Cho $m,n$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tìm ƯCLN của hai số $A=m+n$ và $B=m^2+n^2$

Chú ý: Cách gõ công thức Toán.

            Cách đặt tiêu đề bài viết đúng quy định.

Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR
$\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ca}}\geq 3$

Với $0< a,b,c< 1$. CMR:

$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{3}{1+2\sqrt[3]{abc}}$

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD=AB. Gọi E là hình chiếu của D trên AB. Tia phân giác của góc ABC cắt DE tại F. Tia AF cắt BC tại M. Chứng minh rằng M là trung điểm của BD.

Tìm số dư trong phép chia của số
$A=(2014+1)(2014+2)(2014+3)...(2014+4028)$ cho $3^{2014}$

Cho x,y nguyên thỏa mãn $\frac{1-x^2}{1+y}+\frac{1-y^2}{1+x}$ là số nguyên.
CMR: $(x^2y^2-1)\vdots (x+1)$

Bài 1b:
$46^n+13^n.296=46^n+13^n+13^n.295$

$(46^n+13^n)\vdots (46+13)$ (vì n lẻ) $\Rightarrow (46^n+13^n)\vdots 59$ mà $295.13^n\vdots 59$
nên $46^n+13^n.296\vdots 59$
$46^n+13^n.296=46^n-13^n+297.13^n$
$(46^n-13^n)\vdots (46-13)=33$ mà $297.13^n\vdots 33$ 
nên $46^n+13^n.296\vdots 33$
59.33=1947 mà $\left ( 59;33 \right )=1$
$\Rightarrow 46^n+13^n.296\vdots 1947 (đpcm)$

 

Câu 1: (6 điểm)
1. Cho A=$\left ( \frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{2\sqrt{x}-2}{x\sqrt{x}-\sqrt{x}+x-1}\right ):\left ( \frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2}{x-1} \right )$
a. Rút gọn A
b. Tính A khi $x=\sqrt[3]{2+10\sqrt{\frac{1}{27}}}+\sqrt[3]{2-10\sqrt{\frac{1}{27}}}$
2. Cho n là số nguyên dương và n lẻ. CMR:
$(46^n+296.13^n)\vdots 1947$
Câu 2: (4 điểm)
a, Giải phương trình:
$\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}$
b, Cho a,b,c là 3 số từng đôi một khác nhau và thỏa mãn:
$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$
CMR: $\frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}=0$
Câu 3: (3 điểm)
a, Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$1+x+x^2+x^3=y^3$
b, cho a,b,c là các số dương và $a+b+c=1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=a^3+b^3+c^3$
Câu 4: (6 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. M thuộc d. Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB. Hạ OH vuông góc với d tại H. Nối AB cắt OH tại K, cắt OM tại I. Tia OM cắt đường tròn (O;R) tại E.
a. cm OK.OH=OI.OM
b. cm E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
c. tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK max
Câu 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
$(x+y)^4=40y+1$
 

Giải phương trình: $(3x^2-6x)\left ( \sqrt{2x-1}+1 \right )=2x^3-5x^2+4x-4$

Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-7x+3}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3x^2-5x-1}-\sqrt{x^2-3x+4}$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $3^x+4^x=5^x$