Cho $a \neq 0, b \neq 0$ thỏa mãn $(a + b)ab = a^{2} - ab + b^{2}$. Tìm GTLN của biểu thức $A = \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}}$

Đặt $x=a+b$ và $y=ab=>x^2-3y=xy<=>y=\frac{x^2}{x+3}$ $(1)$
Từ giả thiết suy ra: $ a^{2} - ab + b^2=ab(a+b)\leqslant a^3+b^3$
$<=>a^2-ab+b^2\leqslant (a+b)(a^2-ab+b^2)<=>x=a+b\geqslant 1$
Ta có:
$A=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{ab}+\frac{1}{b^2})$

$<=>A=\frac{x}{y}(\frac{x^2-2y}{y^2}-\frac{1}{y})$

$<=>A=\frac{x(x^2-3y)}{y^3}$
Áp dụng $(1)$ và giả thiết suy ra

$A=\frac{x^2}{y^2}=\frac{(x+3)^2}{x^2}=(1+\frac{3}{x})^2\leqslant (1+3)^2=16$

Vậy $A_{max}=16$ khi $x=1<=>a=b=\frac{1}{2}$

Cho $a,b,c>0$ và không có hai số nào đồng thời bằng không.Chứng minh rằng:

    $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Cho x,y,z > 0. C/m $\frac{yz}{x^2+2yz} + \frac{zx}{y^2+2zx} + \frac{xy}{z^2+2xy} \leq 1$

$2VT=\sum \frac{2yz}{x^2+2yz}=3-\sum \frac{x^2}{x^2+2yz}\leqslant 3-\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=2$

$=>VT\leqslant 1$

Cho $x,y,z$ thoả mãn $0<a\leqslant x,y,z\leqslant b$.Tìm $GTLN$ của biểu thức
$T= \frac{|ab-xy|}{(x+y)z}+ \frac{|bc-yz|}{(y+z)x}+ \frac{|ca-zx|}{(z+x)y}$

Cho $n$ số thực $x_1,x_2,...,x_n$.Chứng minh rằng:

   $\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}\leqslant \sqrt{n}$

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}$. Gọi $O$ là điểm bất kì trong tam giác.Vẽ $AO,BO,CO$ cắt $BC,CA,AB$ tại $P,Q,R$. Chứng minh rằng: $OP+OQ+OR<BC$

Cho dãy giảm $n$ số dương $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ thỏa mãn điều kiện $x_1+x_2+....+x_k\geqslant \sqrt{k}$ $(n\geqslant k)$.Chứng minh rằng: $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2>\frac{1}{4}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge ab+bc+ca+\left(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{13}{4}+4\sqrt{2}}\right)(a-1)(b-1)(c-1)$$

Tìm $f(x)$ sao cho: $\int_{0}^a \sqrt{f'(x)^2+1} dx=\frac{a}{2}$ $(a$ là hằng số)

(AoPS) Cho $p$ là số nguyên tố $(p>7)$ và $s$ là số nguyên.Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho: $\prod_{i=1}^n (x_i^2-1)\equiv s$ $(mod$ $p)$

Tìm $a,b\in \mathbb{Z^+}$ sao cho $a^3–2b$ và $b^3+a$ là số chính phương

Giải phương trình nghiệm tự nhiên: $7x^2+9y^2=16z^2$ 

 

Tổng quát: Giải phương trình nghiệm tự nhiên $ax^2+by^2=(a+b)z^2$ $(a,b$ là hệ số$)$

Cho $m,n,u,v\in \mathbb{Z^+}$ thoả mãn $m+n=10$ và $u+v=20$.Tìm $GTLN,GTNN$ của biểu thức $f=\frac{mn}{mu^2+nv^2}$

Cho $x_1,x_2,...,x_n\in \mathbb{Z^+}$ thoả mãn $x_1+x_2+...+x_n=k$ $(k\in \mathbb{N}$ $( k\geqslant n)$.Tìm $GTLN,GTNN$ của $P=x_1x_2....x_n$

Hai canô di chuyển từ $A$ và $B$ cách nhau $32km$ với vận tốc $V$ để trao đổi hàng hóa.Thời gian đi và về của hai cano chênh nhau $2h$.Nếu tăng vận tốc cano gấp $3$ lần thi thời gian chênh nhau $12$ phút.Cho biết vận tốc dòng nước là $v$ và chảy theo dòng từ $A\rightarrow B$.

a)Chỗ gặp nhau gần $A$ hay $B$?

b)Tìm $V,v$ và chỗ gặp nhau?

Cho $n\in \mathbb{Z^+}$ và kí hiệu $U(n)=\left \{ d_1,d_2,d_3,...,d_m \right \}$ là ước nguyên dương của $n$.Chứng minh:

$d_1^2+d_2^2+d_3^2+...+d_m^2\leq n^2\sqrt{n}$

Cho ba số $a,b,c$ thỏa: $a\geq b\geq c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh:

$[m(a+b-c)-ab][m(b+c-a)-bc][m(c+a-b)-ca]\leq \frac{a^2b^2c^2}{8}$

Tìm $f(x)$ xác định trên $D=R$ \ $(\pm\frac{1}{2})$ thoả $f(x-1)-3f(\frac{x-1}{1-2x})=1-2x$ với mọi $x\in D$

Cho $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$.Chứng minh:

  $a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\geq \frac{2n+1}{3}(a_1+a_2+...+a_n)$

1/Cho đa thức $P_0(x)=x^3+22x^2-6x+15$.Với $n\in \mathbb{Z^+}$, ta đặt

            $P_n(x)=P_{n-1}(x-n)$

Tính hệ số của $x$ trong $P_{21}(x)$

 

2/Cho $a,b,c,m,n,p$ là các số nguyên dương.Đặt $A=a+b+c+m+n+p,B=ab+bc+ca-mn-np-pm$ và $C=abc+mnp$.Biết $B,C$ đều chia hết cho $A$.Chứng minh $A$ là hợp số

1/Cho $n\in \mathbb{N^*}$.CMR: $\sqrt{2}+\sqrt{3^2}+...+\sqrt{(n+1)^n}<(n+1)!$

2/Cho $n$ số nguyên dương phân biệt $i_1,i_2,....,i_n$.CMR
$i_1^2+i_2^2+...+i_n^2\geqslant \frac{2n+1}{3}(i_1+i_2+....+i_n)$

Cho $a_1,a_2,..,a_n;b_1,b_2,..b_n;c_1,c_2,...c_n>0$ và $A=\sum a_1;B=\sum b_1;C=\sum c_1$.Chứng minh rằng:
$min\{a_1b_1c_1;a_2b_2c_2;a_3b_3c_3;...;a_nb_nc_n\} \leqslant \frac{ABC}{n^3}$

Cho $a,b,c$ thỏa $a\geq b\geq c>a-b$ và $a+b+c=2m$.Chứng minh rằng:

    $\left [ m(a+b-c)-ab \right ]\left [ m(b+c-a)-bc \right ]\left [ m(c+a-b)-ca \right ]\leq \frac{a^2b^2c^2}{8}$

 

Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm:

$log_{\frac{1}{2}}\sqrt{x^2-3x+2}-log_2\sqrt{x^2-5x+4}=log_{\frac{1}{4}}(4x^3-25x^2+38x-17)+log_{\frac{1}{2}}m^2$

Chứng minh $\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+...+\frac{x^2}{2!}+x+1=0$ không có nghiệm hữu tỉ với $n\geq 2$