Cho hình vuông $ABCD$ có $AC$ cắt $BD$ tại $O$,$M\in BC(M\neq B,C)$.Tia $AM$ cắt $CD$ tại $N$.Trên $AB$ lấy $E$ sao cho $BE=CM$.Từ $C$ kẻ $CH\perp BN$.Biết $\Delta OEM$ vuông cân,$ME\parallel BN$.CMR 3 điểm $O,M,H$ thẳng hàng

-Lấy K là trung điểm của BC.

-Ta có: +)Tam giác BOC vuông cân tại O có K là trung điểm của BC nên OK=BK=KC (1).

            +) Tam giác BHC vuông tại H có K là trung điểm của BC nên BK=KC=KH (2).

-Từ (1);(2), ta có: OK=KC=KH. Đến đây ta chứng minh được góc OHC= 1/2.góc OKC= 45 độ => góc BOH= 90 độ- góc CBN (3) (Do góc OBN= 45 độ+ góc CBN).

-Gọi OM cắt BN tại H'.

-Vì EM//BN và tam giác EOM vuông cân tại O nên góc EMO= góc BH'O= 45 độ. Và góc OBH'= 45 độ+ góc CBN.

=>góc BOH'= 90 độ- góc CBN (4).

-Từ (3);(4), ta có: góc BOH= góc BOH' và H;H' cùng thuộc BN.

=> H trùng H'.

Vậy O;M;H thẳng hàng.

 

Trong tam giác ABC lấy các điểm A; E; F thuộc BC; CA; AB sao cho $\widehat{{\rm{AF}}E} = \widehat{BFD}$, $\widehat{BDF} = \widehat{CDE}$, $\widehat{CED} = \widehat{AEF}$

a) Chứng minh: $\widehat{BDF} = \widehat{BAC}$

b) Cho AB = 5cm; BC = 8cm; CA = 7cm. Tính BD

 

-Bạn ơi, sao tam giác ABC lại có A thuộc BC vậy?

Tam giác ABC(AB $\neq$AC); B,C là các góc nhọn.Đường cao AH,trung tuyến AM.

$\angle BAH=\angle MAC=\angle HAM$.Vậy góc BAC=?

-Kẻ MN vuông góc với AC (N thuộc AC).

-Ta có: tam giác HAB= tam giác HAM (g.c.g) => MH=HC=1/2.MB= 1/2.MC (1).

            tam giác HAM= tam giác NAM (g.c.g) => MN=MH; góc NMA= góc HMA (2).

-Từ (1);(2) => MN= 1/2.MC và góc MNC= 90 độ. 

=> tam giác MNC vuông tại N có góc MCN= 30 độ; góc NMC= 60 độ (3).

-Từ (2);(3) => góc AMN= góc AMH= 1/2. góc NMB= 1/2. 120 độ= 60 độ.

=> góc MAN= 30 độ => góc BAC= 3. góc MAN= 90 độ.

 Vậy góc BAC= 90 độ.

a)-Gọi AM cắt DC tại H. Ta có: tam giác AHN đồng dạng với tam giác DHE (g.g) (góc AHD chung góc NAH= góc EDH= 45 độ).

=> AH/HN= DH/HE => AH/DH= NH/EH => tam giác AHD đồng dạng với tam giác NEH (c.g.c).

=> góc NEH= góc ADH =90 độ => tam giác NEA vuông cân tại E.

-Tương tự với tam giác AMF vuông cân tại F, ta có đpcm.

b)-Trên tia đối tia DC lấy điểm H sao cho DH= BM.

-Ta có: tam giác ADH= tam giác ABM (c.g.c) => góc HAD= góc MAB và AM=AH.

=>AH=AM và góc HAM=90 độ; góc NAM= 45 độ.

=> tam giác ANH= tam giác ANM (c.g.c) => góc AND= góc ANM (1).

-Nối A với C. Ta có: góc NAC= góc BAM (=45 độ- góc MAC) (2).

-Và ta có: +) góc AND= góc NAC+ góc ACN= góc NAC+ 45 độ (3).

                +) góc AEF = góc EAB+ góc ABE= góc EAB+ 45 độ (4).

-Từ (1);(2);(3);(4) => góc ANM =góc AEF (=góc AND).

=> tam giác AEF đồng dạng với tam giác ANM (g.g).

=> S(AEF)/ S(ANM)= (AE/AN)^2= (AE^2)/(AN^2) (5).

-Vì tam giác AEN vuông cân tại E nên ta có: 2.AE^2= AN^2 => (AE^2)/(AN^2)= 1/2 (6).

-Từ (5);(6) => S(AEF)/ S(AMN)= 1/2.

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB=12cm, AC=15cm, BC=18cm. M,N lần lượt thuộc AB,AC sao cho AM=10cm, AN=8cm.Tính MN.

 

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng của H qua BC, AC và AB. Tính $\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}$

 

Bài 3: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60^o, kẻ phân giác AD. Nếu $AB=4\sqrt{3}cm, AC=8\sqrt{3}cm$ thì độ dài AD bằng bao nhiêu cm?

Bài 1: Tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB (c.g.c) => MN/BC= AM/AC= 10/15=2/3.

=> MN=2/3. 18=12 cm.

Bài 3: Để ý thấy tam giác ABC có góc BAC =60 độ; AC=2.AB => tam giác ABC vuông tại B có góc BAC=60 độ.

=> tam giác BAD có góc ABD=90 độ; BAD=30 độ=> AB^2= AD^2-BD^2. Mà AD=2.BD.

=> AB^2=3/4. AD^2. =>AD=8 cm.

Giải hệ phương trình nghiệm nguyên sau: $\left\{\begin{matrix} 2x+3y=8\\ 5y+3z=1\end{matrix}\right.$

 

- Do 2x+3y=8  => 3y chia hết cho 2 => y chia hết cho 2.

-Đặt y=2k (k thuộc Z) (1).

-Ta có:+) 2x+3y=8; y=2k => x= (8-3y)/2= (8-6k)/2= 4-3k (2).

            +) y=2k; 5y+3z= 1 => z= (1-5y)/3= (1-10k)/3 thuộc Z (3).

=> 1-10k chia hết cho 3 => k chia 3 dư 1.

-Đặt k=3m+1 (m thuộc Z) (4).

-Từ (1);(2);(3);(4) => x= 4-3.(3m+1)= 1-9m.

                                 y= 2.(3m+1)= 6m+2.                         (m thuộc Z).

                                 z= (1-30m-10)/3= -10m-3.

Cho tam giác ABC nhọn, điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho $\widehat{MBA}=\widehat{MCA}$. Gọi D và E lần lượt là trân đường vuông góc hạ từ M xuống AB và AC, I và H lần lượt là trực tâm của tam giác ADE và ABC, P và Q lần lượt là giao điểm của DM với BH VÀ EM vơi CH. Chứng minh rằng:

 a,$\widehat{BMP}=\widehat{CMQ}$

 b,Chứng minh ba điểm H,I,M thẳng hàng

a)-Ta có: góc BMP= 90 độ- góc DBM= 90 độ- góc ECM= góc QMC.

b)- Gọi K là trung điểm của DE.

-Vì DMEI là hình bình hành nên MI đi qua trung điểm của DE.

=> M;I;K thẳng hàng (1).

-Gọi HM cắt PQ tại N (2).

-Do HQMP là hình bình hành => HM cắt PQ tại trung điểm của PQ.

=> N là trung điểm của PQ.

-Ta lại có: +) Tam giác MPB đồng dạng với tam giác MQC (g.g) => MP/MQ= MB/MC (3).

                 +) Tam giác MDB đồng dạng với tam giác MEC (g.g) => MD/ME= MB/MC (4).

-Từ (2);(3) => MP/MQ= MD/ME => PQ// DE  => MP/MD= PQ/DE= (PQ/2)/(DE/2)= PN/DK.

=> tam giác MPN đồng dạng với tam giác MDK (c.g.c) => góc PMN= góc DMK => M;N;K thẳng hàng (5).

-Từ (2);(5) => H;M;K thẳng hàng (6).

-Từ (1);(6) =>M;H;I thẳng hàng (đpcm).

 

Cho △ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường tròn đường kính AB cắt CE tại G, đường tròn đường kính AC cắt BD tại F. CF cắt BG tại I, EF cắt BG tại M, DG cắt CF tại N. DG cắt EF tại K. Chứng minh:

a, Ba điểm A,I,K cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với FG.

b, HI, EN, DM đồng quy.

 

b) - Ta có: góc MFI= góc NGI (cùng = góc ABC) => tứ giác MFGN nội tiếp => MI=IN (Do FI=GI)                                                                                                               - Gọi EN cắt HI tại P; AH cắt BC tại Q .Ta cần chứng minh cho M;P;D thẳng hàng <=> (IP/PH). (HD/DB). (BM/MI)= 1 (Định lý Menelaus) <=> (HD/DB). (BM/MI)= (HE/EC).(CN/NI)     

       <=> (HE/EC). (DB/HD)= BM/CN (Do MI=IN) <=> BM/CN= (BA/CA).(BE/CD) <=> (BM/BE).(CD/CN) =BA/CA (1).

    -Ta lại có: +) BM/BE = sin BEF/ sin BME= sin ACF/ sin FMI.                                                           

                    +) CN/CD= sin CDG/ sin CND= sin ABG/ sin ING.        

    => (BM/BE).(CD/CN)= ( sin ACF/ sin FMI). ( sin ING/ sin ABG)= sin ACF/ sin ABG (Do góc FMI= góc ING).

    => (BM/BE).(CD/CN)= (AF/AC)/ (AG/AB)   => (BM/BE).(CD/CN)= AB/AC

    => (1) đúng  => (IP/PH). (HD/DB). (BM/MI)= 1 => M;P;D thẳng hàng => đpcm.

Cho $a,b,c\geq 0$, chứng minh $\sqrt{\frac{a+2b}{3}}+\sqrt{\frac{b+2c}{3}}+\sqrt{\frac{c+2a}{3}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

-Ta có: \[\frac{{a + b + b}}{3} \ge \frac{{{{(\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt b )}^2}}}{9} =  > \sqrt {\frac{{a + 2b}}{3}}  \ge \frac{{\sqrt a  + 2\sqrt b }}{3}\].

-Tương tự, ta có: \[\sqrt {\frac{{b + 2c}}{3}}  \ge \frac{{\sqrt b  + 2\sqrt c }}{3};\sqrt {\frac{{c + 2a}}{3}}  \ge \frac{{\sqrt c  + 2\sqrt a }}{3}\].

-Cộng vế với vế suy ra đpcm.

Tam giác  ABC có AB=AC, góc A nhọn, BH vuông góc AC. C/minh $\frac{AH}{HC}=2.\frac{AB^2}{BC^2} -1$

-Ta có: \[A{B^2} - A{H^2} = B{C^2} - H{C^2}( = B{H^2})\] \[ =  > A{B^2} - B{C^2} = A{H^2} - H{C^2} = (AH - HC)(AH + HC) = (AH - HC).AC\].

=> \[AH - HC = \frac{{A{B^2} - B{C^2}}}{{AB}};AH + HC = AC = \frac{{A{B^2}}}{{AB}} =  > 2AH = \frac{{2A{B^2} - B{C^2}}}{{AB}};2HC = \frac{{B{C^2}}}{{AB}}\]

=> \[\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{\frac{{2A{B^2} - B{C^2}}}{{AB}}}}{{\frac{{B{C^2}}}{{AB}}}} = \frac{{2A{B^2} - B{C^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{2A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1.\]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. I, K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABH và ACH. Đường thẳng IK cắt AB ở M, AC ở N.

Chứng minh:

a) AM=AN

b) $S_{\Delta ABC}\geq 2S_{\Delta AMN}$

b)-Do tam giác AMN có AM=AN và góc MAN=90 độ.

=> góc AMI= góc ANK=45 độ.

=> tam giác AMI= tam giác AHI (g.c.g) => AM=AH. Mà AM=AN; AM vuông góc với AN.

=>2.S(AMN)= AM.AN= AH^2 (1).

-Lấy P là trung điểm của BC.

-Ta có: BC/2= AP >=AH (2).

-Từ (1);(2) => 2.S(AMN)=AH^2 =< AH.BC/2= S(ABC).

=>đpcm. Dấu = xảy ra khi AP=AH <=> tam giác ABC vuông cân tại A.

S(ABC)= 52 cm^2.

-Cách 2: -Kẻ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với AC( H thuộc AB và K thuộc AC).

-Ta có: tam giác AHM= tam giác AKM( cạnh huyền-góc nhọn).

=> HM=MK. => tam giác BHM= tam giác CKM( cạnh huyền-cạnh góc vuông).

=> góc HBM= góc KCM. => tam giác ABC cân tại A.(đpcm)

Cho tam giac ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABDE, ACFG, BCHK. Chứng minh rằng các đường trung trực của EG, FH, KD đồng quy.

-Bạn tự chứng minh cho bổ đề sau: với mọi M bất kỳ và hình chữ nhật ABCD thì ta luôn có: AM^2+ MC^2= DM^2+BM^2.
-Gọi đường trung trực của DK cắt đường trung trực của FH tại O.=> OD=OK; OH=OF(*).Ta sẽ chứng minh cho OG=OE.
-Ta có: OA^2+OD^2=OE^2+OB^2( Hình chữ nhật EABD). (1)
OB^2+OH^2= OK^2+OC^2( Hình chữ nhật BCHK). (2)
OC^2+OG^2= OA^2+OF^2( Hình chữ nhật AGFC). (3)
-Cộng vế với vế của (1);(2);(3), ta có:
OA^2+OD^2+OB^2+OH^2+OC^2+OG^2= OE^2+OB^2+OK^2+OC^2+OA^2+OF^2.
=> OD^2+ OH^2+OG^2= OK^2+ OF^2+OE^2. (4)
-Từ (*);(4)=> OG^2=OE^2. => OG=OE( do OG; OE >0).
=> đường trung trực của EG đi qua O.
Vậy đpcm.

-Ta có: (x^2+y^2+1)^2- 5x^2-5y^2=5.
=> (x^2+y^2+1)(x^2+y^2-4) =0.
-Mà x^2+y^2+1 >0 với mọi x,y.
=>x^2+y^2= 4. Mà x,y thuộc Z nên xảy ra 3TH:
+x^2=0: => x=0; y^2=4. => (x;y)=(0;2),(0;-2).
+x^2=1.=> x=1 hoặc x=-1 và y^2=3. => Loại do 3 không phải bình phương của một số nguyên còn y thuộc Z.
+x^2=4. => x=2 hoặc x=-2 còn y^2=0.
=> (x;y)=(2;0),(-2;0).
Vậy (x;y)=(0;2),(0;-2),(2;0),(-2;0).

-Đặt |x+1|=a(x khác -1).(a>= 0)
-Ta có: (a-3)^2 >= 0 với mọi a.

=> a^2+9 >=6a.
=> (a^2+9)/(3a) >= 2. (Do a>=0)
=> a/3 +3/a >= 2 với mọi a >= 0.( Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=3).
=> |x+1|/3 + 3/|x+1| >= 2 với mọi |x+1|.
-Mà |x+1|/3+ 3/|x+1| = 2 (gt).
=> |x+1|= 3 => x=2 hoặc x=-4.

-Ta có: 2^70= (2^6)^11. 2^4. Mà 2^6 chia 13 dư -1 => (2^6)^11 đồng dư với (-1)^11 đồng dư với -1 theo modun 13.
=> 2^66 chia 13 dư -1(1).
-Lại có: 2^4 chia 13 dư 3(2).
-Từ (1);(2) => 2^66. 2^4 đồng dư với -1.3 đồng dư với -3 theo modun 13.
-Vậy suy ra 2^70 +3 chia cho 13 dư 0.
=> đpcm.

-Kẻ PI vuông góc AB(I thuộc AB). Ta có: MP>= PI=BC(1). Tam giác vuông cân MNP tại N => MN= MP/√2.(2)

-Tam giác vuông cân ABC tại B=> AC= BC/√2.(3). Từ (1);(2);(3) =>MN>= AC/2(đpcm).

-Lấy K là trung điểm của AH.
-Do H là trực tam của tam giác đều ABC; K là trung điểm của AH nên AK=KH=HD.
-Dựa vào phần a), ta có IEDF là hình thoi nên ID cắt FE tại trung điểm của FE và ID. Gọi EF cắt ID tại O.
-Ta có: OH là đường trung bình của tam giác IKD=> IK// OH (1).
IK là đường trung bình của tam giác AMH
=> IK//MH (2).
-Từ (1);(2)=> M;O;H thẳng hàng.
=> EF; ID;MH đồng quy (đpcm).

-Do tam giác BCK vuông cân tại C; ABCD là hình vuông nên góc MBN=135 độ.
-Lấy H trên AD sao cho AH=AM. => tam giác AHM vuông cân tại A.
=> góc AHM=45 độ; AH=AM. => góc DHM=135 độ và DH= BM.
-Mà ta lại có góc HDM=góc BMN( cùng phụ với góc AMD).
=> tam giác DHM=tam giác MBN(g.c.g).
=> DM=MN.
Vậy đpcm.

Kẻ EH vuông góc với AD, H trên AD
AHEB là hình chữ nhât => AH=BE=1; EH=AB=5
=> DH=4=> $DE^{2}={5^{2}+4^{2}}=41$
Sử dụng định lý Pi-ta-go cho các tam giác DAC và BEC tính được $DC^{2}=29;EC^{2}=10$
Ta thấy $DE^{2}+CE^{2}=29+10=39\neq 41=DE^{2}$
=> Góc DCE không hải góc vuông

Câu kết luận của bạn:chữ "hải" thay bằng chữ "phải" nhé!

c): -Ta có: A thuộc đường trung trực của KM. => góc KAM=2.góc DAM.(1)

                 A thuộc đường trung trực của MI => góc MAI= 2.góc MAE.(2)

-Từ (1);(2) => góc KAI=2.góc BAC=2.90 độ=180 độ. => K;A;I thẳng hàng.

d): -Ta có KAED là hình bình hành (KD=AE; KD//AE) => KD=AE=EC; KD//EC. => KDCE là hình bình hành.

=>KC cắt DE tại trung điểm của DE.(3)

-Chứng minh tương tự, ta có: BDIE là hình bình hành. => DE cắt BI tại trung điểm của DE.(4)

-Từ (3);(4) => DE;BI;CK đồng quy.

-Bài 1: a) -Ta có: EB//DT; EB=DT(=1/2.AB=1/2.CD).

=> EBTD là hình bình hành.

          b);c)-Bạn ơi điểm F ở đâu ra vậy?

-Giả sử đáy lớn của hình thang là CD; đáy bé là AB; 2 cạnh bên là AD và BC.

-Kẻ BH//AD(H thuộc DC). 

-Do AB//DH;AD//BH=> ABHD là hình bình hành. => AD=BH;góc ADC= góc BHC. Mà ta lại có AD=BC.

=> BH=BC(=AD); góc ADH=góc BHC.

=> góc BCD=góc BHC=góc ADC; ABCD là hình thang có AB//CD.

=> ABCD là hình thang cân.(đpcm)

Ta có: a+b=c+d(1) và a^2+b^2=c^2+d^2 suy ra (a+b)^2-(a^2+b^2)=(c+d)^2-(c^2+d^2) => 2ab=2cd. Và ta lại có a^2+b^2=c^2+d^2. Từ 2 điều trên ta có (a-b)^2=(c-d)^2. => a-b=c-d hoặc a-b=d-c. Giả sử a-b=c-d(c,d vai trò như nhau). Từ (1) và (2) ta suy ra a=c và b=d=> a^n=c^n và b^n=d^n. Vậy có a^n+b^n=c^n+d^n.(đpcm)