Cho $a\geq b\geq c> 0; n\geq 2$ và $abc=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{n}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{n}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{n}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 1$

Giải hệ phương trình:

$(x+y)(z+1)=(z+x)(y+1)=(y+z)(x+1)=2a(a+1)$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$ và $x,y,z\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng:

1. $\sum_{cyc} \frac{a^{x+y+z}b^{-x+y-z}}{c^{-x+y+z}}\geq \sum_{cyc} \frac{a^{x}b^{y}}{c^{z}}$

2. $\sum_{cyc} \frac{a^{2x+z}b^{-x+2y}}{c^{y+2z}}\geq \sum_{cyc} \frac{a^{x}b^{y}}{c^{z}}$

3. $\sum_{cyc} \frac{a^{3x-y+z}b^{-x+3y+z}}{c^{x+y+3z}}\geq \sum_{cyc} \frac{a^{x}b^{y}}{c^{z}}$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}+y^{6}}\left ( 2+\dfrac{x^{4}}{x^{3}+5y^{6}} \right )=\dfrac{22x^{2}}{5} \\ &\dfrac{2y^{3}}{x^{4}}-\dfrac{y^{3}}{x^{3}+5y^{6}}=\dfrac{9}{10x^{2}} \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{b+c}}+\frac{b^{2}-c^{2}}{\sqrt{c+a}}+\frac{c^{2}-a^{2}}{\sqrt{a+b}}\geq 0$

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x-x^{2}}+\sqrt{y-y^{2}}+\sqrt{z-z^{2}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{3}} \\ &(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)=\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \end{matrix}\right.$

Cho $m,n$ là các số nguyên dương; $\alpha ,\beta ,\gamma$ là các hằng số cho trước$(\gamma \neq 0)$. Hãy tìm giới hạn sau:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[m]{cos\alpha x}-\sqrt[n]{cos\beta x}}{sin^{2}\gamma x}$

Cho dãy số $(u_{n}):\left\{\begin{matrix} &u_{1}=2 \\ &u_{n+1}=u_{n}^{2}-u_{n}+1, n\geq 1 \end{matrix}\right.$

Tìm CTTQ của $u_{n}$

Giải phương trình:

$\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$

Cho $x,y,z\geq 0$ đôi một phân biệt. Chứng minh rằng: 

$\frac{x+y}{(x-y)^{2}}+\frac{y+z}{(y-z)^{2}}+\frac{z+x}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Giải phương trình:

$\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Cho $a,b>0$. CMR: $a^{4}+b^{4}+3\geq a+b+3\left ( \frac{3ab+1}{4} \right )^{\frac{4}{3}}$

Cho $a, b, c> 0$ thoả mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{4}{a+b-c}$. Tìm Min của biểu thức: $P=(a^{5}+b^{5}+c^{5})(\frac{1}{a^{5}}+\frac{1}{b^{5}}+\frac{1}{c^{5}})$

Các bạn làm giúp mình ở đây

Cho $a, b, c> 0$. Tìm Min:

$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$

Cho a, b, c>0. CMR:

$\dfrac{\dfrac{a}{b}+1}{\dfrac{b^2}{c^2}+1}+\dfrac{\dfrac{b}{c}+1}{\dfrac{c^2}{a^2}+1}+\dfrac{\dfrac{c}{a}+1}{\dfrac{a^2}{b^2}+1}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 4$

Cho $a, b, c> 0$ thoả mãn $a+b+c=3$. CMR:

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sum \sqrt{a})}$

Cho $a, b, c, d> 0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$. CMR:

$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{4}$

Giả sử x là 1 nghiệm thực khác 0 của phương trình: $ax^{2}+bx+c=0$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ thoả mãn: $\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |> 1$. CMR: $\left | x \right |\geq \frac{1}{\left | a \right |+\left | b \right |+\left | c \right |-1}$

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2=x^{2}y^{2}z^{2}$. CMR: $xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+zx)$

Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng với $0\leq k\leq 8$ ta có bất đẳng thức sau:

$\sqrt{ka^{2}+9-k}+\sqrt{kb^{2}+9-k}+\sqrt{kc^{2}+9-k}\leq 3(a+b+c)$

Giải phương trình:

$\frac{8x(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}-\frac{2\sqrt{2}x(x+3)}{1+x^{2}}=5-\sqrt{2}$

Cho $a,b,c>0; k\geq 0$ thoả mãn $x+9y+3z=9$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$\frac{x^{3}}{9(3k+x)(k+3y)}+\frac{27y^{3}}{(k+3y)(k+z)}+\frac{3z^{3}}{(k+z)(3k+x)}\geq \frac{3}{(1+k)^{2}}$

Với mọi số nguyên dương $n$, hãy xác định theo $n$ số tất cả các cặp 2 số nguyên dương $(x,y)$ sao cho:

$x^{2}-y^{2}=100.30^{n}$

Đồng thời hãy chứng minh số cặp này không thể là số chính phương

Cho $x, y, z\in \left [ -\dfrac{1}{2};2 \right ]$. CMR:

$8(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x})\geq 5(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{y})+9$