Với mọi x,y $\geqslant 0$. CMR:

$x^{3}+y^{3} \geqslant xy\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}$

Cho p là một số nguyên tố > 3 và có dạng p = 3k+2 CMR:

$\prod_{i=2}^{p}(i^{2}+i+1)\equiv  1 (mod p)$

Tìm tất cả những số thực t thuộc đoạn [0;1] sao cho BĐT dưới đây luôn đúng với mọi số thực dương  a,b,c :

$\frac{a}{tb+tc+(1-t)a}+\frac{b}{tc+ta+(1-t)b}+\frac{c}{ta+tb+(1-t)c} \geqslant \frac{3}{1+t}$

Đau lòng vì bài này dùng SOS!

Have:

$Ine\Leftrightarrow (x^3+y^3)^2\geq 2x^2y^2(x^2+y^2)\Leftrightarrow (x^3-y^3)^2+2(x^2y-xy^2)^2\geq 0$

@hoctrocuaZel

@Nát

Có cách nào hay hơn ko bạn!

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

$2^{x} + 1 = 3^{y}$

Vì $x,y$ là số nguyên dương nên xét:

+) $x=1$ tìm được $y=1$ thỏa mãn.

+) $x\geq 2\Rightarrow 2^{x}\vdots 4\Rightarrow 2^{x}+1$ chia $4$ dư $1$.

- Nếu $y$ là số lẻ $\Rightarrow y=2k+1$

Ta có: $3^{2k+1}-3=9^{k}.3-3=3.(9^{k}-1)=BS(8)=BS(4)$

$\Rightarrow 3^{2k+1}$ chia $4$ dư $3$

Do đó chỉ ra vô lí.

- Nếu $y$ là số chãn $\Rightarrow y=2k$

PT đưa về dạng $2^{x}=(3^k-1)(3^k+1)$

Đến đây quen thuộc rồi 

Mình nghĩ là ko quen thuộc đâu bạn ạ!

Bạn thử giải tiếp hộ mình với

Ta có $2$ là số nguyên tố và $3^k+1\in\mathbb{N^{*}}$ nên $3^k-1=2^a$

           $3^k+1=2^b$

Ta có: $3^k+1>3^k-1$ nên $2^a>2^b$ nên $a>b$ nên $2^a\vdots 2^b$ $\Rightarrow 3^k+1\vdots 3^k-1$

$\Rightarrow 3^k-1+2\vdots 3^k-1$

$\Rightarrow 2\vdots 3^k-1$

$\Rightarrow 3^k-1=1$ hoặc $2$

Mình nhầm ở đâu vậy????? 

Hay! Bài bạn làm mình ko còn nghi ngờ j nữa

Cho a,b,c >0 và abc+a+c=b

Tìm GTNN của $M = \frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$

Cho $x^{2}+2y^{2}=4$ 

Tìm GTLN của M=$x-\frac{y}{\sqrt{2}}$

Giải PT: $x+\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+2}}=\sqrt{2}$

Giải: 

Đặt $a=\sqrt {x^2 +2 }, b= x$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} ab + 2b = a\sqrt{2} (1) \\ a^2 -2 = b^2 (2) \end{matrix}\right.$

 

$(1)\Leftrightarrow b= \frac{a\sqrt{2}}{a+2}(3)$

Thế $(3) $ vào $(2)$, ta được: $(2)\Leftrightarrow a^4 + 4a^3 -8a -8 =0 $

$\Leftrightarrow (a^2 +2a )^2- 4(a^2 + 2a) -8 =0$

Tới đây thì giải ra rồi thử lại là xong !! 

Bạn thử giải cách lượng giác hộ mình với!

xét $x=0$ thì ......

xét $x\neq 0$ thì phương trình tương đương

$1+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\frac{x^2}{2}+1}}=\frac{\sqrt{2}}{x}$

đặt $x=tant$ thì ta có

$1+\frac{\sqrt{2}}{cost}=\frac{1}{tant}$

tới đây cậu tự giải vậy

 

U-Th

Mình nghĩ là nên đặt $\frac{x}{\sqrt{2}}=tan t$ thì hơn, bạn thử xem

mình ghi ở phái trên nhầm đó,đã fix

 

U-Th

À à, Thank you

Cho đa giác $A_{1}A_{2}...A_{n}$ nội tiếp (O;R) và G là trọng tâm của hệ điểm.

CMR: $nR^{x} \geqslant \sum_{i=1}^{n}GA_{i}^{x}$ với mọi $0 \leqslant x \leqslant  2$

Giúp mình với!

Bài T9/453 (THTT)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a,b) thỏa mãn 4a + 1 và 4b - 1 nguyên tố cùng nhau và a + b là ước của 16ab + 1. 

Các bạn có thấy bài này giống y hệt 1 bài nào đó ở số báo nào đó không?

Giải phương trình: $5 - 2a^{3} = 3\sqrt{5-4a}$

Hộ mình CM: PT có nghiệm duy nhất = 1

Mình xin "hậu tạ" 20 likes           

Hí hí, dùng các na đó, nghiệm

$-1-\sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}+\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$

Theo mình cách này không nên dùng,nó ra nghiệm ngoại lai, các bạn có cách nào hay hơn không!

Thôi thì mình xin tăng thêm 10 likes nữa vậy    

Cho các số nguyên dương phân biệt $a_{1},...,a_{n}$.

CMR: $\sum_{k=1}^{n}\frac{a_{k}}{k^{2}} \geqslant \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

Cho a,b,c > 0, CMR: $\sum\frac{1}{x^{5}\sqrt{x^{2}+2y^{2}}} \geqslant \frac{\sqrt{3}}{(xyz)^{2}}$ 

Cho a,b,c > 0 CMR: $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+10ab+b^{2}}}\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$

Làm 1 bài tặng 10 likes    

Cho n,r nguyên dương thỏa mãn: 2r < n+1. Hỏi tập X = {1;2;...;n} có bao nhiêu tập con có r phần tử và không có 2 STN liên tiếp nào?

ĐỀ THI NĂNG KHIẾU LẦN V

THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI - 10 TOÁN

BÀI 1: Giải hệ phương trình:

$(x+\sqrt{1+x^{2}})(1+\sqrt{1+y^{2}})=1$

$x.\sqrt{6x-2xy+1}=4xy+6x+1$

BÀI 2: 1 cạnh của hình vuông ABCD nằm trên đường thẳng y=2x-17 và 2 đỉnh còn lại nằm trên parabol $y=x^{2}$. Tính diện tích ABCD

BÀI 3: Cho đường tròn (O;R) và tam giác ABC đều, có các đỉnh nằm bên trong đường tròn và nhận O làm tâm. Điểm M tùy ý trên đường tròn. Gọi D;E;F lần lượt là giao điểm thứ 2 của MA;MB;MC với đường tròn. CMR: $\frac{1}{AD^{2}}+\frac{1}{BE^{2}}+\frac{1}{CF^{2}}$ không đổi khi M chạy trên đtròn (O;R}

BÀI 4: CMR:

a. sin x > $\frac{2x}{\pi}$ với 0<x<$\frac{\pi}{2}$

b. $\frac{|a+b|}{1+|a+b|} \geqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$ với mọi a,b

BÀI 5: Cho dãy số $(a_{n})$ thỏa mãn: $0  \leqslant a_{n}  \leqslant c, với n \geqslant 1$ và $|a_{i}-a_{j}| \geqslant \frac{1}{i+j}$ với i khác j

CMR:$c \geqslant 1$ 

Đề này em nhìn mà phát khóc, các bác giúp em với!

Mình nghĩ đề câu 1 sai rồi thì phải 

Phương trình (1): $(x+\sqrt{1+x^2})(y+\sqrt{1+y^2)=1$ mới đúng

Không sai đâu, có thế mình mới phát khóc chứ,>>>>>>

Ban đầu cứ tưởng dễ ăn, ai dè.............