Chủ đề này có 2 trả lời

[misakichan]

Chờ m,n,p là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi 2

CMR: $\frac{52}{27}\leq m^{2}+n^{2}+p^{2}+2mnp$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi misakichan: 16-06-2016 - 17:30

[dunghoiten]

Chờ a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi 2

CMR: $\frac{52}{27}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc$

Nốt vế còn lại .
Bằng đổi biến $p,q,r$.
Ta có $p=2$. BĐT cần chứng minh là :
$$p^2-2q+2r \ge \dfrac{52}{27}$$
$$ \Leftrightarrow 4-2q+2r \ge \dfrac{52}{27}$$
Mà theo $Schur$ thì $r \ge \dfrac{4pq-p^3}{9} = \dfrac{8q-8}{9}$
Ta đưa về chứng minh BĐT mạnh hơn :
$$ 4-2q+2. \dfrac{8p-8}{9} \ge \dfrac{52}{27}$$
$$ \Leftrightarrow q \le \dfrac{4}{3}$$
Thì điều này hiển nhiên đúng do $ab+bc+ca \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{2}{3}$
BĐT được chứng minh. 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dunghoiten: 15-06-2016 - 11:54

[Minhnguyenthe333]

Chờ a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi 2

CMR: $\frac{52}{27}\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc$

Ta có: $2-2a=a+b+c-2a=b+c-a>0$

Tương tự cho $(2-2b),(2-2c)$. Áp dụng bđt Cauchy:

$(2-2a)(2-2b)(2-2c)\leqslant \frac{[6-2(a+b+c)]^3}{27}$

$<=>8-8(a+b+c)+8(ab+bc+ca)-8abc\leqslant \frac{8}{27}$

$<=>-\frac{224}{27}\leqslant 8abc-8(ab+bc+ca)$

$<=>-\frac{224}{27}\leqslant 8abc-4[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]$

$<=>\frac{208}{27}\leqslant 4(a^2+b^2+c^2)+8abc$

$<=>a^2+b^2+c^2+2abc\geqslant \frac{52}{27}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{2}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 15-06-2016 - 12:02