Đấy dùng khi $d$ là số nguyên tố thôi, còn đây thì chưa chắc!

Uk...có lẽ đoạn đó anh nhầm, để anh xem lại

Nếu m;n là các số tự nhiên thỏa mãn: 4m²+m=5n²+n thì:

m-n và 5m+5n+1 đều là số chính phương.

Bài 2: Giải các phương trình:

1. 3x²+7x-20=0

Bài này dễ mà

Bài 2: Giải các phương trình:

1. 3x²+7x+20=0

2.6ax²+4ax-9x-6=0

3.x²-2x+y²+4y+5=0

Giải phương trình:

$1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}}}=\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}}}+\frac{2}{3+\sqrt{x}}$

$(x^{2}+y^{2})(x+y+1)=25(y+1) \\ x^{2}+xy+2y^{2}+x-8y=9$

Pt(2)$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=9-xy-y^{2}-x+8y$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=(y+1)(9-x-y)$

Thay vào pt(1) ta có:

$(y+1)(9-x-y)(x+y+1)-25(y+1)=0$

Đặt $a=y+1; b=x+y$

$\Rightarrow a(9-b)(b+1)-25a=0 \Leftrightarrow a(b-4)^{2}=0$

Đến đây thì dễ rồi

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x-x^{2}}+\sqrt{y-y^{2}}+\sqrt{z-z^{2}}=\sqrt{\dfrac{\sqrt{3}-1}{3}} \\ &(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)=\dfrac{2\sqrt{3}}{9} \end{matrix}\right.$

a) $(x-3)\sqrt{x+1} + x\sqrt{4-x} = 2x-3$

ĐK: $-1\leq x\leq 4$

Đặt $\sqrt{x+1}=a; \sqrt{4-x}=b$

$\Rightarrow (a^{2}-4)a+(4-b^{2})b=a^{2}-b^{2} \Leftrightarrow (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}-a-b-4)=0$

+) $a=b\Rightarrow \sqrt{x+1}=\sqrt{4-x}\Rightarrow x=\frac{3}{2}$

+) $a^{2}+ab+b^{2}-a-b-4=0$

$\Rightarrow x+1+4-x+\sqrt{(x+1)(4-x)}-\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x}-4=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)(4-x)}-\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x}+1=0 \Leftrightarrow (\sqrt{4-x}-1)(\sqrt{x+1}-1)=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{4-x}=1$ hoặc $\sqrt{x+1}=1$

$\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=0$

Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh:

$(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$

Đặt $x=ab, y=bc, z=ca\Rightarrow a=\sqrt{\frac{zx}{y}}, b=\sqrt{\frac{xy}{z}}, c=\sqrt{\frac{yz}{x}}$

$\Rightarrow x+y+z=xy+yz+zx$

Khi đó ta cm: $(x+y+z)(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}\geq 27$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{x+y+z}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{x+y+z}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^{2}}$ $\Leftrightarrow 2(\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}})+\frac{3\sqrt{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(x+y+z)^{2}}\geq 3\sqrt{3}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{3\sqrt{3}x^{2}}{(x+y+z)^{2}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{x}{x+y+z}}\geq \frac{3\sqrt{3}x}{x+y+z}$

Tương tự cộng lại ta được:

$VT\geq 3\sqrt{3}(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z})=3\sqrt{3}$(đpcm)

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z=1\Rightarrow a=b=c=1$

cho a,b,c là các số thực dương

CMR: 

1:$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2$

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$(a+b+c+1)^{2}=(a.1+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}(b+c)+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2})^{2}\leq (a^{2}+1)\left [ 3+2(b+c)^{2} \right ]$

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\frac{5}{16}\left [ 3+2(b+c)^{2} \right ]\leq (b^{2}+1)(c^{2}+1)$

$\Leftrightarrow 16b^{2}c^{2}+6(b^{2}+c^{2})+1\geq 20bc$

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM. Ta có đpcm.

$\forall a\in \mathbb{R}$, hãy chứng minh:

$(a^{3}-a+2)^{2}> 4a^{2}(a^{2}+1)(a-2)$

P/s: Giải theo pp tương đương

Cho $a,b,c>0$. CMR:
$(a+b+c)^{2}(a+b)(b+c)(c+a)\geq 24abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Đặt $a+b=x;b+c=y;c+a=z=>x+y+z=2$

$P=(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}=x^{4}+y^{4}+z^{4}$

Ta có 

Theo bđt Holder $(x^{4}+y^{4}+z^{4})(1+1+1)(1+1+1)(1+1+1)\geq (x+y+z)^{4}=16$

$=>x^{4}+y^{4}+z^{4}\geq \frac{16}{27}$

Liệu có cách làm nào không dùng đến bất đẳng thức Holder không nhỉ 

Cho $a,b,c>0, a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$(a+b)^{4}+(b+c)^{4}+(c+a)^{4}\geq \frac{16}{27}$

Đoạn màu đỏ ko thể dùng AM-GM được vì ta chưa biết $x+y-z$ và $z+x-y$ đã dương hay chưa

$(3x+1)\sqrt{2x^{2}-1} = 5x^{2}+\frac{3x}{2}-3$

ĐK: $2x^{2}-1\geq 0$

Đặt $\sqrt{2x^{2}-1}=t\geq 0\Rightarrow x^{2}=\frac{t^{2}+1}{2}$

Khi đó phương trình trở thành:

$(3x+1)t=x^{2}+2t^{2}+2+\frac{3}{2}x-3$

$\Leftrightarrow (2t-x-2)(2t-2x+1)=0$

...

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} &(2x-1)\sqrt{x+y}=(6-x-y)\sqrt{2-x} \\ &2\sqrt[3]{12x^{2}+3xy-18x}=x^{3}-6x-y+5 \end{matrix}\right.$

Cho $a, b, c, d> 0$ thoả mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$. CMR:

$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq \frac{(ab+cd)(ac+bd)}{4}$

6.   $2(x^{2}+2x+3)=5\sqrt{x^{3}+3x^{2}+3x+2}$

3.   $\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^{2}+5x+3}-16$

chỗ màu đỏ làm sao mà có vậy bạn

Cho $a, b, c\geq 1$. CMR:

$(1+\frac{1}{a})^{4}+(1+\frac{1}{b})^{4}+(1+\frac{1}{c})^{4}\geq 3(1+\frac{3}{2+abc})^{4}$

Giải phương trình: 

$ 16x^2+10x+1=\sqrt{2x+3} $

theo mình thì đề phải là "-" mới đúng 

Đề bài $:$  CMR với mọi số thực $x,y,z$ ta có $:$

$ \left | x+y-z\right|+\left | y+z-x\right|+\left |z+x-y\right|+\left| x+y+z\right| \geq 2 (\left|x \right |+\left|y \right |+\left|z \right |)$

 

 

Lời giải : 
Đặt $x+y-z=a,y+z-x=b,c=z+x-y$ . Trong $3$ số bao giờ cũng có ít nhất $2$ số cùng dấu. Giả sử $a.b \ge 0$ 
Khi đó $|a|+|b|=|a+b|=2|y|$ 
Ta có $x+y+z=a+b+c,2x=a+c,2z=b+c$. Do đó để chứng minh bđt đúng thì ta phải c/m 
$|c|+|a+b+c| \ge |a+c|+|b+c|$ (**) đúng với $ab \ge 0$ 
(**) $\Leftrightarrow |c|.|a+b+c|+ab \ge |a+c|.|b+c|$ 
$\Leftrightarrow |ca+cb+c^2|+ab \ge |(c^2+cb+c^2)+ab|$  
$\Leftrightarrow |ca+cb+c^2|+|ab| \ge |c^2+cb+c^2+ab|$ (đúng)   
BĐT đc chứng minh 
Dấu bằng xảy ra  trong TH các số : $a,b,c,a+b+c$ chia làm $2$ cặp cùng dấu. 

 

Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng:

 

      $ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+8ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+8ab}} \geq 1$

 

•