$(4x+2)(\sqrt{1+x+x^{2}}+1)=-3x(2+\sqrt{9x^{2}+3})$

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AM,BN,CI. Gọi Ax là đường thẳng đối xứng với AM qua đường phân giác góc A, By là đường thẳng đối xứng với BN qua đường phân giác trong góc B, Cz là đường thẳng đối xứng với CI qua đường phân giác góc C. Chứng minh Ax,By,Cz đồng quy.

cho M là điểm tùy ý trong tam giác ABC đều. Gọi a1,b1,c1 là hình chiếu của M lên BC,AC,AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của

P=$\large \frac{MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}}{MA_{1}^{2}+MB_{1}^{2}+MC_{1}^{2}}$

CHo hàm số f: Z--->R thoả

$f(n)=\left\{\begin{matrix} n-10 &(n>100) & \\ f(f(n+11)) & (n\leqslant100) & \end{matrix}\right.$

Chứng minh f(n)=91 với n<=100

Tìm hàm số f: N--->N thoả f(1)>0 và

$f(m^{2}+n^{2})=f^{2}(m)+f^{2}(n)$

Tìm f(x)

À không giải quy nạp nhá, cách khác !

CHo tam giác ABC nội tiếp (O,R). Gọi $C_{1}$$,C_{2},C_{3}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC,COA,AOB.Gọi A' là giao điểm thứ hai của AO và $C_{1}$, B' là giao điểm thứ hai của BO và $C_{2}$, C' là giao điểm thứ hai của CO và $C_{3}$. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là lượt là số đo góc BOC',AOB',AOC'.

CHứng minh:

$\frac{OA'}{OA}+\frac{OB'}{OB}+\frac{OC'}{OC}\geqslant 6$

Qua đỉnh D của tứ giác ABCD kẻ các đường thẳng a,b,c lần lượt vuông góc với DA, DB,DC. Gọi E,F,I lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng a và BC, b và CA, c và AB. Chứng minh E,I,F thằng hàng.

$log_{2}(5^{x}-1).log(2.5^{x}-2)=2$

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AM,BN,CI. Gọi Ax là đường thẳng đối xứng với AM qua đường phân giác góc A, By là đường thẳng đối xứng với BN qua đường phân giác trong góc B, Cz là đường thẳng đối xứng với CI qua đường phân giác góc C. Chứng minh Ã,By,Cz đồng quy.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O và ngoại tiếp đường tròn tâm I. Đường thẳng AI cắt BC tại L và cắt đường trung trực cạnh BC tại Q. Chứng minh 

AI.LQ=IL.IQ

Cho đường tròn tâm I bán kính 1. Kẻ 2 đường vuông góc AB và CD. Lấy điểm M trên cung nhỏ BD không trùng B,D. MA cắt CD tại E, MC cắt AB tại F. Chứng minh:

OM đi qua trung điểm của EF khi và chỉ khi EF có độ dài nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC chứng minh : 

$3(sin^{4}\frac{A}{2} + sin^{8}\frac{C}{2}) + 8(sin^{6}\frac{B}{2}+sin^{8}\frac{C}{2}) + 13sin^{8}\frac{C}{2} >= \frac{13}{32}$

----------------------

Em nên viết hoa đầu dòng, học gõ Latex tốt hơn và đặt tiêu đề đúng quy định!

Qua đỉnh D của tứ giác ABCD kẻ các đường thẳng a,b,c lần lượt vuông góc với DA, DB,DC. Gọi E,F,I lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng a và BC, b và CA, c và AB. Chứng minh E,I,F thằng hàng.

Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB. H là 1 điểm thuộc AB, trên đường thẳng MB lấy điểm P,Q sao HM phân giác trong góc PHQ và PM.QB=MQ.PB. Đường tròn (O1) đườnh kính MB cắt MA,MB và (O) tại E,F,C (C#M).

Chứng minh AB,EF,CM đồng quy.

Cho tam giác ABC vuông tai A. Gọi I là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC. Chứnh minh

$S\Delta _{ABC} = IB.IC$

$u_{1}=\frac{c}{2}>0, u_{n+1}=1/2(c+$$u_{n}^{2}$)$   với mọi n thuộc N*$

tìm c để $u_{n}$ hội tụ

tìm hàm số f Q+ ------> R+

f(x+1) = f(x)+1 và $f(x^{3}) = f^{3}(x)$ mọi x thuộc Q+

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}=1+xy & & \\ (\frac{x}{y+1})^{2}+(\frac{y}{x+1})^{2}=1& & \end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1, M tùy ý.

Chứng minh:

$\large a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}).MA + b^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2}).MB + c^{2}(b^{2}+a^{2}-c^{2}).MC >= (abc)^{2}$

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi i là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC. Chứng minh

$S\Delta _{ABC} = IB.IC$

cho dãy

Mod: Nên gõ latex phần tiêu đề và bài viết

Từ điểm M không thuộc mặt phẳng (P), ta dựng 2 đường thẳng vuông góc với nhau, cắt (P) lần lượt tại A và B. Gọi H là hình chiếu của,M trên (P), biết góc (MA,(P))=$15^{0}$ và góc (MB,(P))=$75^{0}$. Chứng minh A,H,B thẳng hàng.

cho tam giác ABC chứng minh : 

$\large 3(sin^{4}\frac{A}{2} + sin^{8}\frac{C}{2}) + 8(sin^{6}\frac{B}{2}+sin^{8}\frac{C}{2}) + 13sin^{8}\frac{C}{2} >= \frac{13}{32}$