xét p(k)= (k+1)f(k)-k^2=0 với mọi k=1 ;2 ;...;2008 
bậc 2008 có 2008 nghiệm là 1 2 ;..2008 thì p(x)=q(x-1)(x-2)....(x-2008)
tính q: cho x=-1 thì p(-1)=-1=q(......) đến đây tính đc q thay vào là xong

 cách làm của  a cẩn :Giả sử tồn tại y sao cho f(y)>1, ta thay x=y/(f(y)-1) thì xf(y)=x+y, từ đó suy ra f(y)=1 (vô lý). Do đó f(y)<=1 với mọi y. Từ đó suy ra f(x+y)=f(y)f(xf(y))<=f(y), tức f là hàm không tăng.

Nếu tồn tại a<b sao cho f(a)=f(b), ta thay y=a và y=b vào phương trình rồi so sánh hai lần thay thì có f(x+a)=f(x+b). Điều này chứng tỏ f là hàm tuần hoàn chu kỳ b-a trên miền (a, +oo). Mà f đơn điệu nên ta có f(x) đồng nhất bằng c với x>a. Bây giờ, ta cố định y rồi cho x đủ lớn sao cho xf(y) và x+y đều lớn hơn a. Khi đó sẽ có f(y)=1 với mọi y>0. Đây là một nghiệm của bài toán.

Tiếp theo, ta xét trường hợp f giảm ngặt. Khi đó, thay x bởi x/f(y), ta được f(x)f(y)=f(x/f(y)+y)=f(y/f(x)+x), từ đó suy ra
x/f(y)+y=y/f(x)+x.
Ta thu được nghiệm thứ hai f(x)=1/(1+kx) với k>0 từ đây

ước gì đọc được bài này trước khi đi thi vòng 2 hà nội , bài này là olympic toán sinh viên 2000 của london

 bài 2 cũng dùng dirichlet thôi

cách 2 cho bài 1 rất ngắn gọn 
giả sử trong 3 số abc có 2 số a và b cùng phía với 1 khi đó ab+1 >= a+b tức là a+b <= 1/c+1 
do vậy ta chỉ cần chứng minh 
sigma 1/a^2 + 3>= 2/c +2c+2 
áp dụng am gm 1/a^2+1/b^2 >= 2/ab =2c vậy ta chỉ cần cm 1/c^2 +3 >= 2/c +2 đúng theo am gm

bài này đơn giản thôi , đặt a+b+c =t 
suy ra ab+bc+ca=(t^2-1)/2  
ta có ngay a+b=t-c
a.b=t^2-1-c(a+b) đến đây thay a+b=t-c vào thì có a.b=t^2-1-c(t-c) 
giải bpt ẩn t và c chú ý rằng (a+b)^2>=4ab 
thì được ngay c>= -căn (4-3.t^2)/căn 3 tương tự vs b và a
từ đây xét  (a+căn (4-3.t^2)/căn 3).(b+căn (4-3.t^2)/căn 3).(c+căn (4-3.t^2)/căn 3) >=0 suy ra được abc >=.....
xét hàm ẩn t là xong

bài 1 có liên quan đến hàm phần nguyên , mình cũng ko nhớ rõ nhưng chỉ cần biết hàm còn bước quy nạp đơn giản

 dbài toán quen thuộc
dồn biến về 1 số bằng 0
giả sử a>=b>=c 
cm f(a;b;c)>=f(a;b;0)
sau đó xét hàm 
chú ý sigma (căn (a/(b+c))>= căn (a/b)+căn (b/a) cái này rất đơn giản trong sách a cẩn có nhiều , bạn tự tham khảo hoặc tư chứng minh

 

Giả sử $a=\max \{a;b;c\}$

Ta cm:

$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

Thật vậy áp dụng Holder có:

$VT^2.[b^2(c+a)+c^2(a+b)]\ge (b+c)^3$

Cần cm: $a(b+c)^2\ge b^2(c+a)+c^2(a+b)\Leftrightarrow bc(2a-b-c)\ge 0$ (Luôn đúng)

 

$\Rightarrow \sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

 

 

Tiếp theo $9\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}}\ge \dfrac{9\sqrt{a(b+c)}}{a+b+c}$

 

Ta cần cm $f(t)=t+\dfrac{9}{\sqrt{t+2}}\ge 6$

Trong đó $t=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\ge 2$

 

 

Làm thế được không anh cachuoi Tuấn Anh

 

sao biết là a thế ?làm vậy ổn rồi  

Ném từ tầng 3 , nếu không nổ thì cứ tăng dần lên thôi :v, nếu nổ thì thả cái còn lại từ tầng 1

Thầy giáo Hoàng Ngọc Thế do giàu quá không biết để tiền đâu cho hết nên bỏ tiền ra mua $2$ CHIẾC BPHONE của anh Quảng nổ. Sau khi xài xong thì mới biết là chất lượng quá chán nên quyết định chơi trò chơi sau.

Thầy đặt vé vào TP HCM, sau đó đến toà nhà BITEXCO $163$ tầng, sau đó thầy thử leo lên $1$ tầng bất kỳ và ném cái BPHONE xuống. Thầy thắc mắc không biết ném thấp nhất từ tầng nào trở lên thì cái BPHONE đó sẽ bể.
(Giả xử tầng $20$ là tầng nhỏ nhất để cái BPHONE bể, thì từ tầng $21$ trở lên chắc chắn cái BPHONE đó cũng sẽ bể nếu ném xuống)

Theo bạn, với $2$ cái BPHONE đó, thầy Thế cần ít nhất bao nhiêu lần ném để biết chính xác cái tầng tối thiểu mà BPHONE khi ném từ tầng đó chắc chắn bể. Coi là sức chịu đựng của $2$ cái BPHONE là như nhau.

Cho x1=1 và x2=0 thì có ngay f(1)=1, f(0)=0 hoặc f(1)=0, f(0)=1 xét 2 trường hợp
Th1 f(1)=1 thì f(0)=0 thì trong đề thay x2=0 thì có ngay f(x)>=x
Cũng trong đề thay x1=1 x2 bởi x thì có 1-f(x)>=1-x suy ra f(x) <=x vậy f(x)=x
Trường hợpp còn lại tương tự nhé , f(x)=1-x

câu a rất dễ 
cố định y z =0 cho x chạy thì f là toàn ánh trên tập Q
vậy tồn tại t mà f(t)=0 thay x=y=t z=1 vào thì đc f(t)=t=0 vậy f(0)=0  thay x=0 thì đc ngay hàm công tính nên f(x)=ax
thử lại đc a=1 
câu b tương tự , cho x=0 chú ý đc hàm nhân tính và hàm cộng tính thì f(x)=x 

bài trên sử dụng dồn biến về biên  dấu bằng khi 1 số bằng 0 ,2 số còn lại bằng nhau g/s a>=b>=c>=0

 chuẩn hóa a+b+c=2 thì ta cần cm (a+b+c) (1/(a+b) +1/(b+c)+1/(c+a))+8(a+b+c)^2/5(a^2+b^2+c^2)>=41/5

dồn biến f(a;b;c)>=f(a;b+c;0) bằng nhóm đơn giản tương đương với bc [64/(5(a^2+b^2+c^2)(a^2+(b+c)^2))- ((2a+b+c)/(2(a+b)(a^2+ac))]>=0

do bc >=0 rồi nên chỉ cần cm 128(a+b)(a^2+ac)>=5(a^2+b^2+c^2)(a^2+(b+c)^2)(2a+b+c)  trông có vẻ lằng nhằng nhưng cái này đánh giá bừa cũng đc

chú ý a^2+b^2+c^2 <=2(a^2+ac) và 2(a+b)=(a+b+c)(a+b)>=a^2+(b+c)^2  nên ta chỉ cần cm 32 >=5(2a+b+c) hiển nhiên đúng do 2a+b+c<=4 

còn lại thì đơn giản rồi

thực ra với mọi k >=(căn3-1)/2 thì dấu bằng xảy ra khi  hai biến bằng nhau và 1 số lại bằng 0 , chứng minh bằng dùng hàm số đơn giản thôi

bài toán trên mà là tổng quát ? tìm gtnn theo k mới là bài toán tổng quát , ở trên k là 16/5 đã lớn hơn (căn3-1)/2 khá nhiều 

lg  của huy  thiếu trường hợp f(2)=0

trước tiên dễ thấy f là toàn ánh và tồn tại t để f(t)=0 thay x =y=t ta có f(t^3)=t=f(t)^3 =0 suy ra t =0 
vậy f(0)=0 , cho x=0 thì có ngay f(f(y)=y với mọi y thuộc R
từ đó tay y bởi f(y) vào bài được ngay hàm cộng tính trên R

cho y=0 thì đc f(x^3)= f(x) ^3 

cho x=1 y=0 thì có ngay f(1)=1 hoặc f(1)=-1
nếu f(1)=1 thì thay y=0 x bởi x +1 và sử dụng tính chất cộng tính thì có ngay f(x^2)=f(x)^2 suy ra f(x).=0 với mọi x>=0 
từ đây suy ra f(x)=x
nếu f(1)=-1 thì thay y =0 và x bởi x+1 suy ra f(x^2)=-f^2(x) suy ra f(x) <=0 với mọi x>=0 suy ra f(x)=-x

xl bạn , viết nhầm , với mọi x>=0 thì f(x)>=0 (trong trường  hợp f(1)=1) từ đây sd pth cauchy thì có f(x)=x
tương tự trường hợp còn lại

thiếu đề

Cho x=y=1 có f(1)=1
Cho y=1 thì có 2x.f(x)>=x^2+f(x^2) (1)
Cho x=y=0 có f(0)=0 ta xét x khác 0 ,
Cho y=x ta có x.f(x^2)+x^2.f(x) >=f(x).f(x^2) +x^3 suy ra x^2.(f(x)-x)>=f(x^2)(f(x)-x) (2)
Nếu tồn tại x để f(x^2)<0 thì từ (2 )suy ra f(x)>=x với mọi x
Nếu tồn tại x để f(x)>x thì từ (2) ta cũng có ngay f(x^2)<x^2 vô lí suy ra f(x)=x nên f(x^2)=x^2 vô lý do ta gs tồn tại f(x^2)<0
Vậy f(x^2)>=0 với mọi x nên từ 1 ta có f(x) >=x/2 với mọi x >0 suy ra f(x^2)>=x^2/2 suy ra 2xf(x)>=(3/2 ).x^2 từ đây lại có f(x) >=3/4 x với mọi x cứ làm tương tự (thực ra xét dãy số ) thì có ngay f(x)>=x với mọi x >0
Bây giờ trong(2) gs tồn tại x để f(x) >x thì suy ra f(x^2)<x^2 vô lý vậy f(x)=x với mọi x >0
Tương tự với x<0 ta có ngay f(x)<=x từ (1)
Sau đó làm tương tự như trên cũng có ngay f(x)=x với mọi x<0
Kết luận f(x)=x với mọi x thuộc R

đề có sai không cậu , chỗ kia là mũ n à

mới làm đc bài bước nên up tạm, có time giải tiếp , nếu f(0) khác 0 thay y=0 x bởi f(0) suy ra f(0).f(f(0))=f(f0)/f(0) +f(0)   đặt f(0)=a suy ra a^2.f(a)=f(a)^2  +a^2 
suy ra a^2.(f(a)-1)= f(a)^2 suy ra a^2=f(a)^2/f(a)-1 thuộc Z suy ra f(a)-1 /f(a)^2 giải ra suy ra f(a)=0 hoặc 2
nếu f(a)=0 suy ra ngay a=0 vậy f(a)=2 suy ra a^2=4.............
 

lim bằng 0,7 nhé bạn 

thanh niên viết nhầm đề rồi