Thử tùm lum

 

Dễ thấy $p$ chẵn. Vì nếu lẻ thì $4 \mid p^2-1=xyz$. Tồn tại 2 số nguyên tố bằng nhau và bằng 2. Vô lý

 

Do $(p-1,p+1)=1$ và $x,y,z$ bình đẳng nên xét các TH:

 

Giả sử $p$ không chia hết cho $3$. Khi đó tồn tại trong 3 số $x,y,z$ một số bằng 3.

 

TH1:  $p-1=x$ và $p+1=yz$

 

Nếu $x=3$ thì $p=4$ không thỏa mãn nên không mất tính tq giả sử $z=3$

 

Khi đó $x+2=3y$. Đến đây do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

$(x,y,z,p)=(13,5,3,14), (19,7,3,20), (37,13,3,38), (67,23,3,68), (109,37,3,110)$

 

TH2: $p-1=yz$ và $p+1=x$

 

Dễ thấy $x$ khác 3. Lại không mất tính tổng quát giả sử $z=3$. Khi đó: $x=3y+2$

 

Do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

$(x,y,z,p)=(17,5,3,16), (23,7,3,22), (41,13,3,40), (53,17,3,52), (59,19,3,58)$

 

Tổng kết: 5 số $p$ nhỏ nhất là $14,16,20,22,38$

 

Rồi giờ xét trường hợp $3 \mid p$. Khi đó $6 \mid p$ nên $p=6k$

 

Thử lần lượt các giả trị của $k$ bắt đầu từ $1$ thì thấy $k=6$ và $k=9$ thỏa mãn.

 

Khi đó $p=36$ hoặc $p=54$. Mà do $36 < 38 <54 $ nên ta chọn $p=36$.

 

Vậy 5 số $p$ nhỏ nhất thỏa mãn là $14,16,20,22,36$

mình thấy trong th1 y=11 cũng tman mà 

Cho a, b, c>0 thỏa mãn: a+b+c=abc

CMR: A= $\frac{\sqrt{(a^{2}+1)(b^{2}+1)}-\sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{b^{2}+1}}{ab} + \frac{\sqrt{(b^{2}+1)(c^{2}+1)}-\sqrt{b^{2}+1}-\sqrt{c^{2}+1}}{bc} + \frac{\sqrt{(c^{2}+1)(a^{2}+1)}-\sqrt{c^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}}{ca}$ là SỐ TỰ NHIÊN

Tìm số nguyên dương p mịn sao cho $p^{4}+(p+1)^{4}$ là hợp số

 $y \geq 5$ nên cứ thử $y=5,7,11,13,17,19$. Đủ 5 TH thỏa mãn thì dừng

đúng là thử tùm lum

Thử tùm lum

 

Dễ thấy $p$ chẵn. Vì nếu lẻ thì $4 \mid p^2-1=xyz$. Tồn tại 2 số nguyên tố bằng nhau và bằng 2. Vô lý

 

Do $(p-1,p+1)=1$ và $x,y,z$ bình đẳng nên xét các TH:

 

Giả sử $p$ không chia hết cho $3$. Khi đó tồn tại trong 3 số $x,y,z$ một số bằng 3.

 

TH1:  $p-1=x$ và $p+1=yz$

 

Nếu $x=3$ thì $p=4$ không thỏa mãn nên không mất tính tq giả sử $z=3$

 

Khi đó $x+2=3y$. Đến đây do $y \geq 5$ nên thử lần lượt các giá trị của $y$ thì thấy các bộ sau thỏa mãn:

 

Thử lần lượt các giá trị của y là những giá trị nào?

Tìm 5 số nguyên dương P nhỏ nhất sao cho $P^{2}-1$ là tích của 3 số nguyên tố phân biệt 

Cho hình vuông ABCD. I là 1 điểm trong tam giác ABC. H, K lần lượt là giao điểm AI, CI với BC, AB. Gọi Q là trung điểm HK. Vẽ M đối xứng với B qua Q. CM: khi I di chuyển trong tam giác ABC thì MI luôn đi qua 1 điểm cố định là D.

Cho tam giác ABC. Phân giác trong AI. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I lên AB, AC. Gọi M là giao điểm BK và CH. Chứng minh AM vuông góc với BC.

$=\frac{1}{x^2+y^2+xy}+\frac{1}{xy}=\frac{(x+y)^2}{xy(x+y)^2-x^2y^2}=\frac{1}{xy(1-xy)}$

Đến đây bạn có thể tự giải tiếp rồi

[hide] Nếu có sai sót thì hãy sửa cho mình nha 

$x^{3}+y^{3}=x^{2}-xy+y^{2}$

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. E $\epsilon$ BC. E $\neq$ B, C. Gọi H, F lần lượt là hình chiếu của E xuống AB, AC. Gọi K là giao điểm CH, BF. CM: Đường thẳng EK luôn đi qua 1 điểm cố định khi E di chuyển trên BC.

Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 2p thỏa mãn: 15yz + 10zx + 1964xy= 2023xyz

Tìm GTNN: $K=\frac{1974}{p-x}+\frac{1979}{p-y}+\frac{25}{p-z}$

Ta sẽ chứng minh AM=AK

Đặt $AB=AC=3a$ thì $BC=3a\sqrt{2}$

$CM^2=AM^2+AC^2=a^2+9a^2=10a^2\Leftrightarrow CM=a\sqrt{10}$

Gọi D là điểm trên AC sao cho $AD=AM=a$; $E'=CM\cap ND$

Thi $MD//BC;MD=\frac{1}{3}BC$

Suy ra: $\frac{MD}{NC}=\frac{2}{3}$

Theo định lí Thales: 

$\frac{ME'}{E'C}=\frac{E'D}{E'N}=\frac{MD}{NC}=\frac{2}{3}$

$\frac{ME'}{E'C}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{ME'}{MC}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow ME'=\frac{2a\sqrt{10}}{5}; CE'=\frac{3a\sqrt{10}}{5}$

$\Rightarrow CE'.CM=CD.CA(=6a^2)$ nên Tứ giác $MADE'$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CE'D}=90^o\Rightarrow CM \perp ND$ Mà $CM \perp NK$ nên $D\equiv K; E\equiv E'$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta BCA$ với cát tuyến NMG ta có: 

$\frac{CN}{NB}.\frac{BM}{MA}.\frac{GA}{GC}=1 \Leftrightarrow AG=GC$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta MKC$ với cát tuyến EHG ta có:

$\frac{CE}{EM}.\frac{MH}{HK}.\frac{GK}{GC}=1\Leftrightarrow \frac{\frac{3a\sqrt{10}}{5}}{\frac{2a\sqrt{10}}{5}}.\frac{MH}{HK}.\frac{4a}{6a}=1\Leftrightarrow MH=HK$

$\Delta EMK: \widehat{MEK}=90^o;HM=HK \Rightarrow EH=HM=HK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng định lí Menelaus vào $\Delta GEC$ với cát tuyến KHM ta có: 

$\frac{CK}{KG}.\frac{GH}{HE}.\frac{ME}{MC} =1\Leftrightarrow \frac{2a}{4a}.\frac{GH}{HE}.\frac{2}{5}=1\Leftrightarrow \frac{GH}{HE}=5\Leftrightarrow \frac{GE}{HE}=6\Leftrightarrow GE=6HE=6.\frac{a\sqrt{2}}{2}=3a\sqrt{2}=BC$

Vậy $GE=BC; HE=HM$

bạn còn cách nào khác ko? thực ra nhiều kiến thức ở đây mình chưa học

Tứ giác lồi ABCD. M là trung điểm AB. N là 1 điểm thuộc AC. Sao cho MN cắt và BC cắt nhau tại I. Gọi P là điểm thuộc BD sao cho $\frac{BP}{PD}=\frac{AN}{NC}$

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên AB lấy M sao cho MB=2MA. Gọi N là trung điem BC. Gọi G là giao NM và AC. Qua N kẻ đuong thẳng vuông góc với MC tại E căt AC tại K. Gọi H là giao điểm MK và GE. Chứng minh GE=BC và HM=HE

Cho tam giác ABC, AD là phân giác. M nằm giữa A và D. Gọi E là giao điểm BM và AC. Gọi F là giao điểm CM và AB. C/m: Nếu $\frac{1}{AB^{2}}+\frac{1}{AE^{2}}=\frac{1}{AC^{2}}+\frac{1}{AF^{2}}$ thì tam giác ABC cân 

Đánh giá chỗ màu đỏ không đảm bảo dấu bằng 

vậy bạn có cách làm nào khác k?

Cho a,b,c>0 tm ab+bc+ac=1

Tìm min H=$\frac{3a^{2}b^{2}+1}{c^{2}+1}+\frac{3b^{2}c^{2}+1}{a^{2}+1}+\frac{3c^{2}a^{2}+1}{b^{2}+1}$

$\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{(a+b)+(c+a)}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+a})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

TT$\Rightarrow VT\leq \frac{1}{16}.4.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=1$

nhưng mình đang tìm min mà???

Cho 3 số m,n,p> 0 thỏa mãn: $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}=4$

Tìm max M=$\frac{1}{2m+n+p}+\frac{1}{m+2n+p}+\frac{1}{m+n+2p}$

Chờ m,n,p là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi 2

CMR: $\frac{52}{27}\leq m^{2}+n^{2}+p^{2}+2mnp$

Cho m,n,p >0 thỏa mãn: $m^{2}+n^{2}\leqslant p^{2}$

Tìm min A=$\frac{1}{p^{2}}(m^{2}+n^{2})+p^{2}(\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}})$

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 

CMR: $\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\geq \frac{3}{2}$

Bài này trên diễn đàn có một lần rồi bạn bạn cứ nhấn lên kiểu gì cũng có

nhấn lên đâu bạn???

Cho a,b,c$\geq 1$

Tính GTLN của P=$\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1}$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=4 $

CMR: $(a+b)(b+c)(c+a) \geq a^{3}b^{3}c^{3}$