Jump to content

quoccuonglqd's Content

There have been 220 items by quoccuonglqd (Search limited from 04-06-2020)


By content type

See this member's


Sort by                Order  

#616749 Cho $\sum \frac{1}{(x+1)^2}\leq 1...

Posted by quoccuonglqd on 24-02-2016 - 20:15 in Bất đẳng thức và cực trị

Điều kiện suy ra 
$\sum \frac{1}{x^{2}+1}\leqslant 2\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\geqslant 2$
Đổi biến $(\frac{x^{2}}{x^{2}+1},\frac{y^{2}}{y^{2}+1},\frac{z^{2}}{z^{2}+1})\rightarrow (a,b,c)\Rightarrow a+b+c\geqslant 2$
Ta cần chứng minh $\prod \frac{2a}{b+c+d-a}\geqslant 1$
$\Leftrightarrow 16abcd\geqslant \prod (a+b+c-d)$
Đây la bài toán quen thuộc


#616297 Cmr: $\sqrt{(\sum \frac{a}{b})(...

Posted by quoccuonglqd on 21-02-2016 - 20:11 in Bất đẳng thức và cực trị

Đề phải sửa thành chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có

$\sqrt{\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\left ( \frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b} \right )}\geq 1+\sqrt[3]{\left ( 1+\frac{bc}{a^{2}} \right )\left ( 1+\frac{ca}{b^{2}} \right )\left ( 1+\frac{ab}{c^{2}} \right )}$

Hình như cũng như nhau mà anh,nếu thay biến $x,y,z$ thì tùy đổi thành $(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$ hay $(\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$ thì bài toán sẽ được phát biểu như trên hoặc theo cách của anh



#616291 Tìm GTLN của $ \frac{a^{2}}{b+c} +...

Posted by quoccuonglqd on 21-02-2016 - 20:05 in Bất đẳng thức và cực trị

Xin lỗi hướng trên của mình sai,không làm xuất hiện đẳng thức được  :luoi:

Có lẽ bài đúng phải thế này

Ta chứng minh $T\leqslant \frac{35}{12}$
Giả sử $a\geqslant c\geqslant b$
$T-\frac{5}{2}=\frac{(a+b+c)(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}+\frac{(a+b+c)(a+b+2c)(a-c)(b-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$
Vì $(a-c)(b-c)\leqslant 0$
$T-\frac{5}{2}\leqslant \frac{(a+b+c)(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}$
Bất đẳng thức trở thành $\frac{(a+b+c)(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}\leqslant \frac{5}{12}$
Thay $b=5-a-c$,ta cần chứng minh
$(49a^{2}-245a+294)+(12c^{2}-125c+202)\leqslant 0$(đúng với $a,c\leqslant 2$)
Đẳng thức tại $a=c=2,b=1$ và các hoán vị


#616241 Tìm GTLN của $ \frac{a^{2}}{b+c} +...

Posted by quoccuonglqd on 21-02-2016 - 16:06 in Bất đẳng thức và cực trị

Theo điều kiện,dễ thấy a,b,c là 3 cạnh tam giác
Ta có $a,b\leqslant 2\Rightarrow a^{2}\leqslant 2a,b^{2}\leqslant 2b$
$T\leqslant 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c})+\frac{c^{2}}{5-c}\leqslant 2(\frac{a+a}{a+b+c}+\frac{b+b}{a+b+c})+\frac{c^{2}}{5-c}=\frac{4(5-c)}{5}+\frac{c^{2}}{5-c}$
Ta khảo sát hàm $f(c)$,bạn thử xem,nếu hàm nghịch biến thì bài toán được giải quyết,nếu hàm đồng biến thì mình sai,hơi gấp nên không làm hết được  >:)


#616138 Tìm Max $T=\frac{a^{2}+1}{b^{2}+...

Posted by quoccuonglqd on 20-02-2016 - 21:19 in Bất đẳng thức và cực trị

Một cách khác

Đổi biến $(a^{2}+1,b^{2}+1,c^{2}+1)\rightarrow (x,y,z)$
Giả sử $a\geqslant b\geqslant c\Rightarrow x\geqslant y\geqslant z$
Ta có $(x-y)(z-y)\leqslant 0\Rightarrow xz+y^{2}\leqslant yz+xy\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{z}\leqslant \frac{x}{z}+1$
Ta cần tìm cực trị $\frac{x}{z}+\frac{z}{x}$ đại lượng này max = $\frac{5}{2}$ với $x,y,z\in\left [ 1,2 \right ]$ 


#615135 giup em bai nay voi

Posted by quoccuonglqd on 15-02-2016 - 10:39 in Bất đẳng thức và cực trị

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})$
$P=\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a}{1-a^{2}}+\frac{b}{1-b^{2}}+\frac{c}{1-c^{2}}$
Ta có $\frac{x}{1-x^{2}}=\frac{\frac{x^{2}}{2}}{x\frac{\sqrt{3}+1}{2}(1-x)\frac{\sqrt{3}-1}{2}(x+1)}\geqslant \frac{\frac{x^{2}}{2}}{\frac{(\sqrt{3})^{3}}{27}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}x^{2}$
Nên $P\geqslant \frac{3\sqrt{3}}{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$


#615134 $\sqrt{c^{2}(a^{2}+b^{2})^{2}+a^{2}(b^{2}+c^{2})^{2}+b^{2}(c^{2}+a^...

Posted by quoccuonglqd on 15-02-2016 - 10:28 in Bất đẳng thức và cực trị

Bài mới nhìn vào ớn ăn đấy chứ nhỉ  :mellow:

Áp dụng AM-GM $\sqrt{c^{2}(a^{2}+b^{2})+b^{2}(a^{2}+c^{2})+a^{2}(b^{2}+c^{2})}\geqslant 2\sqrt{3}abc$
$\frac{54(abc)^{3}}{(a+b+c)^{2}\sqrt{(ab)^{4}+(bc)^{4}+(ca)^{4}}}\leqslant \frac{54(abc)^{3}}{9(abc)^{\frac{2}{3}}.\sqrt{3}(abc)^{\frac{4}{3}}}=2\sqrt{3}abc$


#614876 Cho $a,b,c>0$.CMR: $\sum \frac{1}...

Posted by quoccuonglqd on 14-02-2016 - 10:59 in Bất đẳng thức và cực trị

$2VP=\sum \frac{4a+2b}{a(a+2b)}=\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{3}{a+2b}$

Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{1}{a}\geqslant \sum \frac{3}{a+2b}$(luôn đúng theo C-S)



#614767 Cho các số thực dương a,b,c tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\...

Posted by quoccuonglqd on 13-02-2016 - 20:57 in Bất đẳng thức và cực trị

Ta có $3a^{4}+3b^{4}+2\geqslant 2(a^{4}+b^{4})+2(a^{2}+b^{2})\geqslant 4(a^{3}+b^{3})$
$M(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5})^{2}\geqslant \frac{4a^{3}+4b^{3}+25c^{3}}{(a+b+c)^{3}}(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{5})^{2}\geqslant 1\Rightarrow M\geqslant \frac{25}{36}$
Đẳng thức tại $a=b=1,c=\sqrt[3]{\frac{2}{5}}$


#614762 $\frac{xy}{1+z^2}+\frac{yz}...

Posted by quoccuonglqd on 13-02-2016 - 20:40 in Bất đẳng thức và cực trị

Áp dụng AM-GM,C-S:$\frac{xy}{1+z^{2}}+\frac{yz}{1+x^{2}}=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+2z^{2}}+\frac{yz}{y^{2}+z^{2}+2x^{2}}\leqslant \frac{x^{2}}{4(x^{2}+z^{2})}+\frac{z^{2}}{4(x^{2}+z^{2})}+\frac{y^{2}}{4}(\frac{1}{y^{2}+x^{2}}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}})\leqslant \frac{1}{4}+\frac{y^{2}}{16y^{2}}+\frac{y^{2}}{16y^{2}}+\frac{y^{2}}{16}(\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{x^{2}})=\frac{15}{8}+\frac{y^{2}}{16}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}})$
Lại có $\frac{15}{16}y^{3}(\frac{1}{x^{3}}+z^{3})\geqslant \frac{15}{8}$ (với $2y\geqslant x+z$)
Ta cần chứng minh $y^{3}(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{z^{3}})\geqslant y^{2}(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+x^{3}z+xz^{3}\geqslant 2x^{3}z+2xz^{3}$(luôn đúng)


#613340 $\frac{b^2c^3}{a^2(b+c)^3}+\frac{c^2a...

Posted by quoccuonglqd on 06-02-2016 - 18:05 in Bất đẳng thức và cực trị

Theo như bài bạn ở trên,ta cần chứng minh thêm bất đẳng thức cuối đó

Đổi biến $(x,y,z)\rightarrow (\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})$

Bất đẳng thức trở thành $\sum \frac{bc}{a(b+c)} \geqslant \frac{3}{2}$

Áp dụng C-S $\sum \frac{bc}{a(b+c)}\geqslant \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2abc(a+b+c)}\geqslant \frac{3}{2}$



#613219 CMR a=$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 4$

Posted by quoccuonglqd on 06-02-2016 - 10:44 in Bất đẳng thức và cực trị

BĐT sai với $a=b=c=\frac{4}{3}$ !

Bất đẳng thức với số nguyên 

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\geqslant 4$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geqslant 1$
Giả sử $a\leqslant b\leqslant c$,với a,b,c nguyên ta có $c\geqslant 2\Rightarrow a+b\leqslant 2\Rightarrow ab\leqslant 1$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geqslant \frac{c^{2}}{2}+ac+bc-ab-bc-ca\geqslant \frac{(c^{2}-2ab)}{2}\geqslant \frac{4-2}{2}=1$


#613213 CMR a=$a^3+b^3+c^3-3abc\geq 4$

Posted by quoccuonglqd on 06-02-2016 - 10:25 in Bất đẳng thức và cực trị

1/Mình nghĩ điều kiện là $a\geqslant 0$ chứ không phải $a> 0$
$(a+3b)(b+4c)(c+2a)=(a+\underset{2\sqrt[3]{3}}{\frac{3b}{2\sqrt[3]{3}}+...+\frac{3b}{2\sqrt[3]{3}}})(b+\underset{2\sqrt[3]{3}}{\frac{4c}{2\sqrt[3]{3}}+...+\frac{4c}{2\sqrt[3]{3}}})(c+\underset{2\sqrt[3]{3}}{\frac{2a}{2\sqrt[3]{3}}+...+\frac{2a}{2\sqrt[3]{3}}})\geqslant (2\sqrt[3]{3}+1)^{3}abc\geq 60abc$
Đẳng thức tại $a=\frac{3b}{2\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{3}c=0$ hay $a=b=c=0$


#613170 Một bài tập nhỏ

Posted by quoccuonglqd on 05-02-2016 - 23:14 in Bất đẳng thức và cực trị

Trước hết P là một đa thức đồng bậc và dạng này thường đạt cực trị tại $x=\alpha y$ hoặc cực trị tại biên khi $x=\beta$ hay $y=\gamma $,ta có thể thử với kiểu cực trị đầu tiên trước(cái này thường nhiều hơn),ta cần một bước đặt $t=\frac{x}{y}$,về sau khi tìm được $t=\alpha $,ta có thể xác định cực trị như dự đoán ban đầu
Biến đổi điều kiện $\frac{x}{y}\leqslant \frac{1}{y}-\frac{1}{y^{2}}\leqslant \frac{1}{4}$
$P=\frac{t+1}{\sqrt{t^{2}-t+3}}-\frac{t-2}{6(t+1)}$
Ở đây ta có thể khảo sát f(t) với t được chặn từ trước ($t\leqslant \frac{1}{4}$)


#613161 Tìm min,max cua P=$\frac{1+\sqrt{x}}{...

Posted by quoccuonglqd on 05-02-2016 - 22:39 in Bất đẳng thức và cực trị

2/Xét hàm là nhanh nhất
5/Biến đổi điều kiện $x+y=1$,ta cũng xét hàm  :closedeyes:
3/$\sqrt{a^{2}+b^{2}-\sqrt{3}ab}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}= \sqrt{(\frac{\sqrt{3}a}{2}-b)^{2}+\frac{a^{2}}{4}}+\sqrt{(b-\frac{c}{2})^{2}+\frac{3c^{2}}{4}}\geqslant \sqrt{(\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}c}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{c}{2})^{2}}=\sqrt{a^{2}+c^{2}}$


#613157 Tìm min,max cua P=$\frac{1+\sqrt{x}}{...

Posted by quoccuonglqd on 05-02-2016 - 22:28 in Bất đẳng thức và cực trị

2/$5(a+b)c+ab=(a+b)^{2}+4c^{2}+3\geqslant 4(a+b)c+3\Rightarrow ab+bc+ca\geqslant 3$



#613156 Tìm min,max cua P=$\frac{1+\sqrt{x}}{...

Posted by quoccuonglqd on 05-02-2016 - 22:27 in Bất đẳng thức và cực trị

1/Ta có $\frac{(b-c)^{2}}{4}+\frac{3(c-a)^{2}}{8}\geqslant 0$

$\Rightarrow \frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{2}\geqslant \frac{(a-b)^{2}}{2}+\frac{(b-c)^{2}}{4}+\frac{(c-a)^{2}}{8}$
$\Rightarrow 9=(a+b+c)^{2}\geqslant 3(ab+bc+ca)+\frac{(a-b)^{2}}{2}+\frac{(b-c)^{2}}{4}+\frac{(c-a)^{2}}{8}$


#612686 $\prod(1+\frac{b+c}{a})\geq \sum...

Posted by quoccuonglqd on 03-02-2016 - 15:51 in Bất đẳng thức và cực trị

Ta có thể đổi biến $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})\rightarrow (\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$
Bất đẳng thức trở thành $x^{12}y^{6}+y^{12}z^{6}+z^{12}x^{6}\geqslant x^{9}y^{3}z^{6}+x^{6}y^{9}z^{3}+x^{3}y^{6}z^{9}$


#612642 Chứng minh rằng $\sum \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^{3}}...

Posted by quoccuonglqd on 03-02-2016 - 12:19 in Bất đẳng thức và cực trị

Biến đổi điều kiện $16(ab+bc+ca)\geqslant 3$
Áp dụng AM-GM $a+b+\sqrt{2(a+c)}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(a+c)}{2}}\Rightarrow \frac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^{3}}\leqslant \frac{2}{27(a+b)(a+c)}$
Ta cần chứng minh $\sum \frac{2}{27(a+b)(a+c)}\leqslant \frac{8}{9}$
Mà $\sum \frac{2}{27(a+b)(a+c)}=\frac{4(a+b+c)}{27(a+b)(b+c)(c+a)}\leqslant \frac{1}{6(ab+bc+ca)}\leqslant \frac{8}{9}$


#612641 Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$.CMR $ \sum...

Posted by quoccuonglqd on 03-02-2016 - 12:10 in Bất đẳng thức và cực trị

Ý phải 
$\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geqslant 2(x+y)\frac{(x-y)^{2}}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}\geqslant x+y$(luôn đúng)


#612640 Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$.CMR $ \sum...

Posted by quoccuonglqd on 03-02-2016 - 12:08 in Bất đẳng thức và cực trị

2/Ý trái 
$\Leftrightarrow \frac{(x-y)^{2}2\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}}{\sqrt{2(x^{2}+y^{2})}+x+y}\geqslant (x-y)^{2})$
$\Leftrightarrow \sqrt{2(x^{2}+y^{2})}\geqslant x+y$(luôn đúng)


#612639 Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$.CMR $ \sum...

Posted by quoccuonglqd on 03-02-2016 - 12:05 in Bất đẳng thức và cực trị

Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn
$(a+b)^{6}+(b+c)^{6}+(c+a)^{6}\geqslant \frac{16}{61}(a^{6}+b^{6}+c^{6}+(a+b+c)^{6})$
$a,b,c\in \mathbb{R}$,đổi biến $(a,b,c)\rightarrow (x+y-z,y+z-x,z+x-y)$
Biến đổi bài toán thành $4\sum x^{6}\geqslant \sum x^{2}y^{4}+\sum x^{4}y^{2}+6x^{2}y^{2}z^{2}$(luôn đúng)
Đẳng thức tại $a=b=c=0$
p/s:bài toán vẫn còn 2 lời giải khác(theo mình),nhưng đều phải sử dụng khai triển và xét hàm 


#612398 x,y,z không âm có x+y+z=1

Posted by quoccuonglqd on 02-02-2016 - 11:37 in Bất đẳng thức và cực trị

Đặt $a = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} ,... $
Ta có $\sum \frac{1}{2-a^2} = 2 $
Ta lại có $t \ge \frac{9\sqrt{2}}{8(2-t^2)} - \frac{\sqrt{2}}{4} $
Thật vậy $\Leftrightarrow 4\sqrt{2} ( t - \frac{1}{\sqrt{2}})^2( x + \frac{5}{2\sqrt{2}}) \ge 0 $
Thay lần lượt $ t = a,b,c$ rồi cộng các vế lại ta có $P \ge \frac{3\sqrt{2}}{2} $
Dấu $"="$ khi $x=y=z= \frac{1}{3}$

Từ đâu ra chỗ này,hơn nữa cho y=z=0,x=1 xem



#612392 Chứng minh rằng: $2-\frac{1}{n}<x_0<2...

Posted by quoccuonglqd on 02-02-2016 - 11:08 in Bất đẳng thức và cực trị

Ý phải
Biến đổi điều kiện $x_{0}^{n+1}-2x_{0}^{n}+1=0$
Giả sử $x_{0}\geqslant 2\Rightarrow x_{0}^{n+1}-2x_{0}^{n}+1\geqslant 1 >0$(vô lý) 


#612334 $\frac{2a^{2}-bc}{b^{2}+c^{...

Posted by quoccuonglqd on 01-02-2016 - 21:18 in Bất đẳng thức và cực trị

Ta có $\sum \frac{2a^2-bc}{b^2+c^2-bc}=\sum (1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{b^2+c^2-bc})\geq \sum (1-\frac{b^2+c^2-2a^2}{bc})=3-\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}=3-\frac{\sum ab(a+b)-2(a^3+b^3+c^3)}{abc}$

Mà $2(a^3+b^3+c^3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc\geq \sum ab(a+b)(bdt- Shur)$

=>$\sum \frac{b^2+c^2-2a^2}{bc}\leq 0=> VT\geq 3$

Đoạn này có vấn đề với $2a^{2} \geqslant b^{2}+c^{2}$

Bài này có thể giải được bằng phép tương đương,nhưng hơi dài dòng nên xin không viết ra  :closedeyes:



  1. Diễn đàn Toán học
  2. → quoccuonglqd's Content