1. Tìm nghiệm nguyên dương: $2^{x}.3^{y}=1+5^{z}$

2.Tìm nghiệm nguyên không âm: $x^{2}= y^{2}+\sqrt{y+1}$

3. Tìm nghiệm nguyên: $x^{3}-x^{2}-2xy=y^{3}+y^{2}+100$

Mình có một bài này rất hay nè, mà mình nghĩ mãi không ra :

Rút gọn: P = $\frac{x^{3}+3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}-4}{x^{3}-3x^{2}+(x^{2}-4)\sqrt{x^{2}-1}+4}$.

Bạn nào học gỏi giúp mình với nhé!!!!!

bạn ơi mình giải với x$\geq 1$ nhé

$Có: x^3+3x^2-4=x^3-x^2+4x^2-4=x^2(x-1)+4(x^2-1)=(x-1)(x^2+4x+4)=(x-1)(x+2)^2)$

$x^3-3x^2+4=(x+1)(x-2)^2$

P=$\frac{(x-1)(x+2)^2+(x-2)(x+2)\sqrt{(x-1)(x+1)}}{(x+1)(x-2)^2+(x-2)(x+2)\sqrt{(x-1)(x+1)}}$

  =$\frac{(x+2)\sqrt{x-1}[(x+2)\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}(x-2)]}{(x-2)\sqrt{x+1}[\sqrt{x+1}(x-2)+(x+2)\sqrt{x-1}]}$

  =$\frac{(x+2)\sqrt{x-1}}{(x-2)\sqrt{x+1}}$

ĐK của bài này là $x^{2}\geq 1\Leftrightarrow x\geq 1 hoac x\leq -1$. Nếu $x\leq -1 \Rightarrow x-1< 0\Rightarrow \sqrt{x-1}$ vô nghĩa nhé!!vì vậy ta phải xét 2 TH

Lang thang thấy mấy bài này hại não quá!!

a) $x^{2}+x-16\sqrt{2x}+20=0$

b)$\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5$

c)$\sqrt{12-\sqrt{\frac{12}{x^{2}}}}-x^{2}+\sqrt{x^{2}-\frac{12}{x^{2}}}=0$

Bạn nào làm nốt phần a và c đi!!!

ĐK: $x \leqslant 97$.
 
Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt[4]{97-x}=a\\ \sqrt[4]{x}=b \end{matrix}\right.\left ( a,b\geq 0 \right )$
 
Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} a+b=5\\ a^4+b^4=97 \end{matrix}\right.$
 
Giải hệ trên ta được nghiệm $\left( {2;3} \right)$ và $\left( {3;2} \right)$.
 
Thế lại được $x=16$ và $x=81$

Lang thang thấy mấy bài này hại não quá!!

a) $x^{2}+x-16\sqrt{2x}+20=0$

b)$\sqrt[4]{97-x}+\sqrt[4]{x}=5$

c)$\sqrt{12-\sqrt{\frac{12}{x^{2}}}}-x^{2}+\sqrt{x^{2}-\frac{12}{x^{2}}}=0$

Bước 1: Nhập giá trị ban đầu.
2 -> X
1 -> A
2 -> B
3 -> Y
Bước 2: Đặt thuật toán cho máy tính:

X=X+1: A=2B+3A: Y=Y+A: X=X+1: B=3A+2B: Y=Y+B
Bước 3: Ấn CALC rồi ấn phím = liên tục
Kết quả:
u(10)=28595; s(10)=40149
u(15)=8725987; s(15)=13088980
u(21)=9884879423

em chỉ cần giải thích thuật toán thôi, A,B,X,Y là gì và thuật toán mang nghĩa thế nào

bài này chẳng qua là chia đôi một dãy thành 2 dãy thôi.
quy trình chung 2 câu: (570-ES)
2 -> X
1 -> A
2 -> B
3 -> Y
X=X+1: A=2B+3A: Y=Y+A: X=X+1: B=3A+2B: Y=Y+B
Ấn CALC rồi ấn phím = liên tục
Kết quả:
u(10)=28595; s(10)=40149
u(15)=8725987; s(15)=13088980
u(21)=9884879423

Em k hiểu ạ! anh có thể giải thích từng bước một giúp e đc k ạ

Câu 5:

Đặt $x=u+v+uv\Rightarrow x+1=u+v++uv+1=(u+1)(v+1)$

Suy ra:cộng mỗi dãy số trên với 1 thì sau mỗi lần thực hiện xóa đi hai số u+1 và v+1 thì ta viết lên dãy (u+1)(v+1)

Nếu lúc đầu dãy số có u,v,a,b,c... thì sau đó có dãy số x,a,b,c...(xóa u,v và thay bằng x)

Vì (u+1)(v+1)(a+1)(b+1)(c+1)...=(x+1)(a+1)(b+1)(c+1)....

Lúc này tích các số trên dãy số sau mỗi lần thực hiện xóa và thay số là không đổi . Tức là giá trị của số cuối cùng đó không phụ thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy . Vậy, nếu cuối cùng còn số k thì$k+1=\left ( \frac{1}{1}+1 \right )\left ( \frac{1}{2}+1 \right )...\left ( \frac{1}{2015}+1 \right )=2016\Rightarrow k=2015$ 

Suy ra k = 2015. Vậy số cuối cùng đó là 2015

 

 

 

Khó hiểu quá. bạn giải thích rõ và sâu hơn đc k???

Bác nào cho e xin lời giải vắn tắt bài hệ với bài tìm hai cs tận cùng với!!

4-1, các bác tự vẽ hình nhá:

Gọi trung điểm of DM là I. Ta có BI=IM=ID= 1/2 DM ( trung tuyến ứng với cạnh huyền)

vì ID=IB, AD=AB nên D đối xưng vs B qua AI suy ra $\widehat{ADI}=\widehat{ABI}$

Mặt khác $\widehat{ADI}=\widehat{IEB}$$\widehat{ADI}=\widehat{IEB}$ ( do DAEI nội tiếp)

suy ra$\widehat{IEB}= \widehat{IBE}$ suy ra IE=IB 

xét tam giác EBF vuong có IE=IB suy ra 1/2 DM= IB=IE=IF= 1/2 EF suy ra đpcm

!.cho a,b,c >0. abc=1. CM $\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

2.Cho a,b,c>0.abc=1.CM $\frac{a}{(1+a)(1+b)}+\frac{b}{(1+b)(1+c)}+\frac{c}{(1+a)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

3.Cho a,b ,c>0.abc =1.Cm $\frac{a^{3}}{(a+b)(b+c)}+\frac{b^{3}}{(b+c)(c+a)}+\frac{c^{3}}{(c+a)(a+b)}\geq \frac{3}{4}$

4.Cho a,b,c >0.$a^{2}+b^{2}+c^{2}$=3.Cm $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 3$.

5.Cho a,b,c >0.CM $\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

6.Cho 3 số thực a,b,c.Cm $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{(a-b)^{2}}{2}+\frac{(b-c)^{2}}{12}+\frac{(c-a)^{2}}{2014}$

Ps: Càng nhìu cách càng tốt nhé!!

 

2.Cho a,b,c>0.abc=1.CM $\frac{a}{(1+a)(1+b)}+\frac{b}{(1+b)(1+c)}+\frac{c}{(1+a)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 

Đpcm$\Leftrightarrow 4(ab+bc+ca+a+b+c)\geq 3(2+ab+bc+ca+a+b+c\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\geq 6$ (đúng với abc=1)

$VT-VP$=$\sum (\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c})$.

Tiến hành quy đồng và sắp xếp bạn sẽ được $VT-VP=\sum ab(a-b)\left [ \frac{1}{(b^2+c^2)(b+c)}-\frac{1}{(c^2+a^2)(a+c)} \right ]$

$=\sum \frac{ab(a-b)(a^2+b^2+c^2+\sum ab)}{(b^2+c^2)(b+c)(c^{2}+a^{2}(c+a))}$

Có cách nào ruồi muỗi k, cách của bạn trâu bò quá( chưa sáng tạo và mất nhìu công sức)

 

Đồng bậc quen thuộc

$$\frac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$$

$$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(a+b)(b+c)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)\geq \frac{3}{4}.\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{4}$$

 

Sai đề! Phải là $a^3$

 

$$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$$

$$\Rightarrow \sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}\geq ...$$

 

 

Bài 2 khong sai đề đâu ạ.Đây là câu BĐT trong đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc 2013-2014

Câu 3: vì P(x) có 4 nghiệm x1,x2,x3,x4 nên P(X)=$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})$

$\Rightarrow P(\sqrt{3})=(\sqrt{3}-x_{1})(\sqrt{3}-x_{2})(\sqrt{3}-x_{3})(\sqrt{3}-x_{4})\Rightarrow -P(\sqrt{3})=(x_{1}-\sqrt{3})(x_{2}-\sqrt{3})(x_{3}-\sqrt{3})(x_{4}-\sqrt{3})$

Mà$P(-\sqrt{3})=(-\sqrt{3}-x_{1})(-\sqrt{3}-x_{2})(-\sqrt{3}-x_{3})(-\sqrt{3}-x_{4})=(x_{1}+\sqrt{3})(x_{2}+\sqrt{3})(x_{3}+\sqrt{3})(x_{4}+\sqrt{3})\Rightarrow T= -P(\sqrt{3}).P(-\sqrt{3})=...$

Đến đây Thay số vào P(x) là ra thôi.!!!!

Cônng nhận đề tỉnh bạn dề thật. Có mỗi Bài Bđt voi bài giải hệ phải động não. Các cậu có ai làm hết k. Thi xong thấy thế nào???

Câu 3a $M.m=\frac{2}{3}$ phải chứ???

Mình ra $\frac{4}{5}\leq x\leq \frac{5}{4}$

Bạn làm thế nào ạ!!

Ta có:

$\left | 3x-4 \right |= \left | 4-3x \right |\geq 4-3x$ ( dấu bằng khi $x\leq \frac{4}{3}$)

$\left | 4x-5 \right |= \left | 5-4x \right |\geq 5-4x$ ( dấu bằng khi $x\leq \frac{5}{4}$)

$\left | 5x-4 \right |\geq 5x-4$ ( dấu bằng khi $x\geq \frac{4}{5}$)

$\left | 2x-1 \right |\geq 2x-1$ ( dấu bằng khi $x\geq \frac{1}{2}$)

cộng vào ta có: VT $\geq$ VP ( dấu bằng khi $\frac{4}{5}\leq x\leq \frac{5}{4}$)

    UBND tỉnh Bắc Ninh                                                          ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Sở GD & ĐT tỉnh Bắc Ninh                                                            NĂM HỌC: 2014 - 2015

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                      Môn thi: Toán - lớp 9

                                                                                                Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2015

Câu 1: Cho P = ( mình quên đề rồi)

            Rút gọn P với $a > 0, b> 0, a\neq b$

Câu 2: Cho phương trình $x^{2}-x-1=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$

            a, Tính giá trị của biểu thức Q= $x^{5}_{1}+x^{5}_{2}$

            b, Cho $P(x)=\sqrt{x^{8}+12x+12}-3x$. Chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$

Câu 3: a,Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của x thỏa mãn $\left | 2x-1 \right |+\left | 3x-4 \right |+\left | 4x-5 \right |+\left | 5x-4 \right |=4$. Chứng minh rằng M.m = 1

           b, Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^{6}+x^{3}y=y^{3}+2y^{2}$

Câu 4: Cho (O;R) và hai đường kính AB và CD thay đổi. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lần lượt cắt BC và BD ở E,F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AE, AF.

            a, Chứng minh trung điểm H của AO là trực tâm tam giác BPQ.

            b, Tìm điều kiện của AB và CD để  điện tích tam giác BPQ đạt min

            c, Chứng minh rằng $CE.DF.EF= CD^{3}$ và $(\frac{BE}{BF})^{3}= \frac{CE}{DF}$

Câu 5: a, Gọi m và n lần lượt là số chữ số của $2^{2015}$ và $5^{2015}$. Tính m+n

           b, Cho (O;1) và 3 điểm A,B,C tùy ý. Chứng minh rằng luôn tồn tại điểm M nằm trên đường tròn sao cho $MA+MB+MC\geq 3$

Bài này áp dụng phương pháp cần cù bù thông minh bạn ạ:

$\sum \frac{a}{a+b}=3-\sum \frac{b}{a+b}$

Ta sẽ cm $\sum \frac{b}{a+b}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{\sum b(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\geq 0 (đúng)$

$\Rightarrow đpcm$

Nhưng mình thấy BĐT này rất lạ.Bạn xem lại đi 

Câu 1 : Ta tính được : $x^2=6+4\sqrt{2}$ $\Rightarrow x=2+\sqrt{2}$
$\Rightarrow x^2-4x+2=0$

$\Rightarrow (x^3+x+4)(x^2-4x+2)=0$
$\Rightarrow x^5-4x^4+3x^3-14x+8=0(*)$

Do đó $x$ là một nghiệm của phương trình $(*)$ 

Câu 3 :Từ phương trình $(2)$ của hệ ta được : $3x^2(y-1)=15y-y^2-14$ $(3)$

Nếu $y=1$ thì thay vào phương trình $(1)$ ta được $x=1$ . Khi đó $(x;y)=(1;1)$ là 1 nghiệm của hệ phương trình ban đầu $(**)$

Nếu $y\neq 1$ thì chia cả 2 vế phương trình $(3)$ cho $(y-1)\neq 0$ ta được $x=\sqrt{\frac{15y-y^2-14}{3(y-1)}}$

$\Rightarrow 3x^2=-y+14$

Từ đó ta có hệ : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+(y-1)=13 & & \\ x^3+3x(y-1)-1=13\sqrt{y-1} & & \end{matrix}\right. (I)$

Đặt $\sqrt{y-1}=b(b\geq 0);x=a$ thì hệ $(I)$ có dạng $\left\{\begin{matrix}a^3+3ab^2-1=13b & \\ 3a^2+b^2=13 & \end{matrix}\right.$

Nhân chéo 2 vế của hệ phương trình trên ta được : $13(a^3+3ab^2-1)=13b(3a^2+b^2)$ $\Leftrightarrow (a-b)^3=1$$\Leftrightarrow a-b=1$

Khi đó $\left\{\begin{matrix}3a^2+b^2=13 \\ a-b=1 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình quá khó trên , ta tìm được $(a;b)=(2;1)$ ( loại trường hợp $(a;b)=(\frac{-3}{2};\frac{-5}{2})$ vì điều kiện $b\geq 0$ )

Với $(a;b)=(2;1)$ ta tìm được $(x;y)=(2;2)$ $(***)$

Từ $(**)$ và $(***)$ : Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm $(x;y)$ là $(2;2);(1;1)$ 

@Viet Hoang : Mình biết là thiếu 1 nghiệm rồi nhưng phải xuống ăn cơm xong rồi mới lên sửa bạn ạ

A giải thích hộ e tại sao lại nhân chéo đc k? cấu tạo biểu thức có gì đặc biệt không?

 

 

Ta có:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3$

Mặt khác:

$(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a})-(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a})=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo gt ta có: $a\geq b\geq c$ nên $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}$

do đó:

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{3}{2}$ (Dấu = khi a=b=c)

 

Giả thiết có cho đâu> còn TH $c\geq b\geq a, a\geq c\geq b,...$ thjì sao?

đặt a+b=x:b+c=y;c+a=z$\Rightarrow x+y+z=2(a+b+c)$

có$\left ( x+y+z \right )(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}\times 3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}= 9\Rightarrow 2(a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq 9\Rightarrow (a+b+c)\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\geq4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+3\geq 4,5\Rightarrow \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$.

Dấu bang xảy ra khi a=b=c

$\sum \frac{a}{b+c}$ mà bạn

Câu 6: a) $ab=cd\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{d}{b}\Rightarrow \frac{a^{2015}}{c^{2015}}=\frac{d^{2015}}{b^{2015}}$

$=\frac{a^{2015}+d^{2015}}{b^{2015}+c^{2015}}=k(k\geq 1)$ (a,b,c,d nguyên dương)

Do đó $A=(k+1)(c^{2015}+b^{2015})$ là hợp số vì b,c nguyên dương

sai @@ để suy nghĩ lại

Ta nên đặt $\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k$.Vì ab=cd nên ab chia hết cho c suy ra $\frac{ab}{c}$ là số nguyên. do đó kb là số nguyên. Mà b là số nguyên dương nên k là số nguyên dương. Vậy $A=(k^{2015}+1)(c^{2015}+b^{2015})$ là hợp số vì b,c nguyên dương

a, $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b \epsilon \mathbb{Z}$

Mà$\sqrt{a}+\sqrt{b}\epsilon \mathbb{N}$ nên $\sqrt{a}-\sqrt{b}\epsilon \mathbb{Q}$

từ đó $2\sqrt{a}\epsilon \mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{a}\epsilon\mathbb{Q}$ mà $a\epsilon \mathbb{N}$ nên a là scp

Tương tự b là scp