Cho (O) cố định. Điểm A cố định nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến ADE bất kì . CMR biểu
thức $\frac{FE-FD}{DE}$ có giá trị không đổi khi cát tuyến ADE thay đổi không đi qua O
Có 76 mục bởi duythanbg (Tìm giới hạn từ 07-06-2020)
Đã gửi bởi duythanbg on 01-07-2014 - 21:23 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
$(x-2)\sqrt{x+1}+(x+2)\sqrt{x-1}=\frac{4\sqrt{5}}{25}x\sqrt{x}$
- Duy Thân -
Đã gửi bởi duythanbg on 01-07-2014 - 21:30 trong Bất đẳng thức và cực trị
$VT=(\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}+a)-(a+b+c)=\sum\frac{a^2+ab+ac+b}{b+c}-1=\sum \frac{a(a+b+c)+b}{b+c}-1=\sum \frac{a+b}{b+c}-1\geq 3-1=2$
Đã gửi bởi duythanbg on 01-07-2014 - 21:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
tạm thời nhé :
$\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^2+6}}=\frac{1}{\sqrt{(a^3+1+1)+2b^2+4}}\leq \frac{1}{\sqrt{3a^2+2b^2+4}}$
Đã gửi bởi duythanbg on 01-07-2014 - 21:55 trong Các dạng toán khác
Đã gửi bởi duythanbg on 01-07-2014 - 22:51 trong Số học
3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
a) $4x^{2} + 25y^{2} + 144z^{2} = 2007$
b) $x^{6} + 3x^{3} + 1 = y^{4}$
a, chặn z là được thôi mà.
b,
$\Leftrightarrow 4x^6+12x^3+4=(2y)^2\Leftrightarrow (2x^3+3)^2-5=(2y)^2$
rồi chuyển về phương trình ước số.
Đã gửi bởi duythanbg on 01-07-2014 - 22:56 trong Số học
1. Tìm nghiệm nguyên của bất phương trình :
$x^{2} + y^{2} + z^{2} < xy + 3y + 2z - 3$
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình :
$3(x^{2} + xy + y^{2}) = x +8y$
1.
$xy+3y+2z-3>x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx \Rightarrow 3y+2z-3>yz \Leftrightarrow yz-3y-2z+3<0\Leftrightarrow (y-2)(z-3)<3$
2,$3x^2+3xy+3y^2=x+8y\Leftrightarrow 3x^2+x(3y-1)+3y^2-8y$ = 0 (1)
để PT (1) có nghiệm nguyên thì $\Delta (x)$ phải là số chính phương ...
Đã gửi bởi duythanbg on 02-07-2014 - 21:38 trong Số học
Xét dãy số :
$a,2a,3a,4a,.., (p-1)a$
TH1 :
Nếu tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho p là m.a và n.a ( m < n , m và n là các hằng số )
thì m.a - n.a = ( m - n ) a $\vdots$ p .
dễ nhận thấy 0 < m - n < p nên a $\vdots$ p suy ra (a,p) = p $\neq$ 1 suy ra Vô lý ( Loại )
TH2 :
Khi lấy các số trong dãy trên chia cho p không có số nào có cùng số dư khi chia cho p .
Suy ra các số dư lần lượt là 1,2,3,4,... p-1 vì a không chia hết cho p .
Hay $a.2a.3a...(p-1)a\equiv 1.2.3.4...(p-1)(modp)$
Hay $a^{p-1}.(p-1)!\equiv (p-1)!(modp)$
Hay $a^{p-1}\equiv 1(modp)$ ( ĐPCM )
(Định lý Fermat nhỏ là 1 định lý có nhiều ứng dụng trong số học)
Đã gửi bởi duythanbg on 02-07-2014 - 21:40 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đố các bác bài này nhé :
$(x-2)\sqrt{x+1}+(x+2)\sqrt{x-1}=\frac{4\sqrt{5}}{25}x\sqrt{x}$
Đã gửi bởi duythanbg on 02-07-2014 - 21:42 trong Kinh nghiệm học toán
Chủ yếu vào
http://mathworld.wolfram.com/ thôi .bạn ạ .
Đã gửi bởi duythanbg on 02-07-2014 - 21:44 trong Kinh nghiệm học toán
Khi vào trang bạn điền vào chỗ Search Site bằng tiếng Anh các thuật ngữ toán học như :
Theorem , Formula , Lemma , Inequality, Equation, Geometry, Algebra, .........
Mình chỉ biết thế thôi.
Đã gửi bởi duythanbg on 03-07-2014 - 21:04 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 1 :
$P=(\frac{a+3\sqrt{a}+2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}-\frac{a+\sqrt{a}}{a-1}) : (\frac{1}{\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{a}-1})$
a) Rút gọn P
b) Tìm a nguyên để $P+\frac{1}{4}$ là số nguyên
Câu 2 :
a ) Giải phương trình :
$2\sqrt{x-1}+3\sqrt{x-2}=\sqrt{x^2-3x+2}+6$
b) Giải HPT :
$\left\{\begin{matrix} \frac{3x}{y}-2=\sqrt{3x-2y}+6y\\ 2\sqrt{3x+\sqrt{3x-2y}}=6(x+y)-4 \end{matrix}\right.$
Câu 3:
Cho a,b,c nguyên dương và thỏa mãn :
$a^4\vdots b$ , $b^4\vdots c$ và $c^4\vdots a$ . CMR $(a+b+c)^{21}\vdots abc$
Câu 4: Cho $\Delta ABC$ vuông tại A ( AB < AC ) .
$(O_{1})$ đường kính AB.
$(O_{2})$ đường kính AC.
Hai đường tròn trên cắt nhau tại D. M là điểm chính giữa cung nhỏ CD của $(O_{2})$.
AM cắt $(O_{1})$ tại N và cắt BC tại E.
a) CMR : $ME.BN=MC.AN$
b) Tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp
c) K là trung điểm MN. CMR : $\widehat{O_{1}KO_{2}}=90^{o}$
Câu 5 :
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c = 3.
CMR :
$\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+3}}\geq \frac{3}{2}^{}$
( Duy Thân - THCS Song Mai)
P/s : Bài Số học khó nhất.
Đã gửi bởi duythanbg on 03-07-2014 - 21:28 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 5 : Sử dụng BĐT Cauchy và BĐT Schwarz :
$VT=\sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{b+3}}= \sum_{cyc}\frac{2a^2}{2\sqrt{b+3}}\geq \sum_{cyc}\frac{4a^2}{b+7}\geq \frac{(2a+2b+2c)^2}{a+b+c+21}=\frac{3}{2}$
Đã gửi bởi duythanbg on 03-07-2014 - 21:37 trong Tài liệu - Đề thi
a) $\Delta CME$ đồng dạng $\Delta BNA$
b) $\widehat{C_{1}}=\widehat{D_{1}}=\widehat{M_{1}}=\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}=\widehat{D_{2}}=\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}$
Suy ra $\widehat{MO_{2}D}=2\widehat{A_{2}}=\widehat{N_{1}}$
Suy ra tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp.
c) $O_{1},N,O_{2}$ nằm trên đường trung trực của AD nên chúng thẳng hàng.
dễ chứng minh $\widehat{MDN}=90^{o}$ nên tứ giác $DMO_{2}N$ nội tiếp đường tròn tâm K
Suy ra $\widehat{O_{2}KA}=2\widehat{M_{1}}=2\widehat{B_{1}}=\widehat{O_{2}O_{1}A}$
Suy ra tứ giác $AO_{2}KO_{1}$ nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{O_{1}KO_{2}}=90^{o}$
Đã gửi bởi duythanbg on 03-07-2014 - 21:59 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 3:
Bỏ qua trường hợp 1 trong 3 số a,b,c có 1 số bằng 3,
Thế thì
$(a,b)\neq 1,(b,c)\neq 1,(c,a)\neq 1$
Suy ra : $(a,b,c)\neq 1$
Đặt $(a,b,c)=k$
Suy ra
$a=kx$
$b=ky$
$c=kz$
( Với x,y,z đôi một nguyên tố cùng nhau vì (a,b,c) = k )
Vì $a^4\vdots b$ nên $k^4x^4\vdots ky$
Hay $k^3x^4\vdots y$ mà (x,y) = 1 nên : $k^3\vdots y$
CMTT : $k^3\vdots x$ và $k^3\vdots z$
Suy ra $k^9\vdots xyz$
Ta có : $(a+b+c)^{21}=k^{21}.(x+y+z)^{21}\vdots k^{21}\vdots k^{9}.k^{3}\vdots xyz.k^3=abc$
Đã gửi bởi duythanbg on 03-07-2014 - 22:10 trong Tài liệu - Đề thi
Câu 2 :
b) Phương trình 1 có dạng :
$3x-2y=y\sqrt{3x-2y}+6y^2\Leftrightarrow (2y+\sqrt{3x-2y})(3y-\sqrt{3x-2y})=0$
Giải xong rồi thế vào phương trình 2
p/s : Bài HPT này dài .......
Đã gửi bởi duythanbg on 05-07-2014 - 17:32 trong Số học
Giả sử $n^2+d=a^2$
Vì d là ước dương của $2n^2$ nên $2n^2=dk$ ( $k\in \mathbb{N}$ )
Suy ra $n^2+d=n^2+\frac{2n^2}{k}$ $=a^2$
$\Leftrightarrow n^2k^2+2n^2k=a^2k^2$
Suy ra :
$k^2+2k=(\frac{ak}{n})^2$ là số chính phương.
Suy ra Vô lý vì $k^2 < k^2+2k<(k+1)^2$
Đã gửi bởi duythanbg on 13-07-2014 - 12:18 trong Tài liệu - Đề thi
minh ko hieu cho nay. (a,b,c) =k lam sao co duoc x,y,z doi mot nguyen to cung nhau? ví dụ đơn giản là (4;8;10) =2 ; 4=2.2; 8=2.4 ; 10 =2.5. nhưng 2 và 4 ko thể nguyên tố cùng nhau. ..... mọi người cho ý kiến với nhé!
ờ đúng rồi đó . mình nhầm rồi .
gỡ bài vậy.
Đã gửi bởi duythanbg on 13-07-2014 - 17:04 trong Tài liệu - Đề thi
Đã gửi bởi duythanbg on 11-01-2015 - 20:39 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Câu 4b
Goi (ABC) là (O) tâm O
Gọi giao điểm của TM,TN với (O) là L,G
Ta sẽ chứng minh phân giác MTN đi qua điểm chính giữa cung BC không chứa A. Tương đương với chứng minh LG // BC hay $\widehat{BTM}=\widehat{NTC}$ (5)
Dễ thấy PQ là trục đẳng phương của (I),(HBC),(K) . (*)
Gọi J là giao điểm của EF với BC .
Ta có EFBC nội tiếp nên JE.JF=JB.JC do đó J nằm trên trục đẳng phương của (HBC) hay (O) và (I)
Do đó J,P,Q thẳng hàng .
Ta có : T nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K) nên O,K,T thẳng hàng . (1)
Từ (*) suy ra : JE.JF = JP.JQ = JM.JN = JB.JC
Do đó J nằm trên trục đẳng phương của (O) và (K) . (2)
Từ (1) và (2) suy ra JT tiếp xúc (O) , (K).
Dễ thấy : $\widehat{JTC}=\widehat{TBC}$ (3)
$ JT^2=JB.JC=P_{J/(O)} $
Do đó : $\widehat{JTN}=\widehat{JMT}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra ĐPCM (Theo (5))
Đã gửi bởi duythanbg on 01-02-2015 - 21:42 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho a,b,c là các số thực dương . CMR :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
Đã gửi bởi duythanbg on 01-02-2015 - 21:54 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Câu 1 đề sai rồi . Nếu cho a = 1000 , b,c > 0 thì vô lý ngay.
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học