Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{xyz+x^{2}+1}+\frac{y}{xyz+y^2+1}+\frac{z}{xyz+z^2+1}$
There have been 607 items by PlanBbyFESN (Search limited from 06-06-2020)
Posted by PlanBbyFESN on 15-10-2017 - 23:14 in Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{xyz+x^{2}+1}+\frac{y}{xyz+y^2+1}+\frac{z}{xyz+z^2+1}$
Posted by PlanBbyFESN on 03-10-2017 - 17:40 in Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$.
Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^{2}+c^{2}+2}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}+2}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}+2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}$
Posted by PlanBbyFESN on 01-09-2017 - 23:29 in Bất đẳng thức - Cực trị
$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ 3bc+4ca+5ab\leq 6abc & \end{matrix}\right.$
Tìm MAX:
$\frac{3a+2b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Posted by PlanBbyFESN on 17-08-2017 - 21:12 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $\left\{\begin{matrix} a>b>c\geq 0 & \\ 3ab+5bc+7ca\leq 9 & \end{matrix}\right.$
CMR:
$\frac{32}{(a-b)^{4}}+\frac{1}{(b-c)^{4}}+\frac{1}{(c-a)^{4}}\geq \frac{22}{9}$
Posted by PlanBbyFESN on 15-08-2017 - 14:17 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c>0$ và $a=max\left \{ a;b;c \right \}$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
$P=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$
Posted by PlanBbyFESN on 12-08-2017 - 22:51 in Bất đẳng thức và cực trị
Lời giải của hanguyen445 sai vì bất đẳng thức $(*)$ không đúng. Bài này có thể chứng minh bằng Cauchy-Schwarz lúc trước có một bạn đã đăng lên diễn đàn và mình cũng có đăng một bài mạnh hơn của nó.
Còn link không anh ?
Posted by PlanBbyFESN on 10-08-2017 - 22:52 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=3$
CMR: $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{abc}{2}\leq 2$
Posted by PlanBbyFESN on 08-08-2017 - 13:11 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số thực .
Chứng minh :
$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}.\left [\frac{a+b}{c} +\frac{b+c}{a}+ \frac{c+a}{b}\right ]$
Posted by PlanBbyFESN on 06-08-2017 - 14:48 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn: $a+b+c+1=2abc$
Tìm gái trị nhỏ nhất của :
$P=\frac{ab}{a+b+1}+\frac{bc}{b+c+1}+\frac{ca}{c+a+1}$
Posted by PlanBbyFESN on 13-07-2017 - 07:52 in Bất đẳng thức - Cực trị
Giá trị lớn nhất là $\frac18,$ anh có lời giải nhưng không phải của anh nên không post. Nó là đề thi của Hàn Quốc 2012.
(Cười) Em chỉ nói là hi vọng thôi. Nếu anh có lời giải không BW quá thì post cho mọi người mở mang tầm mắt ạ.
Bất đẳng thức này không thể vận dụng bất cứ phương pháp cổ điển hay hiện đại nào để giải cả, vì nó sai. :v
Anh chỉ rõ hơn được không anh.
Posted by PlanBbyFESN on 11-07-2017 - 18:18 in Bất đẳng thức - Cực trị
Bài 1: Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh:
$\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\geqslant \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$
Bài 2: Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh:
$3(a+b+c)\geqslant 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})$
Bài 3: Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=2abc+1$. Chứng minh:
Tìm giá trị lớn nhất: $P=(a-2bc)(b-2ca)(c-2ab)$
Bài 4: Cho $a,b,c$ dương có tổng bằng 3. Chứng minh:
$(a^3+b)(b^3+c)(c^3+a)+10\leq 6(a^2+b^2+c^2)$
Hi vọng lời giải vận dụng những cái cổ điển xinh đẹp và chính chủ nhé!
Posted by PlanBbyFESN on 08-06-2017 - 18:10 in Bất đẳng thức và cực trị
$\sqrt{\frac{a}{a+b}}+\sqrt{\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{c}{c+a}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$$\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq \sqrt{\left [ 2\sum \left (a+b \right ) \right ]\left [ \sum \frac{2a}{(a+b)(c+a)} \right ]}=\sqrt{\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\leq 3$ (C-S & AM-GM)
Posted by PlanBbyFESN on 05-06-2017 - 18:24 in Xử lí vi phạm - Tranh chấp - Khiếu nại
Ừm hihi
Posted by PlanBbyFESN on 05-06-2017 - 17:45 in Xử lí vi phạm - Tranh chấp - Khiếu nại
ĐHV PlayESPN
Mình là PlanBbyFESN bạn ơi
Posted by PlanBbyFESN on 02-06-2017 - 14:54 in Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z= 1$.
Chứng minh:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+48(xy+yz+zx)\geq 25$
Posted by PlanBbyFESN on 01-06-2017 - 19:48 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $x,y,z>0$ và $xyz=1$. CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geqslant$$x+y+z$
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}=x+y+z$
$\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}}=\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}$
Posted by PlanBbyFESN on 25-05-2017 - 11:03 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho a, b ,c > 0. a+ b + c =3. Chứng minh: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca) \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)\geq 9$
Áp dụng Am-Gm:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2(ab+bc+ca)=(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})+(ab+bc+ca)+(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})(ab+bc+ca)^{2}}=3\sqrt[3]{\frac{(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(ab+bc+ca)^{4}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{9a^{2}b^{2}c^{2}(a+b+c)^{2}}{3a^{2}b^{2}c^{2}}}=9$
(Áp dụng BĐT: $(ab+bc+ca)^{2}\geq 3abc(a+b+c)$
.................................
Posted by PlanBbyFESN on 24-05-2017 - 11:00 in Bất đẳng thức và cực trị
1,Cho các số thực dương a,b,c. CMR:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$
2,Cho các số thực dương a,b,c.CMR:
$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$
Câu 1 đề là $a,b,c$ không âm
Posted by PlanBbyFESN on 21-05-2017 - 21:11 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho các số dương a,b,c, thỏa mãn a+b+c=3 . Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}} \leq \frac{3}{2}$
( P/s : Có thể giải bài này bằng phương pháp tiếp tuyến không ạ ? m.n giúp em với ))
$a+b+c=3\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca$
$\frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}}\leq \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+ab+bc+ca}}=\frac{ab}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}.\left [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b} \right ]$
$\Rightarrow \frac{ab}{\sqrt{c^{2}+3}} + \frac{bc}{\sqrt{a^{2}+3}} + \frac{ac}{\sqrt{b^{2}+3}}\leq \frac{1}{2}.\sum [ \frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}]=\frac{3}{2}\blacksquare$
P/S: Có
Posted by PlanBbyFESN on 21-05-2017 - 20:57 in Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $0\leq a,b,c,d\leq 1$. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{bcd+2}+\frac{b}{cda+2}+\frac{c}{abd+2}+\frac{d}{abc+2}\leq 1+\frac{1}{abcd+2}$
$\frac{a}{bcd+2}+\frac{b}{cda+2}+\frac{c}{abd+2}+\frac{d}{abc+2}\leq \frac{a+b+c+d}{abcd+2}\leq \frac{ab+1+cd+1}{abcd+2}\leq \frac{abcd+1+2}{abcd+2}=1+\frac{1}{abcd+2} \blacksquare$
$\begin{Bmatrix} 0\leq a,b,c,d\leq 1 & & \\ (a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow ab+1\geq a+b & & \\ (c-1)(d-1)\geq 0\Leftrightarrow cd+1\geq c+d & & \\ (ab-1)(cd-1)\geq 0\Leftrightarrow abcd+1\geq ab+cd \end{Bmatrix}$
Posted by PlanBbyFESN on 08-05-2017 - 21:18 in Góp ý cho diễn đàn
BQT làm thế là không đúng rồi nhé. tienduc chưa xứng đáng để làm ĐHV THCS, bạn ấy thường xuyên hỏi bài, chất lượng bài thấp, toàn bài dễ thôi. Có nhiều bạn cần được set hơn như: Mr Cooper, NHoang1608, Nguyenphuctang hay HoangKhanh2002.....
Đây là những thành viên thường xuyên giải các bài khó và đóng góp nhiều cho diễn đàn. Chưa xứng đáng, mong BQT xem xét lại
Điều hành viên không phải cứ như bạn nghĩ đâu bạn à. Ban Quản Trị là vì sự phát triển diễn đàn nên quyết định luôn là đúng đắn nhất. Bạn không có quyền phán xét ở đây, trong topic này!
Posted by PlanBbyFESN on 28-03-2017 - 22:23 in Bất đẳng thức - Cực trị
Bài toán: Cho $ a,b,c$ là ba cạnh của tam giác.
CMR: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}+\frac{3}{2}\geq \frac{(x+y+z)^3}{6xyz}$
Posted by PlanBbyFESN on 27-03-2017 - 20:48 in Bất đẳng thức - Cực trị
Hic đề cho a, b, c $\in \mathbb{R}$ hả chị?
Đúng rồi bạn
Posted by PlanBbyFESN on 27-03-2017 - 01:04 in Bất đẳng thức - Cực trị
Bài toán: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab+bc+ca+1$
Tìm MIN: $A=(ab+bc+ca)^{2}+6abc-a^{2}-b^{2}-c^{2}$
Posted by PlanBbyFESN on 27-03-2017 - 01:00 in Bất đẳng thức - Cực trị
Bài toán: Với $a,b,c>0$
CMR: $\sqrt{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học