Cho hình chóp S,ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SD=$a\sqrt{13}$, Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD

Lấy H là trung điểm AB $\rightarrow SH$ vuông góc AB $\rightarrow$ SH vuông góc $(ABCD)$

$\Delta SAB$ đều $\rightarrow SH=a\sqrt{3}$

Trong $\Delta SDH \rightarrow DH=\sqrt{SD^2-SH^2}=a\sqrt{10} \rightarrow AD=3a$

$\rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SH.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.a\sqrt{3}.2a.3a=2a^3\sqrt{3}$

Kẻ đt // BD cắt AB tại I, kẻ HK vuông góc CI, ta có:

$BD // CI \rightarrow BD // (SCI) \rightarrow d(BD,SC)=d(BD,SCI)=d(B,SCI)$

DCIH là hình bình hành $\rightarrow CI=BD=a\sqrt{13}$ (tính đc); $BI=CD=3a$

Dễ cm $CI$ vuông góc (SHK), kẻ HM vuông góc SK $\rightarrow$ HM vuông góc (SCI)

Ta có $HK.IC=BC.AI \rightarrow HK=\dfrac{12a}{\sqrt{13}}$

$\rightarrow HM=\dfrac{MK.SH}{\sqrt{KM^2+SH^2}}=...$

bn tính đc $HM$

Xong ta có: $d(B;SCI)=\dfrac{BI}{HI}.d(H,SCI)=\dfrac{3}{4}HM=...$

Cho x, y, z >0 và thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

CMR: $\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{x^{2}+z^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $\dfrac{x}{y^2+z^2}=\dfrac{x}{1-x^2}=\dfrac{x^2}{x(1-x^2)}$

Xét : $[x(1-x^2)]^2=\dfrac{1}{2}.2x^2(1-x^2)(1-x^2) \leq \dfrac{1}{2}.\dfrac{(2x^2+1-x^2+1-x^2)^3}{27}=\dfrac{4}{27}$

$\rightarrow x(1-x^2) \leq \dfrac{2\sqrt{3}}{9} \rightarrow \dfrac{x^2}{x(1-x^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}x^2$

Vậy $\sum \dfrac{x^2}{x(1-x^2)} \geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu "=" $\iff x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Giải bất phương trình:

                  $8x^3-13x^2+7x=(x+1)\sqrt[3]{3x^2-2}$

Đặt $\sqrt[3]{3x^2-2}=a$

$-a^3-(x+1)a+8x^3-13x^2+7x+3x^2-2=0$

$\iff -a^3-(x+1)a+8x^3-10x^2+7x-2=0$

$\iff (a-2x+1)(a^2+2xa-a+4x^2-3x+2)=0$

$\iff a=2x-1$ (vì phần trong ngoặc luôn vô nghiêm với $\Delta=-12x^2+8x-7<0$)

$\iff \sqrt[3]{3x^2-2}=2x-1$

Đến đây c lập phương 2 vế và tìm nghiệm

Giải phương trình

$\sqrt[3]{x^{3}+5x^{2}}-1=\sqrt{\frac{5x^{2}-2}{6}}$

$\sqrt[3]{x^3+5x^2}=\sqrt{\dfrac{5x^2-2}{6}}+1>0 \rightarrow x>-5$

Mà $x^2 \geq \dfrac{2}{5} \rightarrow x \geq \sqrt{\dfrac{2}{5}}$    v    $-5<x \le -\sqrt{\dfrac{2}{5}}$

$\sqrt[3]{x^3+5x^2}-x-2=\sqrt[3]{x^3+5x^2}-x-1$

$\dfrac{x^2+12x+8}{\sqrt[3]{x^3+5x^2}^2+(x+2)\sqrt[3]{x^3+5x^2}+(x+2)^2}=\dfrac{x^2+12x+8}{6(x+1)+\sqrt{6(5x^2-2)}}$

$\iff x^2+12x+8=0$   v    $\sqrt[3]{x^3+5x^2}^2+(x+2)\sqrt[3]{x^3+5x^2}+(x+2)^2=6(x+1)+\sqrt{6(5x^2-2)}$ (*)

Ta sẽ đi chứng minh đoạn sau vô nghiệm:

Đặt $\sqrt{\dfrac{5x^2-2}{6}}=a \rightarrow \sqrt[3]{x^3+5x^2}=a+1$

Thế vào (*) ta có: $(a+1)^2+(x+2)(a+1)+(x+2)^2-6(x+1)-6a=0$

$\iff a^2+xa+x^2-2a-x+1=0 \iff a^2+a(x-2)+x^2-x+1=0$

Xét $\Delta =(x-2)^2-4(x^2-x+1)=-3x^2 <0$ (do $x \not = 0$)

Vậy pt sau vô nghiệm

Vậy $x$ là nghiệm pt $x^2+12x+8=0$

Giải phương trình: $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x^2}=2x^2$

P/s: Xin lỗi mn tay nhanh hơn não.

ĐK: $x \geq 0$

Dễ thấy $x=0$ là nghiệm của pt:

Với $x >0$  ta có:

Ta có: $2x^2-\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^2}=0$

$\iff 2x^2-2x+(x-\sqrt{x})+(x-\sqrt[3]{x^2})=0$

$\iff 2x(x-1)+\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)+\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x}-1)=0$

$\iff 2x(x-1)+\dfrac{\sqrt{x}(x-1)}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt[3]{x^2}(x-1)}{\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}+1}=0$

$\iff (x-1)(2x+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}^2+\sqrt[3]{x}+1})=0$

$\iff x=1$ (vì phần trong ngoặc luôn dương với $x >0$)

Vậy pt có 2 nghiệm: $x=0;x=1$

 

Bài toán:

   **Cho $a,b>0$ thỏa mãn $(2+\sqrt{a})(2+\sqrt{b})\geq 9.$

Tìm min: 

             $M=\frac{a^3}{a^2+2b^2}+\frac{b^3}{b^2+2a^2}$

 

$(2+\sqrt{a})(2+\sqrt{b}) \geq 9$

$\iff 2(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{ab} \geq 5$

$\rightarrow \dfrac{a+b}{2} +2\sqrt{2(a+b)} \geq 2(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{ab} \geq 5$

$\rightarrow (\sqrt{a+b}-\sqrt{2})(\sqrt{a+b}+5\sqrt{2}) \geq 0 \rightarrow a+b \geq 2$

Ta có: $M=\sum \dfrac{a^3}{a^2+2b^2}=\sum [a-\dfrac{2ab^2}{a^2+b^2+b^2}] \geq \sum [a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}]$

$=\sum [a-\dfrac{2\sqrt[3]{ab^2}}{3}] \geq \sum [a-\dfrac{2}{9}(a+b+b)] =\dfrac{1}{3}(a+b) \geq \dfrac{2}{3}$

Vậy $Min=\dfrac{2}{3} \iff a=b=1$

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=\frac{121x-122y}{4xy} \\x^4+14x^2y^2+y^4=\frac{122x+121y}{x^2+y^2} \end{matrix}\right.$

Cho hàm số $y=\frac{x+m}{x+1}$ ($m$ là tham số thực) thỏa mãn $\underset{[1;2]}{miny}+\underset{[1;2]}{maxy}=\frac{16}{3}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m\leq 0$

B. $m>4$

C. $0<m\leq 2$

D. $2<m\leq 4$

Bạn tham khảo câu này nhé. Nó là đáp án B của bài

Câu hỏi: Từ các chữ số thuộc tập hợp $A=${$0;1;2;3;4;5$} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3

• Điện phân 500 ml dung dịch CuSO4 1M, KCl aM ( điện cực trơ màng ngăn xốp) một thời gian thu được V lít hỗn hợp khí X (dktc) và dung dịch Y. X tác dụng hết với 11,6 gam Fe3O4 sau phản ứng thu được hỗn hợp rắn Z, hòa tan Z cần vừa đủ 500 ml dung dịch HCl 1,2M. Mặt khác dung dịch Y hòa tan hết 4,8 gam Mg. Giá trị của V là:
• A.7,84 lít
• B.5,6 lít
• C.4,48 lít
• D.5,6 lít

Tứ diện SABC có SA = a , SB = b , SC = c.
Góc ASB = 60, BSC = 90 và CSA = 120 độ. Tính thể tích khối tứ diện đó

A. $\frac{abc\sqrt{2}}{12}$
B. $\frac{abc\sqrt{2}}{4}$
C. $\frac{abc\sqrt{3}}{12}$
D. $\frac{abc\sqrt{3}}{6}$

Trên $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho $SA'=SB'=SC'=1$

Công việc bây giờ đó là đi tính thể tích $S.A'B'C'$

Lấy $M$ là trung điểm $A'C'$, ta sẽ đi chứng minh $SM \perp A'C'$

Dễ dàng tính được các yếu tố:

$A'B'=1; B'C'=\sqrt{2}; A'C'=\sqrt{3}$

$\rightarrow \Delta A'B'C'$ vuông tại $B'$ theo Py-ta-go

$\rightarrow B'M=\dfrac{A'C'}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Dựa vào $\Delta SA'C'$ cân tại $S$ và $SM$ là trung tuyến cx như đường cao ta tính được $SM=\dfrac{1}{2}$

Trong $\Delta SMB'$ có: $SM=\dfrac{1}{2}; BM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}: SB=1 \rightarrow \Delta SMB'$ vuông tại $M$

$\rightarrow SM \perp (A'B'C') \rightarrow V_{S.A'B'C'}=\dfrac{1}{3}. SM.S_{A'B'C'}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$

Ta có: $\dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC} \rightarrow V_{S.ABC}=\dfrac{abc\sqrt{2}}{12}$

Chọn $A$

Giải BPT: $3\left( x^2-2 \right)+\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{x^2-x+1}}>\sqrt{x}\left( \sqrt{x-1}+3\sqrt{{x^2}-1} \right)$

Bạn tham khảo ở đây

Tìm $m$ để bpt $\sqrt{(4+x)(6-x)} <x^2-2x+m$ nghiệm đúng với mọi $x \in$ [$-4;6$]

Giải bằng đạo hàm, sáng nay mk mới đc học @@

 

Giải hệ:

$ \left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9  & \\ x^2+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right. $

$PT(1) \iff (x^2+xy)^2=2x+9 \iff (2x^2+2xy)^2=8x+36 \ (3)$

$PT(2) \iff 2(x^2+xy)=x^2+6x+6$

Thay vào (3) ta có: $(x^2+6x+6)^2=8x+36$

$\iff (x^2+6x)(x^2+6x+12)=8x$

$\iff x(x+6)(x^2+6x+12)=8x$

$\iff x=0$ hoặc $(x+6)(x^2+6x+12)=8$

Đến đây bạn có thể phá ngoặc và giải pt bậc 3 bình thường

Giải HPT:
$\sqrt{y-3x+4}+\sqrt{y+5x+4}=4$
$\sqrt{5y+3}-\sqrt{7x-2}=2x-4y-1$

$(1) \iff \sqrt{y-3x+4}=4-\sqrt{y+5x+4}$

$\iff y-3x+4=16-8\sqrt{y+5x+4}+y+5x+4$

$\rightarrow x+2=\sqrt{y+5x+4}$

$\rightarrow x^2-x=y$

Thay vào pt (2) ta có: ĐK: $x \geq \dfrac{2}{7}$

$\iff \sqrt{5x^2-5x+3}-\sqrt{7x-2}=-4x^2+6x-1$

$\iff (4x^2-7x+2)+(\sqrt{5x^2-5x+3}-x-1)+(2x-\sqrt{7x-2})=0$

$\iff (4x^2-7x+2)+\dfrac{4x^2-7x+2}{\sqrt{5x^2-5x+3}+x+1}+\dfrac{4x^2-7x+2}{2x+\sqrt{7x-2}}=0$

$\iff (4x^2-7x+2)(1+\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{B})=0$

$\iff 4x^2-7x+2=0$ (vì phần trong ngoặc dương)

Đến đây bạn tìm $x$ và xét với đk để tìm $y$

Giai $\left\{\begin{matrix} xy+x+y=x^{2}-2y^{2} & & \\ x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $y \geq 0; x \geq 1$

$(1) \iff (x+y)(x-2y-1)=0$

Với $x=-y$, vô lí vì ($x,y$ cùng dấu lớn hơn 0)

Với $x=2y+1$, thay vào ta có: $(2y+1)\sqrt{y}-y\sqrt{2y}=2y+2$

$\iff 2y\sqrt{2y}=2y+2$

Đặt $\sqrt{2y}=a$, thay vào ta có: $a^3-a^2-2=0$

Đến đây là xong rồi

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} a^{3}-b^{3}-3a-3b^{2}+2=0 & & \\ \sqrt{a-2}+\sqrt{a^{3}-3a^{2}+b+2}=a^{2}-3b & & \end{matrix}\right.$

ĐK: $a \geq 1+\sqrt{2} \longrightarrow a^2 >4$

$PT(1) \iff (a-b-1)(b^2+ab+2b+a^2+a-2)=0$

$\iff b=a-1$    v    $b^2+(a+2)b+a^2+a-2=0 \ (*)$

Xét (*): $\Delta=(a+2)^2-4(a^2+a-2)=-3(a^2-4) <0 \longrightarrow \ PT(*)$ vô nghiệm.

Với $b=a-1$ thay vào ta có:

$\sqrt{a-2}+\sqrt{a^3-3a^2+a+1}=a^2-3a+3$

$\iff 2a^2-6a+6-2\sqrt{a-2}-2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}=0$

$\iff 2(a^2-6a+9)+(a-1-2\sqrt{a-2})+(5a-11-2\sqrt{a^3-3a^2+a+1})=0$

$\iff 2(a-3)^2+\dfrac{(a-3)^2}{a-1+2\sqrt{a-2}}-\dfrac{(4a-13)(a-3)^2}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}}=0$

$\iff (a-3)^2\begin{pmatrix} 2+\dfrac{1}{a-1+2\sqrt{a-2}}-\dfrac{4a-13}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}} \end{pmatrix}=0$

$\iff a=3$     v     $2+\dfrac{1}{a-1+2\sqrt{a-2}}-\dfrac{4a-13}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}}=0 \ (**)$

Xét $(**)$ ta có:

$\iff \dfrac{1}{a-1+2\sqrt{a-2}}+\dfrac{4\sqrt{a^3-3a^2+a+1}+6a-9}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}}=0$

Ta thấy với $a \geq 1+\sqrt{2}$ thì $ \dfrac{1}{a-1+2\sqrt{a-2}}>0$ và $\dfrac{4\sqrt{a^3-3a^2+a+1}+6a-9}{5a-11+2\sqrt{a^3-3a^2+a+1}}>0$

Vì vậy $VT >VP \longrightarrow (**)$ vô nghiệm.

$\left\{\begin{matrix} x^{2}+y+x^{3}y+xy^{2}+xy=\frac{-5}{4} & & \\ x^{4}+y^{2}+xy(1+2x)=\frac{-5}{4} & & \end{matrix}\right.$

$\longrightarrow PT(1)=PT(2)$

$\longrightarrow x^4+y^2+xy(1+2x)=x^2+y+x^3y+xy^2+xy$

$\iff x^4-x^3y+x^2(2y-1)-xy^2+(y^2-y)=0$

$\iff (x^2-xy+y-1)(x^2+y)=0$

$\iff (x-1)(x-y+1)(x^2+y)=0$

Với $x=1$, thay vào (1) dễ dàng tìm được $y$

Với $y=x+1$, thay vào (1) ta đc phương trình bậc 4 đối xứng: $x^4+2x^3+4x^2+3x+\dfrac{9}{4}=0$

Với $y=-x^2$, thay vào (1) ta có: $x^3=\dfrac{5}{4} \longrightarrow x=\sqrt[3]{\dfrac{5}{4}}$

Giải bất phương trình: $${{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+2x-1\ge \sqrt{x}({{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x)$$

Bài 37: Cho $a,b,c>0; a^2+b^2+c^2=\dfrac{1}{9}$. CMR:

$(2a+2b-c)^3+(2b+2c-a)^3+(2c+2a-b)^3 \geq \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Bài toán:    Cho $a \in [1;2], b \in [4,5], c \in [7,10] ; \ a+b+c=16$. Tìm Max $P=abc$ 

Cho a,b,c là số thực dương

Chứng minh

$(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3})\geq\frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

Bài 3: http://diendantoanho...ac32sumfracbca/

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+3x^{2}+3x+1+3\sqrt{y-2}=0 & & \\ x^{3}+3x^{2}+4x+2-2y\sqrt{y-2}=0 & & \end{matrix}\right.$

$ \iff \begin{cases} (x+1)^3+3\sqrt{y-2}=0 \ (1) \\  (x+1)^3+(x+1)=2(y-2)\sqrt{y-2}+4\sqrt{y-2} \ (2) \end{cases}$

$(1)+(2) \iff 2(x+1)^3+(x+1)=2(y-2)\sqrt{y-2}+\sqrt{y-2}$

$\rightarrow x+1=\sqrt{y-2}$

Đến đây bạn thay vào pt (1) để giải tiếp...

Cho $a+b+c=3$.

Cmr $\sum \frac{a^3}{b^2+c^2}\geq \frac{3}{2}$

_______________

Bạn nhớ kẹp công thức và giữa cặp dấu $$

Ta có: $\sum \dfrac{a^3}{b^2+c^2}= \sum \dfrac{a^4}{ab^2+ac^2} \geq \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum ab(a+b)}$

Ta sẽ cm: $3 \sum ab(a+b) \leq 2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

Thật vậy ta có: $2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)= 2a^3+2b^3+2c^3+2\sum ab(a+b)$

Dễ dàng cm đc: $a^3+b^3 \geq ab(a+b) \rightarrow 2(a^3+b^3+c^3) \geq \sum ab(a+b)$

$\rightarrow 2a^3+2b^3+2c^3+2\sum ab(a+b) \geq 3\sum ab(a+b)$ (đpcm)

Vậy $\sum \dfrac{a^3}{b^2+c^2} \geq \dfrac{(\sum a^2)^2}{\sum ab(a+b)} \geq \dfrac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} \geq \dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" $\iff a=b=c=1$

Giải phương trình

1.         $-x+3=3\sqrt{1-x^{2}}+2\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}$

ĐK: $-1 \leq x \leq 1$

$\iff 2(1-x)+(x+1)=3\sqrt{(1-x)(1+x)}+2\sqrt{1-x}-\sqrt{x+1}$

Đặt $\sqrt{1-x}=a, \sqrt{x+1}=b$, thay vào ta có:

$\iff 2a^2+b^2=3ab+2a-b$

$\iff (2a-b)(a-b-1)=0$

$\iff 2a=b$   v   $a=b+1$

$\iff 2\sqrt{1-x}=1+x$    v     $\sqrt{1-x}=\sqrt{x+1}+1$

Đối với mỗi TH chỉ cần bình phương lên...