Chủ đề này có 1 trả lời

[misakichan]

Cho a,b,c$\geq 1$

Tính GTLN của P=$\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1}$

[phamngochung9a]

Cho a,b,c$\geq 1$

Tính GTLN của P=$\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1}$

Biểu thức $P$ được viết lại thành:

$P=\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{abc+1}+1$

Ta có: $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right )\geq 0\\\Rightarrow abc+1\geq ab+bc+ca-\left ( a+b+c \right )+2$

Vậy:

$P\leq 1+\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{ab+bc+ca-\left ( a+b+c \right )+2}\\=2+\frac{2\left ( a+b+c-1 \right )}{ab+bc+ca-\left ( a+b+c \right )+2}$

Do $\left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\geq 0\\\Rightarrow ab\geq a+b-1$

Tương tự trên, ta cũng có các BĐT khác:

$\left\{\begin{matrix} bc\geq b+c-1 & \\ ca\geq c+a-1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó:

$P\leq 2+\frac{2\left ( a+b+c-1 \right )}{a+b-1+b+c-1+c+a-1-\left ( a+b+c \right )+2}=4$