Tại sao AH=2IM ạ

Kẻ đường kính $AD$ sẽ thấy.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm $I(2;1)$, bán kính $R=5$. Trực tâm $H(-1;-1)$, độ dài $BC=8$. Tọa độ điểm $A$ là?

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có $IM \perp BC$. Ta tính được $IM$, từ đó suy ra $AH=2IM$

Có độ dài $AH, AI$ tìm được $A$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, một đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt $AC$, $AB$ tại $D,E$. $BD$ cắt $CE$ tại $H$. $I$ là tâm của $KDE$. Chứng minh $H,I,O$ thẳng hàng.

Một loạt các tính chất quanh cấu hình này được trình bày ở đây

https://artofproblem...h454878p2556589

Cho tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O)  vừa ngoại tiếp (I). CM: AC, BD, OI đồng quy 

Trong file này có một số tính chất về tứ giác lưỡng tâm, trong đó có bài toán này.

https://nguyenvanlin...ic-polygons.pdf

Mọi người giúp em giải chi tiết bài này. Em cảm ơn.

Giải phương trình:

$cos2x + 5= 2(2-cosx)(sinx-cosx)$

https://diendantoanh...-cosxsinx-cosx/

Cho $A$ và $B$ là hai ma trận có tính chất $A^2=A, B^2=B$. Chứng minh rằng:

$A$ đồng dạng với $B$ khi và chỉ khi $rank(A)=rank(B)$

Cho hai số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn $m^2\vdots m^2+1-n^2$. Chứng minh rằng $\left |m^2+1-n^2 \right |$ là một số chính phương

Taiwan MO 1998

Cho tứ giác ABCD có AB,CD cắt nhau tại I.AD,BC cắt nhau tại K.Đường tròn đường kính AC giao với đường tròn đường kính BD tại E,F .Chứng minh rằng:I,K,E,F cùng thuộc 1 đường tròn.

P/S:Mình mới chỉ biết sử dụng đường thẳng Gauss thôi còn tiếp theo mình không biết làm.

Gọi $H_1, H_2$ lần lượt là trực tâm tam giác $IBC, ADI$. Kẻ các đường cao $IM, BN, CP$ của $\bigtriangleup IBC$ và các đường cao $IQ,AR, DS$ của $\bigtriangleup DAI$.

Ta có $H_1B.H_1N=H_1D.H_1C$, $H_2A.H_2R=H_2D.H_2C$.

nên $H_1H_2$ là trục đẳng phương của $(AC), (BD)$.

Suy ra $H_1, H_2, E, F$ thẳng hàng.

Lại có $H_1I.H_1M=H_1B.H_1N, H_2Q.H_2I=H_2D.H_2S$.

nên $H_1H_2$ là trục đẳng phương của $(BD), (IK)$.

Từ đó ta có $(AC), (BD), (IK)$ đồng trục và có trục đẳng phương là $EF$. Suy ra $I, K, E,F$ cùng thuộc một đường tròn.

Nội dung của bất đẳng thức LCF là gì? LCF là viết tắt của từ gì?

LCF là viết tắt của Left Concave Funcition.

Nếu $f$ là một hàm lõm trên $\mathbb{I}$ thì với mọi $x_1, x_2,..., x_n \in \mathbb{I}$ ta luôn có

$f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n) \le n.f(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n})$

Mọi người có thể chứng minh giúp em cách đổi biến trong tích phân bội không ạ!

Tọa độ cực à bạn?

Cho $0<a<b$ và f là một hàm liên tục trên $[a;b]$, có đạo hàm trên $(a;b)$.

CMR: Tồn tại c thuộc (a;b) sao cho $\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}=f(c)-cf'(c)$

Trước hết ta nhắc lại định lý Cauchy:

Giả sử các hàm $f,g:[a,b] \to \mathbb{R}$ liên tục trên $[a,b]$ khả vi trong $(a,b)$ đồng thời $g'(x) \ne 0 ,\forall x \in (a,b)$. Khi đó tồn tại $c \in (a,b)$ sao cho

$\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Xét $F(x)= \dfrac{f(x)}{x}$ và $G(x)=\dfrac{1}{x}$

Áp dụng định lý Cauchy với 2 hàm số này ta được đpcm.

Cho hàm số $f(x)$ khả vi liên tục cấp 2 trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(0)=2, f'(0)=-2, f(1)=1$.

Chứng minh rằng tồn tại $c \in(0,1)$ sao cho 

$f(c).f'(c)+f''(c)=0$

Bạn có thể giải thích rõ hơn được không ạ

Theo Bổ đề, chứng minh tại

https://diendantoanh...a-tam-giác-def/

thì $OI$ là đường thẳng Euler của $\bigtriangleup DEF$

Do có cùng trọng tâm nên gọi $G$ là trọng tâm của $\bigtriangleup ABC$ và $\bigtriangleup DEF$

Ta có $O,I, G$ thẳng hàng.

Suy ra $OI$ cũng là đường thẳng Euler của $\bigtriangleup ABC$ nên $ \bigtriangleup ABC $ đều.

Thì em lấy trong sách đó ra mà ạ, cơ mà em không biết làm nên mới đăng lên đây ạ, anh cho em tham khảo cách giải với ạ, em cảm ơn nhiều.

có lời giải mà em

Cho $\Delta ABC$, trọng tâm $G$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. $AM,BM,CM$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_{1}, B_{1},C_{1}$ .$A_{2},B_{2},C_{2}$ là điểm đối xứng của M qua trung điểm $B_{1}C_{1},C_{1}A_{1},A_{1}B_{1}$. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2}$ đồng quy tại một điểm thuộc MG.

P/s: Mọi người vui lòng chỉ rõ giùm mình hướng và cách giải bài này với ạ, mình vẫn đang ngờ ngợ

Bài này có trong tài liệu chuyên Toán 10 Hình học.

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA,  AB với đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Chứng minh rằng: nếu 2 tam giác ABC và DEF có cùng trọng tâm thì ABC là tam giác đều.

Bổ đề: Cho $\bigtriangleup ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. Gọi $D,E, F$ lần lượt là tiếp điểm của $(I)$ với $BC,CA,AB$. Khi đó $OI$ là đường thẳng Euler của $\bigtriangleup DEF$

Trong lời giả của bài toán sau, em không hiểu 1 chỗ, mong các bạn, các anh chị, thầy cô giải đáp giúp em ạ.

Cho $x, y, z$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx).$$

Lời giải

Trong 3 số $x, y, z$ luôn có hai số cùng lớn hơn hay bằng 1 hoặc cùng nhỏ hơn hay bằng 1(Em không hiểu chỗ này ạ).

Giả sử hai số đó là $x, y$ thì ta có $(x-1)(y-1) \geq 0$, suy ra $xy+1\geq x+y$. Do đó $$2xyz +2z\geq 2xz+2yz$$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh $$x^2+y^2+z^2+1\geq 2xy+2z$$

Nhưng đều này là hiển nhiên vì nó tương đương với $$(x-y)^2+(z-1)^2\geq 0$$ 

Bài toán được chứng minh.

Nguyên lý Dirichlet thôi em

Cho các ma trận $A, B\in M_n(\mathbb{R})$ và đặt

$M=\begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix}, N=\begin{pmatrix} A+B & O_n \\ O_n & A-B \end{pmatrix}$

$ P=\begin{pmatrix} A & -B \\ B & A \end{pmatrix}, Q=\begin{pmatrix} A+iB & O_n \\ O_n & A-iB \end{pmatrix}, (i^2=-1) $.

Chứng minh rằng các ma trận $M,N$ đồng dạng và các ma trận $P,Q$ đồng dạng.

 

2, A là ma trận khả nghịch vuông cấp n

Chứng minh $p_{A^{-1}}(x) = \frac{(-x)^n}{det A} p_A\left ( \frac{1}{x} \right )$

 

Ta có đa thức đặc trưng của ma trận $A$ là $P_A(x)= \vert A-xI\vert$ trong đó $ I $ là ma trận đơn vị cấp $n $

Suy ra $P_A(\dfrac{1}{x})= \vert A-\dfrac{1}{x}I\vert= \vert \dfrac{xA-I}{x^n}\vert=\dfrac{1}{(-x)^n}|I-xA|$ $ \implies (-x)^n.P_A(\dfrac{1}{x})=|I-Ax| \implies \dfrac{(-x)^n}{detA}.P_A(x)=|A^{-1}-xI|=P_{A^{-1}}(x)$

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG

LẦN THỨ XIV-PHÚ THỌ 2018

Câu 1(4 điểm). Giải hệ phương trình

$ \left\{\begin{matrix} &2x+y-297(x-y)\sqrt{x-y}=3 \\ &x(4x-2y+5)+2018\sqrt{x-y}=2y^2+5y \end{matrix}\right. $

Câu 2(4 điểm). Cho hàm số $f(x)=x^2+bx+c(b,c \in \mathbb{R})$.

Giả sử $\left\{ x \in \mathbb{R}, \vert f(x)\vert \le 1\right\}= \displaystyle \bigcup _{i=1}^n\left[ \alpha_i; \beta_i\right]\ne \emptyset$.

Chứng minh rằng $ \displaystyle \sum_{i=1}^n \vert \alpha_i - \beta_i \vert \le 2\sqrt{2} $
Câu 3(4 điểm). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, với $AB<AC<BC$. Gọi $D$ là một điểm thuộc cạnh $ BC $, $ E $ là một điểm trên tia $ BA $ sao cho $ BD=BE=AC $. $ P $ là giao điểm của cạnh $ AC $ với $ (BDE) $. $ Q $ là giao điểm thứ hai của $ BP $ với $ (O) $. Chứng minh rằng $ AQ+CQ=BP$.

Câu 4(4 điểm). Cho $p$ là một số nguyên tố, $ n $ là số nguyên dương lớn hơn $ 1 $ và nguyên tố cùng nhau với $ p^{p+1}-p$. Gọi $\left\{a_1, a_2,...,a_k\right\} $ là một hệ thặng dư thu gọn theo modulo $ n $. Chứng minh rằng $ a_1^p+a_2^p+...+a_k^p $ chia hết cho $ n $.
Câu 5(4 điểm). Trong một buổi tập văn nghệ chào mừng chào mừng trại hè Hùng Vương lần thứ $ XIV$, có $n(n \ge 3)$ học sinh được sắp thành một hàng ngang. Thầy Tuấn Anh chọn ra một đội văn nghệ gồm $k$ bạn từ $n$ bạn trên$ (1<k \le \dfrac{n+1}{2}) $ sao cho hai bạn đứng cạnh nhau thì không cùng được chọn. Hỏi thầy Tuấn có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Cho $A,B$ là hai ma trận đối xứng cấp $n$. Chứng minh rằng $trace(ABAB) \le trace (A^2B^2)$

Giới hạn bên trong tiến về ma trân không (ma trận vuông cấp 2)

Sao lại tiến về ma trận không?

Nguồn: Toán chuyên Đà Nẵng 2018-2019

Gọi $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Dễ thấy $O, O'$ đối xứng nhau qua $BC$ và $HO' \perp EF$

Ta có $HAOO'$ là hình bình hành.

Suy ra $AO \perp EF$.

Ta có: $AH.AD=AB.AE=AC.AF$

Mà tứ giác $HKDO$ nội tiếp nên $AK.AO=AH.AD=AB.AE=AC.AF$ nên các tứ giác $OBKE, OCKF$ nội tiếp.

Từ đó $\angle OKF= \angle OCA, \angle OKE=\angle OBA$

$\angle EKF= \angle OKF+\angle OKE =\angle OBA+\angle OCA=\angle BAO+\angle CAO= \angle BAC=\angle EAF$

Suy ra $A,K$ đối xứng nhau qua $EF$ hay $EF$ là trung trực $AK$.

Tìm

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\dfrac{1}{x}(A^n-E)))$

trong đó $E$ là ma trận đơn vị

và $A = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac{x}{n}\\ -\dfrac{x}{n} & 1 \end{bmatrix}, n \in \mathbb{N^*}$

rồi tính cái tích phân bên dưới như thế nào vậy bạn?

đặt cái căn đó = $t$