Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}$
đặt $\frac{ab}{c}=x,\frac{bc}{a}=y,\frac{ca}{b}=z$
Ta có xy+yz+xz=1
P = x + y + z $\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$=$\sqrt{3}$
Có 219 mục bởi Nhok Tung (Tìm giới hạn từ 25-05-2020)
Đã gửi bởi Nhok Tung on 01-05-2016 - 07:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$. Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}$
đặt $\frac{ab}{c}=x,\frac{bc}{a}=y,\frac{ca}{b}=z$
Ta có xy+yz+xz=1
P = x + y + z $\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$=$\sqrt{3}$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 09-07-2015 - 16:22 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đặt y=x-2 => x = y+2. thay vào ta có pt $y^{2}+8y+15+m=0$ (*)
Ta phải có pt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
hay $\Delta '>0\Leftrightarrow m<1$ và 15+m $\neq -15$
Vậy m < 1 và m khác -15
Đã gửi bởi Nhok Tung on 04-02-2016 - 18:18 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b>0$ chứng minh các bất đẳng thức sau:
$3a^2+2ab+3b^2\geq 2(a+b)\sqrt{2(a^2+b^2)}$
$VT=(a+b)^{2}+2(a^{2}+b^{2})\geqslant 2\sqrt{(a+b)^{2}.2(a^{2}+b^{2})}\doteq 2(a+b)\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 18-02-2017 - 22:58 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x+y+z=3
Tìm max A= $\sum \sqrt{ \frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$
$\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}=\frac{x\sqrt{y+2}}{\sqrt{(x^{2}+y+z^{2})(1+y+1)}}\leq \frac{x\sqrt{y+2}}{x+y+z}$
Do đó $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}\leq \frac{\sum x\sqrt{y+2}}{x+y+z} =\frac{\sum x\sqrt{y+2}}{3}$
Ta chứng minh $\sum x\sqrt{y+2}\leq 3\sqrt{3}$ (*)
Ta có $x\sqrt{y+2}=\frac{1}{\sqrt{3}}x\sqrt{y+2}\sqrt{3}\leq \frac{xy+5x}{2\sqrt{3}}$ (Theo BĐT AM-GM)
Cộng vế theo vế, kết hợp với $\sum xy\leq \frac{\sum x}{3}=3$ suy ra (*) được chứng minh
Từ đó suy ra $\sum \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}+y+z^{2}}}$ $\leq \sqrt{3}$
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Đã gửi bởi Nhok Tung on 19-05-2015 - 14:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cách này phải biết được M $\leq$ 10
Đã gửi bởi Nhok Tung on 11-01-2019 - 11:40 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 2:
1. Giả sử a, b đều không chia hết cho 3, khi đó $a^{2},b^{2}\equiv 1(mod 3)\rightarrow ab\equiv 2(mod3)$
Do a, b bình đẳng nên có thể giả sử a = 3k + 2, b = 3p + 1 (k, p $\epsilon$ N).
Thay vào pt ban đầu ta được $[(3k+2)^{2}-(3k+2)(3p+1)+(3p+1)^{2}]\vdots 9 \Leftrightarrow (9k+3) \vdots 9$ (Vô lí)
Vậy ta có đpcm.
2. Do $9^{n}+11$ không chia hết cho 3, mà tích của k số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho k nên $k\leq 2$ => k = 2
Giả sử $(9^{n}+11)=m(m+1)\Leftrightarrow m^{2}+m-(9^{n}+11)=0$
$\Delta =1+4(9^{n}+11)=(2.3^{n})^{2}+45=t^{2}\rightarrow (t-2.3^{n})(t+2.3^{n})=45=1.45=3.15=5.9$
Đến đây tìm được n = 1 thỏa mãn đề bài.
Đã gửi bởi Nhok Tung on 30-04-2015 - 09:26 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Đặt x2+y2-1=a, $\frac{y}{x}=b$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 26-02-2017 - 16:23 trong Bất đẳng thức và cực trị
Sao chứng minh được chỗ chữ đỏ vậy?
BĐT Bunyakovsky đó ạ
Đã gửi bởi Nhok Tung on 02-03-2017 - 20:45 trong Dãy số - Giới hạn
Cho $S_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( 2+\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{3}}{3}+...+\frac{2^{n}}{n} \right )$
Tìm lim Sn
Đã gửi bởi Nhok Tung on 25-05-2016 - 22:43 trong Đại số
$pt có no nguyên \Leftrightarrow \Delta =a^4-4a-4 là SCP$
$N a>1+\sqrt{2}\Rightarrow (a^2-1)^2<\Delta <(a^2)^2(l)$
$\Rightarrow a\leq 1+\sqrt{2}\Leftrightarrow a\in \left \{ 0;1;2 \right \}$
PT có nghiệm nguyên => $a^{4}-4a-4$ là số chính phương
+ Nếu a < 3 ta tìm đc a = 2 thỏa mãn
+ Nếu a $\geq$ 3 ta có:
$(a^{2})^{2}>a^{4}-4a-4>(a^{2}-1)^{2}$, khi đó delta không thể là số chính phương
Vậy a=2 là giá trị cần tìm
Đã gửi bởi Nhok Tung on 25-05-2016 - 23:16 trong Bất đẳng thức và cực trị
CMR với mọi a,b,c dương ta có:
$(a+b+c)^{5}\geq 81abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Ta có bđt phụ : $3abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a+b+c}$
Do đó VP $\leq$ $\frac{27(ab+bc+ca)^{2}}{a+b+c}(a^{2}+b^{2}+c^{2}) =\frac{27}{a+b+c}.(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)(a^{2}+b^{2}+c^{2})\leq \frac{27}{a+b+c}.\frac{[a^{2}+b^{}+c^{2}+2(ab+bc+ca)]^{3}}{27} =\frac{27}{a+b+c}.\frac{(a+b+c)^{6}}{27}=(a+b+c)^{5}$
=> đpcm
Đã gửi bởi Nhok Tung on 24-07-2015 - 12:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
1. Ta có $\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}\sum \sqrt{a}b$
Cần cm $\sum \sqrt{a}b\leq 3$
Ta có $(\sqrt{a}b+\sqrt{b}c+\sqrt{c}a)^{2}\leq (ab+bc+ca)(a+b+c)\leq 9\Leftrightarrow \sum \sqrt{a}b\leq 3$
=> đpcm
Đã gửi bởi Nhok Tung on 16-07-2015 - 09:33 trong Bất đẳng thức - Cực trị
$\sum \frac{1}{a^2+b^2}+\sum \frac{1}{\sum a^2-ab}\geqslant 9\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{1-a^2}+\sum \frac{ab}{1-ab}\geqslant 3;LHS\geqslant \frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{\sum a^2(1-a^2)+\sum ab(1-ab)}=\frac{(\sum a^2+\sum ab)^2}{(ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2)+\sum a^2b^2}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum a^4+abc(a+b+c)\geqslant \sum ab(a^2+b^2)$ (true)
Khó hiểu wa
Đã gửi bởi Nhok Tung on 21-05-2015 - 17:40 trong Bất đẳng thức và cực trị
cách này hơi khó hiểu
Đã gửi bởi Nhok Tung on 20-05-2015 - 20:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c > 0, chứng minh : $\frac{ab}{3a+4b+5c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ca}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 16-05-2015 - 08:29 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c không âm, thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh $\left ( a-1 \right )^{3}+\left ( b-1 \right )^{3}+\left ( c-1 \right )^{3}\geq -\frac{3}{4}$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 05-05-2015 - 21:34 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Thế giải HPT này thế nào vậy?
Đã gửi bởi Nhok Tung on 05-07-2015 - 18:50 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1 : Cho a;b;c lớn hơn hoặc bằng 0 . CMR : $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geqslant 2$ với $(b+c+d)(a+c+d)(a+b+d)(a+b+c)> 0$
Bài 2 : Cho x;y > 0 ; $x+y\leqslant 1$ . CMR : $(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})\geqslant 9$
Ta có : $(1-\frac{1}{x^{2}})(1-\frac{1}{y^{2}})=(1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})=(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy})(1-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{xy})\geq [1+\frac{4}{x+y}+\frac{4}{(x+y)^{2}}][1-\frac{x+y}{xy}+\frac{1}{xy}]\geq (1+4+4)(1-\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy})=9$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 05-07-2015 - 18:54 trong Bất đẳng thức và cực trị
$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\sum \frac{a}{\sqrt{b+c+d}.\sqrt{a}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c+d}=2$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 16-07-2015 - 10:14 trong Bất đẳng thức và cực trị
$1)$ Cho ba số thực dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng
$\sum \frac{a}{bc(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)}$
$2)$ Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\sum ab = 1$
Chứng minh rằng : $\sum \frac{a}{(3a+5b)^{3}} \geq \frac{9}{512}$
câu 1 thay a = b =c = 1 vào thì BĐT sai
phải là $\sum \frac{a}{bc(c+a)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^{2}}$ thì phải
Đã gửi bởi Nhok Tung on 26-04-2015 - 09:11 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho 3 số x,y,z thỏa mãn x,y,z $\epsilon$[-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 11$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 09-07-2015 - 15:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng BĐT AM-GM
$a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{1(b-1)}+b\sqrt{1(a-1)}\leq \frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab$
Đã gửi bởi Nhok Tung on 19-07-2015 - 14:06 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
b) Đặt $\sqrt[3]{x^{2}-2}$=y, ta có $y^{3}=x^{2}-2$ và $y^{2}=2-x^{3}$
Đây là hệ PT đối xứng
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học