câu 1 dồn biến toàn miền là ra

Bổ đề 1: Nếu $ax+b=0$  với x là số vô tỷ thì a=b=0

Bổ đề 2 :Xét pt $x^{3}=x+1$ có nghiện thì nghiệm đó là nghiêm vô tỷ

Bổ đề 3 Nếu $m\alpha ^{2}+n\alpha +k =0$ với m,n,k là  số hữu tỉ thì $m=n=k=0$

 Sử dụng ba bổ đề trên ta dễ dàng giải quyết bài toán  và tìm được duy nhất bộ (0,0, $x , x^{2}$ )

Mình mà có lời giải thì tốt rồi :v      

Cho $a,b,c$ lớn hơn 0 thỏa mãn $a^{3}+b^{3}=2$ .Tìm max của $3(a^{4}+b^{4})+2a^{4}b^{4}$

Giải hệ phương trình :

 $\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0\\ x+y+z=12 \\ 2x+5y+10z=xyz \end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC.Các điểm $X,Y,Z$ khác A,B,C và theo thứ tự thuộc các cạnh BC,CA,AB.Chứng minh : $P(XYZ)\geq min \begin{Bmatrix} P(AYZ);P(BZX);P(CXY) \end{Bmatrix}$

Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 

 $\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{1-x}\geq \sqrt{1+x}\\ 2x^{3}-2mx^{2}+x-(m+1)^{2}=0 \end{matrix}\right.$

Bài toán này sử dụng định lý con nhím là oke :v

$M=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-2015\sqrt{xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})-2015\sqrt{xy}=x+y-2016\sqrt{xy} =(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}-2018\sqrt{xy}\geq 1-2018/4.(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}=1-2018/4$  (theo bĐT cô-si) Dấu bằng xảy khi x=y

 Lại có $M=1-2018\sqrt{xy}\leq 1$  dấu bằng xảy ra khi x=0,y=1 và hoán vị

Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn:

 $x^{5}-x+1=y^{2}$

Tìm tất cả các bộ số nguyên $(a,b,c)$ sao cho $a^{2}+4b,b^{2}+4c,c^{2}+4a$ đều là số chính phương

Họ tên: Trần Hữu Hiếu

Nick trong diễn đàn: huuhieuht

Năm sinh: 2000

Hòm thư: [email protected]

Dự thi cấp:THCS,THPT

b,Bổ đề: nếu AB+AC=2BC thì IO là đường trung trực của AM (đây là bài toán quen thuộc ,có nhiều trong sách vở) 

 Gọi K là giao điểm của IO với BC. Dễ thấy $\widehat{KIB}=90^{\circ}-\widehat{BIM}=90-\frac{180-\widehat{BMI}}{2}=\frac{\widehat{BCA}}{2}=\widehat{ICB}$ $\Rightarrow KI^{2}=KB.KC$ Gọi T là giao điểm của KA với đường tròn O thì $KT.KA=KC.KB=KI^{2}$ kết hợp với $\widehat{AIK}=90^{\circ}$ suy ra

$\widehat{ATI}=90^{\circ}$  $\Rightarrow T\equiv E \Rightarrow K\equiv F$ . Gọi S là trung điểm AP  thì IS là đường trung bình của tam giác AMP suy ra F,I,O,S thằng hàng. Gọi L là trung điểm AF thì $\widehat{AIL}=\widehat{IAL}=\widehat{IDM}=\widehat{IQM}=\widehat{MIP}$ suy ra L,I,P thẳng hàng .Do đó I là trọng tâm của tam giác AFP.

  p/s: câu a có thể giải bằng kiến thức THCS nhưng hơi dài

Cho các số không âm a,b,c và $a+b+c=2$ Tìm min:

 $\frac{a}{b^2+c^2+3}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+3}+\frac{c}{a^2+b^2+3}$

Bài này là đề thi IMO 2008 ,lời giải có tại đây: http://www.artofprob...d_number_theory

lớp 4 chứ bạn(ra trong olimpic)

Cho x,y thuộc [0;1] .Tìm GTNN,GTLN của : $(x-y)(y-z)(z-x)$

Cho $a,c,b>0$ CMR: $\left ( 1+a+b+c \right )\left ( 1+ab+bc+ca \right )\geq 4\sqrt{2(a+bc)(b+ca)(c+ab)}$

H là trực tâm hả bạn

có đa thức trebusep ko anh

Lời giải vắn tắt: sử dụng Đẳng thức: $a^{2}+a=a^{2}+a\left (a+b+c \right )=(a+b)(a+c)$ thay vào dùng cô si là ok:))

Đặt $x=\frac{a}{b};y= \frac{b}{c};z= \frac{c}{a}$  ; 

$P$ trở thành : $\sqrt{\frac{b}{a+b}}+\sqrt{\frac{c}{b+c}}+\sqrt{\frac{a}{c+a}}$ 

Áp dụng bđt AM-GM ta có :

  $\sum \sqrt{\frac{b}{a+b}}=\sum \sqrt{\frac{(a+c)}{a+b+c}.\frac{b(a+b+c)}{(a+c)(a+b)}}= \sum \sqrt{\frac{8}{9}.\frac{9(a+c)}{8(a+c+b)}.\frac{b(a+b+c)}{(a+c)(a+b)}}\leq \frac{\sqrt{2}}{3}.( \frac{9}{4}.(\frac{a+b+c}{a+b+c})+\frac{2(ab+bc+ca)(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)})\leq \frac{\sqrt{2}}{3}.(\frac{9}{4}+\frac{9}{4})=\frac{3}{\sqrt{2}}$

 Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$

Bài 15 : Một bạn cờ quốc tế $8\times 8$  . Hỏi rằng quân mã có thể đi nước đầu tiên từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải không ? Với điều kiện nó phải đi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ đi qua đúng một lầ

Sau mỗi lần đi ,mạ sẽ di chuyển sang ô khác màu với ô trước> Từ ô bạn nói  sau 63 lần(số lẻ) nên mạ sẽ đến ô khác màu với ô đầu tiên ,mặt khác 2 ô bạ nói cùng màu .Suy ra vô lý 

Cho P là số nguyên tố,a là số nguyên dương sao cho $2^{p}+5^{p}=a^{n}$ .CMR $n=1$