Bạn xem tại đây : http://diendantoanho...rac32/?p=552669

Giải hệ PT $x+\frac{3x-y}{x^{2}+y^{2}}=3$ $\wedge   y-\frac{x+3y}{x^{2}+y^{2}}$=0

Giải phương trình :

1. $x^{4}+4x^{2}-12x+3=0$

2. $8x^{3}-6x-1=0$

Xét các số nguyên tố > 4. Khi chia cho 4 chỉ có thể dư 1, 3 hay có dạng 4k $\pm$ 1

2. $4a+\frac{1}{a}=4a+\frac{1}{4a}+\frac{3}{4a}\geq 2+\frac{3}{4.\frac{1}{4}}=5$

Giải phương trình $\frac{2x+3}{x^{2}-4}=\sqrt{x+1}$

2. ta có $(a^{4}+b^{4})(a^{2}+b^{2})\geq (a^{3}+b^{3})^{2}\Rightarrow \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}$

$(a^{3}+b^{3})(a+b)\geq (a^{2}+b^{2})^{2}\Rightarrow \frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b}{2}$

Tương tự, cộng vế theo vế của các BĐT ta được $\sum \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \sum \frac{a+b}{2}=3$

1. Ta có $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}\sum \sqrt{a}b$

Cần cm $\sum \sqrt{a}b\leq 3$

Ta có $(\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a)^{2}\leq (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 9\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}b\leq 3$

=> đpcm

$y(x^2+x+1)=yx^2+xy+y=(xy-1)x+xy-1+x+y+1\Rightarrow x+y+1\geqslant xy-1\Leftrightarrow (x-1)(y-1)\leqslant 3$

Vì sao suy ra đc cái này, nói rõ hơn được ko?     

Tìm x,y $\epsilon$ N* để $x^{2}+x+1$ chia hết cho xy - 1

 Cho a,b,c dương, $a+b+c=3$. Chứng minh:

 

      $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{2\sum \sqrt{a}}$.

Ta có $\sum \frac{1}{1+bc}\geq \frac{9}{3+\sum ab}\geq \frac{9}{3+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=\frac{3}{2}$

b) Đặt $\sqrt[3]{x^{2}-2}$=y, ta có $y^{3}=x^{2}-2$ và $y^{2}=2-x^{3}$

Đây là hệ PT đối xứng

b) Thay a =b=c =0,5 thì BĐT sai    

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh

a) $\sqrt[3]{4(a^3+b^3)}+\sqrt[3]{4(b^3+c^3)}+\sqrt[3]{4(c^3+a^3)}\geq 2(a+b+c)$

b) $\frac{5b^2-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^2-b^3}{cb+3c^2}+\frac{5a^2-c^3}{ac+3a^2}\leq a+b+c$

a) Ta có $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\geq (a+b)^{3}-\frac{3(a+b)^{3}}{4}=\frac{(a+b)^{3}}{4}\Rightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}\Rightarrow$\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}\geq a+b$

Tương tự rồi cộng vế theo vế của các BĐT ta được đpcm

Giải phương trình : $\sqrt[3]{7x-8}+\sqrt{\frac{7-2x^{2}}{6}}=x$

Cho ba số a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$. Chứng minh trong ba số a,b,c phải có ít nhất một số âm, một số dương.

Tìm m để phương trình sau có nghiệm $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x^{2}}=m$

ta có $(\frac{a}{b+c})^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3a}{4b+4c}$

tương tự vs 2 cái còn lại cộng vế theo vế ta có

$\sum \frac{a}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

đến đây dễ rồi

Đề là $\sum (\frac{a}{a+b})^{3}$ mà

đề vậy chắc ko rút gọn được nữa     

$1)$ Cho ba số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng

$\sum \frac{a}{bc(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)}$

$2)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sum ab = 1$

Chứng minh rằng : $\sum \frac{a}{(3a+5b)^{3}} \geq \frac{9}{512}$

câu 1 thay a = b =c = 1 vào thì BĐT sai    

phải là $\sum \frac{a}{bc(c+a)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$ thì phải

1. Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}$+$\frac{c^2a}{b^3(a+c)}$+$\frac{a^2b}{c^3(a+b)}$ $\geq$$\frac{a+b+c}{2}$

2 Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi bất kì CMR:

$(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})^2\geq 4(ab+bc+ca)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})$

Câu 1. thay a = b = c = 2 thì BĐT sai

có ở đây : http://diendantoanho...c1y2geqslant-9/

$\sum \frac{1}{a^2+b^2}+\sum \frac{1}{\sum a^2-ab}\geqslant 9\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geqslant 3;LHS\geqslant \frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2(1-a^2)+\sum ab(1-ab)}=\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{(ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2)+\sum a^2b^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum a^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)$ (true)

Khó hiểu wa    

1. Đề đúng phải là $\sqrt{x^{2}+12}-3x=\sqrt{x^{2}+5}-5$ thì phải

ok. đã fix