Tính tổng sau: $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)}$

Cho $x,y,z\epsilon [0;2]$. Tìm GTLN của:

$P=\frac{1}{8}(2-x)(2-y)(4-z)+\sum \frac{x}{y+z+2}$

 

(chỗ kia số 4 nha, không phải mình chép lộn đề đâu =) )

Xác định các số thực a, b để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên duy nhất.

$\left\{\begin{matrix} x-2y=a & \\ 2xy+z^2=b & \end{matrix}\right.$

Cho $c>\frac{1}{4}$. Tìm đa thức Q(x) sao cho: $(x ^2-x+c).Q(x)>0$ là đa thức với các hệ số đều dương.

Cho a, b, c dương có tổng bằng 3. CMR: $2\sum a^2b^2+3\leq 3\sum a^2$

xem lại link bạn ơi!

Giải bất phương trình:

$3^{2(x^2-1)}-36.3^{x-3}+3\geq 0$

Ta sẽ chứng minh BPT đúng với mọi x bằng cách khảo sát hàm: $f(x)=3^{2(x^2-1)}-36.3^{x-3}+3$

Ta có: $f'(x)=3^{2(x^2-1)}.ln3.4x-36.3^{x-3}.ln3$

$f'(x)=0\Leftrightarrow 3^{2(x^2-1)}.x=3^{x-1}\Leftrightarrow 3^{(2x+1)(x-1)}.x=1$ (1)

Xét hàm: $g(x)=3^{(2x+1)(x-1)}.x$

Có: $g'(x)=3^{(2x+1)(x-1)}(4ln3.x^2-ln3.x+1)>0$

g(x) đồng biến suy ra PT(1) có x=1 là nghiệm duy nhất. Từ đó ta cũng chứng minh được là với x>1 thì $f'(x)>0$, x<1 thì $f'(x)<0$

Lập BBT suy ra: $minf(x)=f(1)=0$, từ đó kết luận BPT đúng với mọi x thuộc R

Cho a, b, c >= 0 nhưng không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR: $\sum \frac{a}{a+\sqrt{a^2+3bc}}\leq 1$

Cho n số nguyên dương phân biệt $a_1$, $a_2$,.., $a_n$. CMR:

$a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\geq \frac{2n+1}{3}(a_1+a_2+...+a_n)$

chỗ này dấu bằng đâu xảy ra tại x=y=z

ko cần bạn vì nhân với cái BĐT kia mà 2 vế BĐT đó khi xảy ra đẳng thức thì bằng 0 mà

cái (x-z)^2 á

Cho a,b,c>0;a+b+c=1

C/m:$\frac{13}{4}\left ( ab+bc+ca \right )\leq 1+4abc\left ( \sum \frac{a}{\left ( a+1 \right )^{2}} \right )$

Ta có: $\sum \frac{a}{(a+1)^2}=\sum \frac{a^2}{a^3+2a^2+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^3+2\sum a^2+\sum a}=\frac{1}{\sum a^3+2\sum a^2+1}$

Đăt p, q, r với p=1. Quy về chứng minh: $\frac{4r}{3r-7q+4}+1\geq \frac{13}{4}q\Leftrightarrow r(28-39q)+91q^2-80q+16\geq 0$

Dễ có: $0<q\leq \frac{1}{3}$

Theo Schur bậc 1: $r\geq \frac{4pq-p^3}{9}=\frac{4q-1}{9}$

Có: $\frac{4q-1}{9}.(28-39q)+91q^2-80q+16\geq 0\Leftrightarrow (3q-1)(221q-116)\geq 0$ 

BĐT cuối đúng suy ra đpcm

$VT=\frac{abc(a^2b+b^2c+c^2a)+9(ab+bc+ca)+3abc+3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}{a^2b^2c^2+9abc+9(ab+bc+ca)+27}$

+Áp dụng bđt Cauchy: $\sum_{cyclic} (a^3+a^2b+ab^2)\geqslant 3(a^2b+b^2+c^2a)\iff a^2+b^2+c^2\geqslant a^2b+b^2c+c^2a$

 

+Đổi biến $p,q,r$ thì ta được: $VT\leqslant \frac{3q^2-2qr+9q}{r^2+9r+9q+27}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{3q^2-2qr+9q}{r^2+9r+9q+27}\leqslant \frac{3}{4}\iff 3r^2+r(8q+27)-(12q^2+9q-81)\geqslant 0$ $(*)$

Ta xét 2 trường hợp:
$q\leqslant \frac{9}{4}:$ Theo Schur bậc 1 thì $r\geqslant \max\{0,\frac{p(4q-p^2)}{9}\}=\max\{0,\frac{4q-9}{3}\}=0$

Thế thì $(*)\geqslant (q+3)(\frac{9}{4}-q)\geqslant 0$

$\frac{9}{4}\leqslant q\leqslant 3:$ Theo Schur bậc 2 thì $r\geqslant \frac{(4q-p^2)(p^2-q)}{6p}=\frac{(4q-9)(9-q)}{18}$

Do đó $(*)\geqslant (q-3)(q-\frac{9}{4})(4q^2-117q+81)\geqslant 0$

 

Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)\sim (1,1,1);(0,\frac{3}{2},\frac{3}{2})$ và các hoán vị

cho mình hỏi ngu là đi thi không có máy tính thì khúc sau xử lý nổi không :3 

Cho $x, y, z>0$, $x+y+z=1$. CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{x+y}{y+z}+\frac{y+z}{x+y}+1$

Cho x, y, z > 1 thỏa: $x+y+z=xyz$

Tìm GTNN của: $\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}$

Câu b. Chú ý: a+b=2-c. Sau đó nhân hết ra đặt p, q, r được biểu thức: 12r+qr+2>=2q^2
Tới đây dùng schur và xét 2 trường hợp q<1 và q>=1 là ra.

Sr mình onl ĐT ko latex được.

Tìm f: R->R thỏa: $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$

Cho a thuộc (0;1) 
Xét {Un}$\left\{\begin{matrix} &U_{1}=a & \\ &U_{n+1}=\frac{1}{2017} {U_n}^2+\frac{2016}{2017} \sqrt{U_n} & \end{matrix}\right.$
a) Chứng minh 0<Un<1 với mọi n nguyên dương
b) Chứng minh {Un} có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó

a. Quy nạp dễ dàng.

Giả sử có $0<u_n<1$

Khi đó hiển nhiên có $u_{n+1}>0$

$u_{n+1}<1\Leftrightarrow \frac{1}{2017} {u_n}^2+\frac{2016}{2017} \sqrt{u_n}<1\Leftrightarrow (\sqrt{u_n}-1)[(\sqrt{u_n}+1)(u_n+1)+2016]<0$ (đúng)

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.

b. Ta chỉ cần chứng minh dãy tăng rồi chuyển biểu thức truy hồi qua giới hạn là xong.

Thật vậy, ta có: $2017(u_{n+1}-u_n)=u_n^2+2016\sqrt{u_n}-2016u_n=u_n(u_n-1)-2016\sqrt{u_n}(\sqrt{u_n}-1)=\sqrt{u_n}(\sqrt{u_n}-1)(u_n+\sqrt{u_n}-2016)>0$

Dãy tăng nên tính được $limu_n=1$

Tìm CTTQ của dãy:

$u_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$u_{n+1}=2.3^{2^{n}}.u_{n}^2-3^{2^{n}.(n+1)}$

Tìm f: R->R thỏa:

$x^{2}f(x)+f(1-x)=2x-x^{4}$

Cho a, b, c >0. CMR: $\sum \frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}\geq \frac{3}{8}$

Trước tiên, ta chứng minh $f$ là đơn ánh.

Giả sử $f(y_{1})=f(y_{2})$ thì $f(xf(y_{1}))=f(xf(y_{2}))\Leftrightarrow y_{1}f(x)=y_{2}f(x)\Leftrightarrow y_{1}=y_{2}.$

Cho $x=y=1$ thì $f(f(1))=f(1)\Leftrightarrow f(1)=1$ ( vì $f$ là đơn ánh )

Cho $x=1$ thì $f(f(y))=y$

Với $y> 1$ thì $f(y)> 1$ ( vì $f$ là đơn ánh ). Với $x> y\geq 1$ thì

$f(x)=f(\frac{x}{y}.y)=f(\frac{x}{y}.f(f(y)))=f(y).f(\frac{x}{y})> f(y)$ suy ra $f$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}.$

Giả sử có một giá trị $x_{0}\in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_{0})\neq 0.$

+Nếu $f(x_{0})> x_{0}$ thì $f(f(x_{0}))> f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}.f(1)> f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}> f(x_{0})$ (vô lý).

+Nếu $f(x_{0})< x_{0}$ thì $f(f(x_{0}))< f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}.f(1)< f(x_{0})\Leftrightarrow x_{0}< f(x_{0})$ (vô lý).

* Từ đây suy ra hàm số thỏa mãn là $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}.$ Thử lại vào phương trình đầu thấy thỏa mãn.

Khúc đầu em làm chưa kĩ nên thiếu mất hàm f(x)=0 với mọi x rồi.

Khúc chữ đỏ thì anh không hiểu (sao f đơn ánh thì có ý đó được @ )

Với lại em chỉ xét với x>y>=1 sao lại kết luận hàm đồng biến trên R

 

Anh thì làm theo hướng biến đổi thay giá trị, đi đến được: f(x).f(1/x)=1 , với mọi x. Mà tới đây bí mất!

Có nhầm dấu không thê bạn ơi 

sr mình nhầm. đã sửa các bạn làm giúp 

 

Bài này có trog chuyên đề yếu tố ít nhất của thầy Cẩn 

làm giúp hoặc chụp mình xem lời giải với ạ. Tốt hơn là share mình tài liệu ấy với =)

À mình tìm được tài liệu ấy rồi. Tks bạn

Cho $x\geq y\geq z\geq 0$. CMR: $\sum \frac{x^2y}{z}\geq \sum x^2$

Cho $a, b, c\geq 0$ thỏa: $a+b+c=1$. CMR: $\sum \frac{a}{4b^2+1}\geq (\sum a\sqrt{a})^2$