_{k=1}^n(\sqrt[n]{2n+1})^{k-1}}=0 \\\Rightarrow \lim U_n=1$