A = $\frac{1}{2}[(x-y)^{2}+(y-1)^{2}+(x-1)^{2}+4]> 0$

nhân liên hợp như bạn trên ấy

Cho a,b,c > 0. Chứng minh : $\sum \sqrt{\frac{a^{3}}{a^{3}+(b+c)^{3}}}\geq 1$

Lời giải.

Đặt

$$P=\frac{2a}{a^{2}+1}+\frac{2b}{b^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}=\frac{2\left ( a+b \right )\left ( ab+1 \right )}{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$$\left ( ab+1 \right )^{2}\leq \left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )$$

$$\Leftrightarrow ab+1\leq \sqrt{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}$$

\begin{align*} \Rightarrow P &\leq \frac{2\left ( a+b \right )}{\sqrt{\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2\left ( a+b \right )}{\sqrt{\left ( a^{2}+ab+bc+ca \right )\left ( b^{2}+ab+bc+ca \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2\left ( a+b \right )}{\left ( a+b \right )\sqrt{\left ( c+a \right )\left ( b+c \right )}}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \\ &= \frac{2}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1} \end{align*}

Ta sẽ chứng minh $\frac{2}{c^{2}+1}+\frac{c^{2}-1}{c^{2}+1}\leq \frac{3}{2}$.

Đặt $\sqrt{c^{2}+1}=t>0$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

$$\frac{2}{t}+\frac{t^{2}-2}{t^{2}}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \left ( t-2 \right )^{2}\geq 0$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=2-\sqrt{3}$, $c=\sqrt{3}$.

Chỗ này là căn bậc 2 :v

Bài 1: Giải phương trình

$2\sqrt{2x+4}+4\sqrt{2-x}=\sqrt{9x^{2}+16}$

Đặt $t=\sqrt{2(4-x^{2})}$

PT <=> $4(2x+4)+16\sqrt{2(4-x^{2})}+16(2-x)=9x^{2}+16 \Leftrightarrow 8(4-x^{2})+16\sqrt{2(4-x^{2})}=x^{2}+8x <=> 4t^{2}+16t-x^{2}-8x=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{x}{2}$ hoặc  $t=-\frac{x}{2}-4$

Đến đây thì rõ rồi 

Bất đẳng thức trên theo mình thì là không chính xác. Vì $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \geq (a+b)^{2}$ chứ không phải là $\frac{3}{4} a^{2}+ab+b^{2} \leq (a+b)^{2}$. Nên bđt chứa 2 tích ngược chiều nhau. Nên ko thể giải bđt này bằng AM-GM 

Thế này nhé bạn

Áp dụng bđt $4xy\leq (x+y)^{2}$

$4(a^{2}+ab+b^{2})(ab+bc+ca)\leq (a^{2}+2ab+b^{2}+bc+ca)^{2}=(a+b)^{2}(a+b+c)^{2}$

Giải phương trình : $x^{3}=x+1+3\sqrt{x+2}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có : $a^{3}+a^{3}+1\geq 3a^{2}$

Tương tự với các BĐT còn lại. Cộng vế theo vế được $2\sum a^{3}+3\geq 3\sum a^{2}=9\Rightarrow \sum a^{3}\geq 3$   (1)

Có $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9\Rightarrow a+b+c\leq 3$   (2)

Từ (1) và  (2) suy ra đpcm

Ai giải giùm câu 3 với 

Tách để đưa biểu thức trong căn thành bình phương

cách tách hay hơn. Ví dụ $3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^{2} ; 6+4\sqrt{2}=(2+\sqrt{2})^{2}$

$\sqrt{3+\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{3+\sqrt{13+2\sqrt{12}}}=\sqrt{3+\sqrt{(1+\sqrt{12})^{2}}}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=\sqrt{3}+1$

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

 

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

Sorry bạn. Mình nhìn nhầm.

Giải:

ĐK: $x\geq 5$ (chắc quên chỗ nào đó )

pt $\Leftrightarrow 5x^{2}+14x+9=25(x+1)+x^{2}-x-20+10\sqrt{(x+1)(x^{2}-x-20)}$

    $\Leftrightarrow 2x^{2}-5x+2=5\sqrt{(x^{2}-4x-5)(x+4)}$

    $\Leftrightarrow 2(x^{2}-4x-5)+3(x+4)=5\sqrt{(x+4)(x^{2}-4x-5)}$

Nhận thấy $x=-4$ không phải là nghiệm của pt nên chia cả hai vế của pt cho $x+4$ ta được: 

$2\frac{x^{2}-4x-5}{x+4}+3-5\sqrt{\frac{x^{2}-4x-5}{x+4}}=0$

Đến đây thì rõ rồi.

 Đắng lòng quá. Mai kiểm tra văn mà chưa ôn gì

đề là x - 1 mà

ĐK x $\geq$5 chứ

Giải phương trình : $\sqrt{5x^{2}-14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x-1}$

2. $4a+\frac{1}{a}=4a+\frac{1}{4a}+\frac{3}{4a}\geq 2+\frac{3}{4.\frac{1}{4}}=5$

Họ tên : Lê Xuân Tùng

Nick trong diễn đàn (nếu có) : Nhok Tung

Năm sinh : 2000

Hòm thư : [email protected]

Dự thi cấp : THCS