Ta có: $MA^{2}=MC.MD$ ( phương tích)

$MA^{2}=MH.MO$ ( hệ thức lượng )

=>MC.MD=MH.MO

=>CHOD nội tiếp

Bài 3

Áp dụng bđt dạng $(a+b)^{2}\geq 4ab$

$1^{2}\doteq (x+y+z)^{2}\geq 4.x.(y+z)$

=>$(y+z)\geq 4.x.(y+z)^{2}\geq 4.x.4yz=16xyz$

=>A$\leq x+y+z=1$

Dấu = khi $x=\frac{1}{2},y=z=\frac{1}{4}$

 Giải tương tự như ở đây nhé , giống phần đầu, phần sau hơi khác tí

http://diendantoanho...2a23leq-frac12/

Từ giả thiết suy ra: $(a-2)^{2}+(b-1)^{2}=545$

Áp dụng cauchy schwarz ( bunhiacopxki đấy)

T$=23(a-2)+4(b-1)+50\leq \sqrt{(23^{2}+4^{2})((a-2)^{2}+(b-1)^{2})}+50=595$

Bạn tự tính dấu = nhé

À , ý mình là dùng am-gm bộ ba số cho hai dấu ngoặc, còn bạn vẫn có thể sử dụng bunhia phân thức cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ thì cũng ra

Xét $P^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}c^{2}}{b^{2}}+2.(a^{2}+b^{2}+c^{2})=\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}c^{2}}{b^{2}}+2$

Áp dụng am-gm

$\frac{a^{2}b^{2}}{c^{2}}+\frac{b^{2}c^{2}}{a^{2}}\geq 2.b^{2}$

=>$P^{2}\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})+2=3$

=>$P\geq \sqrt{3}$

Dấu = xr khi a=b=c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$

câu d

Do OM=2R gấp đôi OA nên tam giác OAM là nửa tam giác đều

=>tam giác AKO cũng là nửa tam giác đều , tính được KO theo R , AK theo R

Lại có :OI=$\frac{R^{2}}{OH}=\frac{R^{2}}{a}$

Tính được KI nhờ Py tago

=> tính được AI=AK+KI

Dễ tính được MK theo R

=> diện tích AIM=$\frac{1}{2}MK.AI$=...

câu c

gọi giao điểm của MO và AB là K

=>tam giác KIO ~ tam giác HMO

=>OI.OH=OK.OM

Mà OK.OM=$AO^{2}=R^{2}$

=>OI=$R^{2}/OH$(không đổi)

Mà OH cố định nên I cố định

Bài 1 

Áp dụng am-gm

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 3.\sqrt[3]{xyz}.3.\frac{1}{\sqrt[3]{xyz}}=9$

Dấu = xr khi a=b=c

Biến đổi A

A=$-335+\frac{335(x+3)^{2}}{x^{2}+1}\geq -335$

Dấu bằng khi x=-3

Qua A vẽ đường thẳng song song với d cắt BC ở K

Theo Ta- lét và hệ quả của nó, ta có:

$\frac{BM}{BQ}=\frac{BK}{BA}$

$\frac{CM}{CP}=\frac{CK}{CA}$

Do AB=AC nên

$\frac{BM}{BQ}-\frac{CM}{CP}=\frac{BK-CK}{AB}=\frac{BC}{AB}$ (không đổi)

Chưng minh rằng:

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

vậy để mình làm lại

sao ngược bạn

Nhân 2 hai vế

$2.3.\sqrt{5-x}+2.3.\sqrt{5x-4}=4x+14$

Biến đổi được:

$(\sqrt{5-x}-3)^{2}+(\sqrt{5x-4}-3)^{2}=0$

Đến đây bạn làm tiếp nhé

Mình thấy hình như vô nghiệm

$\frac{3}{2}=x+y+z\geq 3.\sqrt[3]{xyz}\rightarrow \sqrt[3]{xyz}\leq \frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT cauchy schwarz

$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})(1^{2}+4^{2})\geq (x+\frac{4}{x})^{2}$

=>$P\sqrt{17}\geq (x+\frac{4}{x})+(y+\frac{4}{y})+(z+\frac{4}{z})\geq \frac{3}{2}+\frac{4.3}{\sqrt[3]{xyz}}\geq \frac{3}{2}+\frac{4.3}{\frac{1}{2}}=\frac{51}{2}$

=>P$\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

Dấu bằng khi x=y=z=1/2

Thời gian bạn viết câu xin lỗi thì cũng đủ để bạn sửa các lỗi viết tắt rồi đấy  .

Do tam giác ABC đều nên tính được AH=...;R=...

=>tính được OH=AH-R

tính được OI=R-r=R-2

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác OIH là tính ra IH

Cho a,b,c>0

 Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{c+3a}}+\sqrt{\frac{b}{a+3b}}+\sqrt{\frac{c}{b+3c}}\leq \frac{3}{2}$

Bài 1

Nhân 4 hai vế

$4.25.\sqrt{26x+4}+16=4x^{2}$

Biến đổi được

$(2\sqrt{25x+4}+25)^{2}=(2x+25)^{2}$

Phân ra hai trường hợp rồi giải tiếp nhé

Cho tam giác ABC có góc ABC=45độ, góc ACB =30 độ.Trên cạnh AC lấy M sao cho góc ABM= 30 độ. Chứng minh MA=MC

Gọi E là trung điểm OA, (I) tiếp xúc với (O) tại K

Theo định lý Pytago

$OI^{2}=OE^{2}+IE^{2}$

=>$(R-r)^{2}=(\frac{R}{2})^{2}+r^{2}$

=>8r=3R

Đến đây bạn tự tính tiếp nhé

AM.AN=$AB^{2}$=AE.AO

=> OEMN nội tiếp

=>đpcm

Thực hiên phép trục căn

Ta có:$(a-b)(\sqrt{3-b^{2}}+\sqrt{3-a^{2}})= (3-b^{2})-(3-a^{2})=a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

=>$a+b=\sqrt{3-b^{2}}+\sqrt{3-a^{2}}$

Mặt khác từ giả thiết ta chuyển vế

$a+\sqrt{3-a^{2}}=b+\sqrt{3-b^{2}}$

Bình phương lên rồi rút gọn ta được

$a\sqrt{3-a^{2}}=b\sqrt{3-b^{2}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

$\frac{a}{\sqrt{3-b^{2}}}=\frac{b}{\sqrt{3-a^{2}}}=\frac{a+b}{\sqrt{3-a^{2}}+\sqrt{3-b^{2}}}=1$

=>$a= \sqrt{3-b^{2}}$

=>$a^{2}+b^{2}=3$

Cho tứ giác ABCK, từ K hãy vẽ một đường thẳng chia tứ giác ABCK thành hai phần có diện tích bằng nhau

Cho $x,y,z> 0,x+y+z=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+zx$