Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn:

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\dfrac{8}{10}, x_{2}=\dfrac{9}{10} \\ x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt[3]{x_{n}} \end{matrix}\right.$$

Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. Tìm min của $P=\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c}$

Ta có : $P+1= \sum \frac{a^2+bc}{b+c}+a$(Do $\sum a=1$) = $\sum \frac{a^2+bc+ab+ac}{b+c} = \sum \frac{(a+c)(a+b)}{b+c} \geq 2(a+b+c) =2$ (bất đẳng thức này chính là $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y} \geq x+y+z$)

=> $P \geq 1$

Với a,b >0 thỏa mãn: $ab \leq 4$. 

Tìm Min :$P=\frac{2}{a^4}+\frac{2}{b^4}+\frac{3}{(a-b)^2}$

Cho x,y,z số thực thỏa mãn: $\sum x=0$ và $\sum x^2=1$

Tìm Min $A=x^5+y^5+z^5$

Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=3 và $0\leq a\leq b\leq c$.Tìm max của $P=\sqrt{abc}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}Nhâ

Nhận thấy $P=\sqrt{abc}(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}-1) = a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}-\sqrt{abc}$

Do b là số ở giữa => $\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{c}-\sqrt{b}) \leq 0$ (1) <=> $P= a\sqrt{c}+b\sqrt{a}+c\sqrt{b}-\sqrt{abc} \leq \sqrt{b}(a+c)$ (cái này tách (1) ra ta được )

<=> $P \leq \sqrt{b}(a+c) = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2b(a+c)(a+c)} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{(2a+2b+2c)^3}{27}}=2$.

DTXR <=> a=c=b=1

Với x,y thỏa mãn $x+y-1=sqrt{2x-4}+sqrt{y+1}$

Min, Max: $P=(x+y)^{2}-sqrt{9-x-y}+frac{1}{sqrt{x+y}}$

Cho tứ diện đều ABCD với AB=1. Gọi M là trung điểm của BC. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi tứ diện ABCD xoay quanh trục AM.

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.

Tìm Min: $P=\sqrt{(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)}+\frac{18}{a+b+2c}$

Cho x,y,z dương thỏa mãn : $x^2+y^2+z^2=3$

tìm Min: $P=\frac{1}{\sqrt{x^2+xy}}+\frac{1}{\sqrt{y^2+xy}}+\frac{2\sqrt{3}}{1+z}$

Ta có $P=\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}\geq \frac{\left ( x+y \right )^{2}}{2xy+3\left ( x+y \right )}+\frac{3}{x+y}-1=\frac{(x+y)^{2}}{6+x+y}+\frac{3}{x+y}-1$

Xét $f\left ( t \right )=\frac{t^{2}}{6+t}+\frac{3}{t}-1$ với $t=x+y\left ( t\in (0;2] \right )$

Đến đây em ko biết đạo hàm     

Bạn áp dụng BDT quá tay làm hàm đổi dấu rồi, đến đoạn này chỉ biến đổi tương đương thôi!

Cho a,b,c >0 thỏa mãn $(a+c)(b+c)=4c^2$. Tìm Min, Max(nếu có):

$P=\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $21ab + 2bc + 8ca \leq 12$

Tìm Min :

$P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}$

Cho x,y,z >0 và $2x+8y+21z \leq 12xyz$. 

MIN : $P = x+2y+3z$

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $3(bc)^2 +a^2 =2(a+bc)$. Tìm Min:

$P=\frac{a^2}{bc}+\frac{4}{(a+b)^2}+\frac{4}{(a+c)^2}$

Cho x,y,z >0 và $\sum x^2 = 2x$.

Max: $P = \frac{x+z}{x+2y+1}+\frac{z}{y+1}-\frac{4x^2}{(x+y)^2}$

Cho các số $ a, b, c \in R $ thỏa mãn $a, b, c \in [\dfrac{1}{2};1] $

Tìm GTLN của:

$P=\left | \dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b} \right |$

Cho x,y>0 thỏa mãn $x^4+y^4+\frac{1}{xy} = xy+2$. Tìm Max:

$P=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2}-\frac{3}{1+2xy}$

Cho các số thực x, y thỏa mãn: $x^2 + y^2 =1$

Tìm giá trụ lớn nhất của biếu thức:
$P= \sqrt{(5x+4y-4x^2)(1-y)}.(\sqrt{2-2y}+\sqrt{2-x\sqrt{3}+y}+\sqrt{x+x\sqrt{3}+y})$

Cho các số thực x, y thỏa mãn: $x^2 + y^2 =1$

Tìm giá trụ lớn nhất của biếu thức:
$P= \sqrt{(5x+4y-4x^2)(1-y)}.(\sqrt{2-2y}+\sqrt{2-x\sqrt{3}+y}+\sqrt{x+x\sqrt{3}+y})$

Một số bdt dùng đạo hàm:

Bài 1: cho x,y>0, $x^4+y^4+\frac{1}{xy}=xy+2$ Max:

$P=\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2}-\frac{3}{1+2xy}$

Cho a,b,c >0;$a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.CMR:$a+b+c\geq \frac{3}{a+b+c}+\frac{2}{abc}$

theo tớ thì $a+b+c \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ mới đúng.

A,B,C là 3 góc tùy ý hay 3 Góc trong tam giác vậy?

Một số nguyên dương n được gọi là số đẹp nếu tồn tại các số nguyên dương a, b, c, d sao cho:

$n=\dfrac{2015a^4+b^4}{2015c^4+d^4}$

a/ Chứng minh có vô số số đẹp?

b/ Số 2014 có phải là số đẹp hay ko?

 

 

2) sin x + 4\cos x = 2 + Sin 2x

 

 

Bài 2: tao có: PT2 

<=>$sinx+4cosx-2-2sinxcosx=0$ <=> $(2cosx-1)(2-sinx)=0$ => $cosx=\frac{1}{2}$ hoặc $sinx=2$ (loại sinx=2)

1) $sin 4x + 2\cos ^{2}x = 1$

 

 

ta thấy: PT(1)

<=> $sin4x+2cos^{2}x-1=0$

<=> $2sin2xcos2x+cos2x=0$

<=> $cos2x(2sin2x+1)=0$ => $cos2x=0$ hoặc $sin2x=\frac{-1}{2}$