Cho a,b,c>0:

CMR: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$

Ta có: 

$a=k\frac{y}{x};b=k\frac{z}{y};c=k\frac{x}{z};abc=k^{3}\Rightarrow VT(BDT)=\sum \frac{x}{k(y+kz)}=\sum \frac{x^{2}}{k(xy+kxz)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{k(k+1)(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}=\frac{3}{abc+1}(dpcm)$    

ukm

Ta có: 

$a=k\frac{y}{x};b=k\frac{z}{y};c=k\frac{x}{z};abc=k^{3}\Rightarrow VT(BDT)=\sum \frac{x}{k(y+kz)}=\sum \frac{x^{2}}{k(xy+kxz)}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{k(k+1)(xy+yz+zx)}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}=\frac{3}{abc+1}(dpcm)$    

sao mà đặt a,b,c như z đc ???

Cho $0< b< a\leq 4$ và $2ab \leq 3a+4b$

Tìm GTLN của $a^{2}+b^{2}$

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y thỏa mãn:

$x^{3}=y^{3}+2(x^{2}+y^{2})+3xy+17$

TH $x=y$ thì ko thỏa 
Xét $y>x$ vậy thì $y \ge x+1$ 
Ta có $x^3=y^3+2(x^2+y^2)+3xy+17 \ge (x+1)^3+2((x+1)^2+x^2)+3(x+1)x+17$ 
Suy ra $-x^2-x-2 \ge 0$ (ko tồn tại) 
Xét $x^3-y^3-2(x^2+y^2)-3xy=(x-y-2)(x^2+y^2)+(x-y)(xy-3)=17$ 
Ta xét các TH : $x=y+2,x=y+1$ nếu $x=y+k$ với $k \ge 3$ thì ta xét 
$(x-y-2)(x^2+y^2)+(x-y)(xy-3)=17=1+16=.....$ 
Dở

mình ko hiểu cho lắm đoạn cuối

$2ab\leq 3a+4b\Rightarrow b\leq \frac{3a}{2a-4}$            (mấu khác 0)

$\Rightarrow P=a^{2}+b^{2}\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}.$

Xét:

$P-25\leq (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25$

Dự đoán P_max=25 nên ta CMR $P\leq 25\Leftrightarrow P-25\leq 0$

Thật vậy:

$P-25\leq 0\Leftrightarrow (\frac{3a}{2a-4})^{2}+a^{2}-25=\frac{4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400}{(2a-4)^{2}}\leq 0$

$\Leftrightarrow 4a^{4}-16a^{3}-75a^{2}+400a-400\leq 0 \Leftrightarrow (a-4)(4a^{3}-75a+100)\leq 0\Leftrightarrow 4a^{3}-75a+100> 0$   (*)

(Do $a\leq 4$)

Điều (*) sẽ là hiển nhiên nếu $\frac{5\sqrt{2}}{2}\leq a\leq 4$ 

Còn nếu  $0< b< a\leq \frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow P< 2a^{2}\leq 25$   

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=4,b=3$

Vậy P_max=25

cảm ơn bạn

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x² - y² biết $-10\leq x\leq 10$ và $-3\leq y\leq 5$

GTNN của biểu thức có được khi x nhỏ nhất và y lớn nhất $\Rightarrow$ x=-10;y=5$\Leftrightarrow$ x²-y²=(-10)²-(5)²=100-25=75.

GTLN có được khi x lớn nhất và y nhỏ nhất $\Rightarrow$ x=10;y=-3 $\Leftrightarrow$ x²-y²=10²-(-3)²=100-9=91

bạn tự kết luận nha

bạn ns sai hết r!   

Chứng minh rằng với mọi x,y ta có:

$\frac{\left | x \right |}{2008+\left | x \right |}+\frac{\left | y \right |}{2008+\left | y \right |} \geq \frac{\left | x-y \right |}{2008+\left | x-y \right |}$

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x+y=1\\x^{4}+y^{4}+x^{3}-y^{3}=x^{2}+y^{2} \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}-1}{y}+\frac{y^{2}-1}{x}=3\\x^{2}+y^{2}+\frac{12}{x}=9 \end{matrix}\right.$

Tìm x biết:

$x^{4}-2x^{2}-16x+1=0$

$PT \Leftrightarrow x^4+6x^2+9=8x^2+16x+8 \Leftrightarrow (x^2+3)^2=8(x+1)^2 \Leftrightarrow ... $

mình cũng đã lm đến đây r nhưng đoạn sau bị tắc nên bạn có thể giải nốt k?

mình ms học lớp 8 nên chưa học dental!   

thế này là thay vào bằng các số kia đúng k ạ?

Giải phương trình:

$\left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}-1}{y}+\frac{y^{2}-1}{x}=3\\x^{2}+y^{2}+\frac{12}{x}=9 \end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi O là trung điểm của BC. Trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho OB² = BD.CE. CM: khoảng cách từ O đến DE có độ dài không đổi khi D, E chuyển động trên AB, AC

Cho tam giác abc đều. Vẽ 1 đường thẳng song song với ac cắt ab và bc lần lượt tại m,p. Gọi d là tâm tam giác dmb. Lấy e là trung điểm ap.Tính các góc tam giác dec

Điểm $E$ ở đâu ra vậy bạn?

à E là trung điểm AP

Cho x,y,z là các số không âm thoả mãn: x+y+z=1

Tìm GTLN của P=(x+2y+3z)(6x+3y+2z)

Tìm $x,y,z\epsilon  Z$ thỏa mãn:

$6(y^{2}-1)+3(x^{2}+y^{2}z^{2})+2(z^{2}-9)=0$

Cho tam giác ABC cân tại A.Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC, BC lần lượt ở D,E,F. CM: $\frac{BF}{BD}-\frac{CF}{CE}=\frac{BC}{AB}$

Cho tam giác ABC. a là 1 đường thẳng bất kì cắt AB, AC lần lượt tại D và E sao cho $\frac{AB}{AD}+\frac{AC}{AE}=2016$. Chứng minh rằng a luôn đi qua 1 điểm cố định  

Giải phương trình : $\frac{x^{3}}{x^{2}} - \frac{x}{x-2}-\frac{2}{x+2}$ >0