Bài 43:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ có $AB < AC$ . Tiếp tuyến tại $A$ cắt $CB$ tại $T$. kẻ đường kính $AD, DB$ cắt $OT$ tại $E$. $CMR: AE // CD$ 

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

Em chém bừa vậy   

$D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + y^{2} $

xét $x < 1 \rightarrow y > 0 $

do đó: $ y \geq 1- x \rightarrow y^{2} \geq (1-x)^{2}$ 

$\rightarrow  D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + (1-x)^{2} $

.....

$ => min D = 1,5$

xét $x >= 1$ thì ta có: $y^{2} \geq 0$ . do đó:

 $D \geq  \rightarrow \frac{8x^{2} + 1 - x}{4x} $

cm đc lúc này $min D = 2$ đạt tại $ x = 1$

suy ra $min$ $D = 1,5$

Chỗ nhân có vấn đề hay sao ấy?Đây nhé:
$(y-x)\geq 1-2x\Rightarrow (y-x)(y+x)\geq (1-2x)(y+x);(y+x)\geq 1\Rightarrow (1-2x)(y+x)\geq 1-2x(????????)$  Biết 1-2x âm dương ra sao?

ukm, t quên. phải xét $x < 1$ và $x >= 1$. sửa rùi đó. xem thử đc hok 

$P = \sum \frac{a^2}{a+2b^3} = \sum a - \sum \frac{2ab^3}{a+2b^3} = 3 - \sum \frac{2ab^3}{a+2b^3} $

ta có: $ \sum \frac{2ab^3}{a+b^3 + b^3} \geq \sum \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = \sum \frac{2ab^3}{3\sqrt[3]{ab^6}} = \frac{2}{3}\sum b\sqrt[3]{a^2}$ 

Lại có:$a +  ac + ac \geq a\sqrt[3]{c^2}$

           $b + ba + ba \geq b\sqrt[3]{a^2}$

           $c + bc + bc \geq c\sqrt[3]{b^2}$

cộng theo vế ta có:

$(a+b+c) + 2(ab+bc+ca) \geq 3\sum b\sqrt[3]{a^2}$

suy ra: $3\sum b\sqrt[3]{a^2} \leq 3+2.3 = 9 $

do đó: $ \sum b\sqrt [3]{a^2} \leq 3$

từ đó $P \geq 3 - \frac{2.3}{3} = 1$

 bác bỏ 6040 làm cảnh à 

tks bác!! để em sửa. 

Ta có:

$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+2xy=2014^3-6042xy+2xy=2014^3-6040xy$

Ta lại có:

$(x+y)^2\geq 4xy\Rightarrow xy\leq \frac{2014^2}{4}$

Do $x,y$ là các số tự nhiên nên $xy\geq 1$

Vậy ta có:

$1\le xy \le \frac{2014^2}{4}\\\Rightarrow -6040\geq -6040xy\geq -1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\geq 2014^3-6040xy\geq 2014^3-1510.2014^2\\\Rightarrow 2014^3-6040\ge M \ge 2014^3-1510.2014^2$

Bận bịu quá!Làm gấp nên khg chắc!Bạn tự tìm dấu bằng nhé!

sai rồi bạn!! $x + y = 2014$ mà

ta có:

biến đổi:

$ M = x^{3} + y^{3} + 2xy = (x+y)^{3} -3xy(x+y) + 2xy = 2014^{3} -6040xy$

Tìm min:

để M $min$ thì $xy$ phải $max$. ta có $xy \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

do đó min $M = 2014^{3} - \frac{6040.2014^{2}}{4}$

Tìm $max$:

M đạt max thì $xy$ phải $min$

giả sử xy đạt min . ta sẽ chứng  2 số $x,y$ không  đồng thời lớn hơn 1

thật vậy, giả sử $ y \geq x \geq 2$

ta chọn 2 số $x - 1$ và $y+1$  (vì nó có tổng bằng 2014) 

ta có  $(x-1)(y+1) > 0$ và $xy - (x-1)(y+1) = y-x + 1 > 0$

tức là ta tìm đc tích mới nhỏ hơn tích xy , trái với $xy$ min. 

vậy phải có 1 số = 1 và số còn lại bằng 2013

khi đó min $xy$ = 2013

và max $M = 2014^{3}- 6040*2013 $

4)cho a,b,c là các số thực dương thoả $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$ tìm giá trị nhỏ nhất của 

$P=a+b+c+48\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\end{pmatrix}$

$P=a+b+c+48\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\end{pmatrix}$

áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$a + 10 + \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}} + \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}} \geq  36$

$b + c + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} + \frac{16}{\sqrt[3]{b+c}} \geq  32 $

cộng theo vế ta có: $P + 10 \geq 68$ suy ra: $P \geq 58$

dấu "=" xảy ra khi $a = 2 ;  b = 3 ; c = 5$ và khi đó  $a^2+b^2+c^2=5(a+b+c)-2ab$

ta có: $a +b \geq 2$ và $a^{2} + b^{2} \geq 2$

$ A = (a^{2}+b^{2})(a+b)+\frac{8}{a+b} + a^{2}+b^{2}-\frac{4}{a+b} $

$(a^{2}+b^{2})(a+b)+\frac{8}{a+b}\geq 2\sqrt{8(a^{2}+b^{2})} \geq  8$

$a^{2}+b^{2}\geq 2ab = 2$

$\frac{-4}{a+b}\geq -2$

$\rightarrow A >= 8 + 2 - 2 = 8$

Giải hệ phương trình:

 

1/

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2(y^{4}-x^{4}) & \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=(x^{2}+3y^{2})(3x^{2}+y^{2}) & \end{matrix}\right.$

 

 

2/

$\left\{\begin{matrix} x^{4}-y^{4}=240 & \\ x^{3}-2y^{3}=3(x^{2}-4y^{2})-4(x-8y) & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow (x-2)^4 = (y-4)^4$
Tới đây là ok rồi!! 

theo mình x,y,z dương

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq  \frac{9}{x+y+z} = \frac{3}{2}$

suy ra: $xy+yz+zx \geq \frac{3xyz}{2}$

       $\Rightarrow \frac{4(xy+yz+zx))}{3} \geq 2xyz$

do đó: $xy+yz+zx -2xyz \geq xy+yz+zx -  \frac{4(xy+yz+zx))}{3} =  \frac{-(xy+yz+zx)}{3} \geq \frac{-(x+y+z)^2}{9} = -4 $

đặt $x = \sqrt[3]{2}$ suy ra $x^3 = 2$

ta có:

$\frac{3-3\sqrt[3]{4}}{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$

2.$\frac{1}{1-x^{2}}+1> \frac{3x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

điều kiện: $ -1 < x < 1$

3.$\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0$

Điều kiện: $ \frac{-1}{3} \leq x \leq 6$

suy nghĩ đi các bạn.!!! đợi đáp án làm gì!!

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geqslant \frac{9abc}{a+b+c}+\left ( c-a \right )^{2}$

xét $g(x) = x^5$

bạn tìm đa thức $f(x) = ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + fx + g $sao cho: $g(x) = f(x) - f(x-1)$ (bạn khai triển ra rồi tìm các hệ số a,b,c,d,e,f,g bằng cách đồng nhất hệ số)

khi đó công thức cần tìm có dạng $S = g(1) + g(2) + ... + g(x) = f(1) - f(0) +f(2) - f(1) + f(3) - f(2) + ... + f(x) - f(x-1) = f(x) - f(0) $

Bạn ơi mình cũng thử qua cách này rồi! Nhưng không được, hệ này thầy mình bảo ra nghiệm vô tỉ. Mình đã thử rất nhiều cách và cũng rất lâu nhưng không tìm ra. ( thầy lấy trong đề thi HSG của mấy tỉnh miền Bắc gì đó. Thầy bảo khi nào tụi mình có hướng đi thì thầy mới sửa )

hì, mình  tưởng nghiệm đẹp nên ko giải nữa   , giờ giải lại thì thấy nghiệm vô tỉ   .giờ t cũng đang nghĩ đây  . khi nào thầy sửa thì nhắn cho t nhé!! t cũng muốn biết thầy giải như thế nào!! 

Đặt $  a = x- y   (a < 2)  và b = xy $

Biến đổi phương trình thành:

Vì $y = 0$ ko là nghiệm của hệ nên chia 2 phương trình của hệ cho $y$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2+1}{y} + x +y = 4\\ \frac{x^2+1}{y}.(x+y-2)=1 \end{matrix}\right.$

tới đây đặt $a = \frac{x^2+1}{y} $ và $b = x+y-2$

hệ trở thành:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^2+1}{y} = 1\\ x+y-2 = 1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1 = y\\ x  = 3 - y\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 3 - y\\  (3-y)^2 + 1 = y\end{matrix}\right.$

 

 Giải hpt:

1. $\left\{\begin{matrix} (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})(x+y)=15\\(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})(x^{2}+y^{2})=85 \end{matrix}\right.$

 

2. $\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2\\ y-y^{2}x-2y^{2}=-2 \end{matrix}\right.$

 

3. $\left\{\begin{matrix} x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=3\\ 6\frac{(x+y)^{2}}{xy}+x^{2}+y^{2}-5(x+y)=\frac{2x^{2}}{y}+\frac{3y^{2}}{x}+6 \end{matrix}\right.$

 

Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề và gõ latex

đặt $a = \frac{1}{y} $  

tới đây bạn trừ 2 pt cho nhau ta đc:
$(a-x)(2a+2x+2) = 0$ 

tới đây thế lại vào hệ là OK!!! 

  $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$   $(1)$  

Nếu 3 số x , y, z có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì x -y ,y - z , z -x cùng ko chia hết cho 3

Mà x + y + z chia hết cho 3 . từ (1) suy ra vô lí.

+ Nếu trong 3 sô x,y,z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư thì 1 trong 3 hiệu x -y ,y - z , z -x có 1 hiệu chia hết cho 3

mà x + y + z ko chia hết cho 3 nên từ (1) suy ra vô lí.

vậy x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3. do dó  (x -y) (y - z) ( z -x ) chia hết cho 27

đặt a = x -y.  b = y-z .  c = z-x thì a+b+c = 0 và abc chia hết cho 27

suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ chia hết cho 3.27 = 81

P/S: bị chậm mất rồi

$\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)} \geq  \frac{\frac{(x+y)^2}{2}-1}{\frac{(2-x-y)^2}{4}} = \frac{2[(x+y)^2-1]}{(2-x-y)^2}$

xét hàm $f(t) = \frac{t^2-1}{(2-t)^2}$ với $ t \geq 0$

chứng minh được $f(t) \geq f(\frac{1}{2}) $