để ý ta có hằng đẳng thức::

$xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)+2xyz=(x+y)(y+z)(x+z)$

áp dụng:

từ hệ ta được:

$\left\{\begin{matrix} xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)=48 & \\ (xyz)^2(x+y)(y+z)(x+z)=2160& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+y)(y+z)(z+x)-2xyz =48& \\ (xyz)^2(x+y)(y+z)(x+z)=2160& \end{matrix}\right.$

đến đây chắc OK! rồi

Dat 

$\left\{\begin{matrix} a=x-1 & \\ b=y-1 & \end{matrix}\right.$

Thay vao he ta co

$\left\{\begin{matrix} a+\sqrt{a^2+1}=3^b & \\ b+\sqrt{b^2+1}=3^a & \end{matrix}\right.$

Ve tru ve ta co

$a+\sqrt{a^2+1}+3^a=b+\sqrt{b^2+1}+3^b$

Dung ham so va suy ra duoc $a=b$

OK

từ $a=b$ suy ra $x=y$

Giải hệ phương trình : 

$$\left\{\begin{matrix} x+y+(z^{2}+4x)\sqrt{x+y-2004}=2000 & \\ \sqrt{xy+z+86}=90 & \end{matrix}\right.$$

Đk: $x+y\geq 2004\Rightarrow VT\geq 2004$

Vậy hệ này vô lí à!!!1

Giải hệ phương trình : 

$$\left\{\begin{matrix} x+y+(z^{2}+4x)\sqrt{x+y-2004}=2000 & \\ \sqrt{xy+z+86}=90 & \end{matrix}\right.$$

ĐỀ phải thế này mới làm được nhỉ??

$\left\{\begin{matrix} x+y+(z^{2}+4z)\sqrt{x+y-2004}=2000 & \\ \sqrt{xy+z+86}=90 & \end{matrix}\right.$    

Giải hệ phương trình sau :

$$\left\{\begin{matrix} xy + \frac{x}{y} = 9.6 &\\&xy + \frac{y}{x} = 7.5 \end{matrix}\right.$$

bài này có ở đây!

 

Cho hpt:

 

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{2012-y}=\sqrt{2012}  &  & \\ \sqrt{2012-x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}  &  &  \end{matrix}\right.$$

 

 

Cách khác: đây là hệ đối xứng loại 2 nên trừ vế với vế ta được:

$$\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{2012-y}-\sqrt{2012-x}=0
\Leftrightarrow \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{x-y}{\sqrt{2012-y}+\sqrt{2012-x}}=0\Rightarrow x=y$$

đến đây chỉ việc thế vào là OK!!!

P/s: Chế thêm bài này cho đẹp!!!!!

$$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{1006-\frac{y}{2}}=\sqrt{2012} & \\
 \sqrt{\frac{y}{2}}+\sqrt{1006-\frac{x}{2}}=\sqrt{2012}&
\end{matrix}\right.$$

đã fix

Giải các pt:

 

$2) \sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x-x^2+1}=x^2-x+2$

 

2.

ĐK:.......

pttt:$\frac{(x-1)(x+2)}{\sqrt{x^2+x-1}}=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x-x^2+1}}+x(x-1)\Rightarrow x=1$

vế còn lại vô nghiệm do ĐK của pt.

$(\frac{sin2x+cos4x}{sin3x+cos3x})^{2}= 2\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})+3$

pttd:

$\left (\frac{\sin 2x+\cos 4x}{\sin 3x+\cos 3x} \right )^2=2( \sin x+ \cos x)+3 \Leftrightarrow (\cos x-\sin x)^2=2(\sin x+\cos x)+3 \Leftrightarrow 1-2\sin x.\cos x=2(\sin x+\cos x)+3$

sau đó đặt $\sin x+\cos x =t$

đến đây là OK rồi!!!!

$(2\sqrt{2x-1}-4)x^2+(7-4\sqrt{2x-1})x+\sqrt{2x-1}-3=0$

$2\sqrt{2x-1}.x^2-4x^2-4\sqrt{2x-1}+7x+\sqrt{2x-1}-3=0 \Rightarrow x=2+\sqrt{2}$

giải pt:

$(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

giải pt:

$(3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3$

cách 2: bình phương 2 pt đã cho, và sẽ ra pt bậc 4......cụ thể như sau:

$ptdc\Rightarrow (6x+2)^2(2x^2-1)=(10x^2+3x-6)^2
\Leftrightarrow 28x^4+12x^3-83x^2-12x+40=0$

$\Leftrightarrow (7x^2-4x-8)(4x^2+4x-5)=0
\Leftrightarrow \begin{bmatrix}
x=\frac{2\pm 2\sqrt{15}}{7} & \\
 x=\frac{\sqrt{6}-1}{2}&
\end{bmatrix}$

*) trong 2 cách mình đã loại một nghiệm không thoả mãn ĐK bài toán đó là nghiệm: $x=\frac{-\sqrt{6}-1}{2}$

giải phương trình:

$(4x-1)\sqrt{3-2x}+(7-4x)\sqrt{2x-1}=2\sqrt{-4x^{2}+8x-3}+4$

pt có một duy nhất x=1, dùng lượng liên hợp, vế còn lại vô nghiệm vì đk của x.

Cộng thế nào mà ra được?

$\left\{\begin{matrix} 4x^3-x+3=y & \\ y^3-x^3=\frac{3}{2}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4x^3-x+3=y& \\ 2y^3-2x^3=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow 2(x+y)(x^2-xy+y^2)-(x+y)=0\Rightarrow x=-y$

Giải phương trình: $(4x^{3}-x+3)^{3}-x^{3}=\frac{3}{2}$

đặt: $4x^3-x+3=y$

ta được hệ: $$\left\{\begin{matrix} 4x^3-x+3=y & \\ y^3-x^3=\frac{3}{2}& \end{matrix}\right.$$

quy đồng phương trình thứ hai rồi cộng 2 pt ta được: $$x=-y\Rightarrow x=-\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$$

Giải pt $(6x+5)^{2}(3x+2)(x+1)=35$

pttd:$$(36x^2+60x+25)(3x^2+5x+2)=35 ~ (*)$$

đặt: $3x^2+5x+2=y$

$(*)$ trở thành: $(12y+1)y=35\Leftrightarrow 12y^2+y-35=0$

đến đây là OK rồi!!!

Giải pt $(6x+5)^{2}(3x+2)(x+1)=35$

Thêm một cách khác:

C2:

pttd: $12.(6x+5)^{2}(3x+2)(x+1)=35.12
\Leftrightarrow (6x+5)^2(6x+4)(6x+6)=35.12 ~(*)$

tiếp tục ta đặt: $6x+5=y;(*)\Rightarrow t^2(t-1)(t+1)=35.12
\Leftrightarrow t^4-t^2-420=0$

đến đây là OK rồi!!!

C3: nhân hết VT ra được pt bậc 4 rồi giải tiếp !!!!!

hình như đây là câu VMO năm bao nhiêu đó thì phải, nếu nhơ không nhầm là năm 2005 hay 2006 gì đó.

ta cần chứng minh: $\left ( a^2+b^2+c^2 \right )\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

và: $\left ( a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \right )\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

giã sử : $a\geq b\geq c>0$ ta có:

$(a^2+b^2+c^2)^2=\sum a^2.\sum a^2\geq 3\sum a^2$  (*)  $theo Bunhia$

và ta cũng có: $\sum \left ( a^2b^2 +1\right )\geq 2\sum ab$

nặt khác ta cũng luôn có: $ab\geq a\Rightarrow \sum ab\geq \sum a$

từ đây suy ra (*) đúng dẫn đến ĐPCM

bài có thể làm thê này: giã sử $a\geq b\geq c>\frac{2}{3}$

$\sum \left [\left ( ab \right )^2+1  \right ]\geq 2\sum ab$

bây giờ ta chỉ việc chứng minh:$\sum ab\geq \sum a$

theo giã sử ta có: $a\geq b\geq c>\frac{2}{3}$

nên từ đây ta có: $ab\geq a$ từ đây dẫn đến::$\sum ab\geq \sum a$

$"=" \Leftrightarrow a=b=c=1$

Giải PT:

$(x+3)\sqrt{-x^{2}-8x+48}=x-24$

 

đăt: $$\left\{\begin{matrix} x+3=a & \\ \sqrt{-x^2-8x+48}=b& \end{matrix}\right.$$

từ đây ta được hệ pt: $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2=-2x+57 & \\ 2ab=2x-48& \end{matrix}\right. \Rightarrow (a-b)^2=9\Rightarrow \begin{bmatrix} a-b=3 & \\ a+b=3& \end{bmatrix}$

đến đây chắc được rồi.

nghiệm: $\begin{bmatrix} x=-2-2\sqrt{7} & \\ x=-5-\sqrt{31} & \end{bmatrix}$

P/s: khi gặp những bài này, chúng ta nên đặt và để ý rằng VT,VP chắc chắn sẽ có đặc điểm chung.

Đoạn bôi đỏ  có vấn đề rồi
Bạn phân tích rõ luôn 2ab =2x-48 dc k?

bạn làm thế này nhé: $a^2+b^2=x^2+6x+9-x^2-8x+48=-2x+57$

và: $ab=x-24\Rightarrow 2ab=x-48 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=-2x+57 & \\ 2ab=2x-48 & \end{matrix}\right.\Rightarrow (a+b)^2=9$

OK rồi nhé!

$(x+3)\sqrt{-x^2-8x+48}=x-24$

một cách khác:

Giải hpt 

$$\left\{\begin{matrix} (x+y+z)^{3}=12t\\(y+z+t)^{3}=12x \\ (z+t+x)^{3}=12y \\ (t+x+y)^{3}=12z\end{matrix}\right.$$

từ 2 pt đầu ta được:

$\left ( x+y+z \right )^3-(y+z+t)^3+12(x-t)=0 \Leftrightarrow x=t$

tương tự với 3 pt trình còn lại ta dễ dàng suy ra được: $x=y=z=t$

thế vào 1 trong 4 phương trình của hệ ta được 3 nghiệm:

$(x;y;z;t)=(0;0;0;0);(\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3});(\frac{-2}{3};\frac{-2}{3};\frac{-2}{3};\frac{-2}{3})$

Trước khi nếu bài,em xin nếu câu hỏi em băn khoăn sau khi xem xong bài này:

1,Khi giải bài toán BĐT,giải dấu "=" xảy ra khi x=a,y=b,.... mà a,b,... không thỏa mãn điều kiện đã đặt thì có kết luận đc dấu "=" không xảy ra không?
2,Nếu nói là ko thì bài toán sau phải làm ntn ạ?

** Bài toán: Cho a,b,c,d không âm thỏa mãn :

$(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)>0$.

CMR: A=$\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}}\geq 2.$

Lời giải:

Có :$\sqrt{a(b+c+d)}\leq \frac{a+b+c+d}{2}$$\Rightarrow \frac{2\sqrt{a(b+c+d)}}{a+b+c+d}\leq 1$

Nhân 2 vế với $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}$ có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq \frac{2a}{a+b+c+d}$

Tương tự với b,c,d.Cuối cùng cộng lại ta được $A\geq \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}=2.$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=0( chỗ này mọi người tự giải) =>Không thỏa mãn.

Vậy bđt không xảy ra dấu "=".
Nhưng dấu "=" xảy ra khi trong 4 số a,b,c,d có 2 số bằng 0 và 2 số còn lại bằng nhau nhưng dương.

$"="\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b+c+d & \\ b=a+c+d& \\ c=a+b+d& \\ d=a+b+c& \end{matrix}\right. \Rightarrow (a;b;c;d)=(x;x;0;0)$ và các hoán vị của chúng.

Từ lúc đánh giá cách làm của bạn đã sai rồi

Bây giờ có phải mục tiêu của bạn xuất hiện dấu bằng là các ẩn như nhau

Vậy ta cứ cho là dấu bằng của bạn xảy ra thi như vầy

$\Leftrightarrow 4\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{3a}}\geq \frac{1}{2}\rightarrow \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}\geq 2$

Vậy dấu bằng không bao giờ xảy ra, tức bài này không có giá trị nhỏ nhất đâu

bài này nhân giá trị nhỏ nhất =2, sao lại không có.