chứng minh rằng với mọi n$\epsilon$$\mathbb{Z}$ thì $n^{5}$ và n có chữ số tận cùng giống nhau 

n⁵ - n =n(n-1)(n+1)(n²+1)

Dễ dàng chứng minh n⁵-n chia hết cho 2

Với n chia hết cho 5, chia 5 dư 1 hoặc 4 thì n⁵-n chia hết cho 5

Với n chia 5 dư 2 hoặc 3 thì n²+1 chia hết cho 5

Như vậy ta có n⁵-n chia hết cho 5, n⁵-n chia hết cho 2 và gcd(5,2)=1

Nên n⁵-n chia hết cho 10

Hay n⁵ và n có chữ số tận cùng giống nhau

Lời giải nhanh nhất cho bài toán này là cách áp dụng định lý Fermat nhỏ:

x⁵ - x chia hết cho 5

Dễ dàng chứng minh x⁵ - x chia hết cho 2

Như vậy ta cũng có điều phải chứng minh

Ta có: $\sum \frac{ab+c^2}{a+b}+\sum c= \sum \frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2(a+b+c)$ (bất đẳng thức AM-GM)

$\Rightarrow \sum \frac{ab+c^2}{a+b}\geq a+b+c$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c> 0$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Cho tam giác ABC với AC > AB. Các đường cao BB^' , CC^' của tam giác cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC^', CB^'. MH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CHB^' tại I; N

H cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC^' tại J. Giả sử P là trung điểm cạnh BC. Chứng minh: AP vuông góc với IJ

Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm I. Giả sử bên trong tứ giác ta vẽ được 4 đường tròn bằng nhau và cùng đi qua 1 điểm S, và mỗi đường tròn tiếp xúc với 2 cạnh liên tiếp của tứ giác đó. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp 1 đường tròn và tâm đường tròn đó nằm trên SI.

Tìm các số nguyên dương n sao cho: Với mọi a, b là các số nguyên dương, nếu a²b+1 chia hết cho n thì a²+b cũng chia hết cho n

PP làm: lấy tử chia mẫu được phần nguyên và phân số rồi sử dụng tính chia hết

Bài 1: Cho đa thức $f(x)=x^{2018}+\sum a_ix^{i}($a_i\in {-1,1}, $\forall i\in \left \{ 0,1,...,2017 \right \}$$)$ không có nghiệm thực. Tìm số lớn nhất các hệ số = -1 trong f(x)

Bài 2: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn:

$(P(x))^{3}-3(P(x))^{2}=P(x^{3})-3P(-x)$, với mọi x là số thực

Từ giả thiết suy ra abc<=1

a²+2b²+3>=2ab+2b+2>0

$\frac{1}{a²+2b²+3}$<=$\frac{1}{2ab+2b+2}$

Làm tương tự như trên với các phân thức còn lại cùng với abc<=1 ta có điều phải chứng minh

Cho điểm M(2;1). Lập d đi qua M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho khoảng cách từ O đến d là max

d:ax+by-2a-b=0

(a,b khác 0)

Từ đây ta tìm được tọa độ giao điểm của (d) với Ox, Oy theo a, b

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính được khoảng cách từ O đến d theo a,b

Tìm max của giá trị.

Ta phải xét tính liên tục của hàm số và đặt điều kiện đạo hàm trái = đạo hàm phải bạn nhé

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

$3(a+b+c)\geq 2(\sqrt{a^2+bc}+\sqrt{b^2+ca}+\sqrt{c^2+ab})$

Bài toán sai khi a chia hết cho b 

Nếu a không chia hết cho b. Đặt a=bq+r(0<r<b)

Sử dụng phản chứng để suy ra 2^r - 1 chia hết cho 2^b - 1 (điều này vô lí do 0<2^r - 1<2^b - 1)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài toán này sử dụng phương pháp bước nhảy Viete. Các bài viết khác về bước nhảy Viete trên VMF

http://diendantoanho...ước-nhảy-viete/

Lời giải của bài toán trên bạn có thể tham khảo ở đây: http://math.stackexc...-its-an-integer

Problem: Cho $a_{1}, a_{2},...,a_{19}$ là các số tự nhiên thỏa mãn: $a_{1}+a_{2}+...+a_{19}=26.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $S=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{19}^{2}.$

Đó là tính chất góc định hướng được tạo bởi 4 điểm đồng viên

Ý mk hỏi [mod $\pi$] nghĩa là gì

góc định hướng giữa 2 đường thẳng hơn nhau 1 bội của π

Từ giả thiết ta thấy ngay a, b, c đều là các số lẻ mà một số chính phương lẻ chia 8 dư 1

Từ nhận xét trên: $a^{30}+b^{4}+c^{2018}\equiv 3$ (mod 8)

Bài này có thể sử dụng tích vô hướng của lớp 10

BĐT$\Leftrightarrow \frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}\geq 2$

Ta có VT$\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{(a+d)(b+c)+(c+d)(a+b)}$( theo BĐT Cauchy-Schwarz)

Mà cũng theo BĐT AM-GM ta cũng có $(a+d)(b+c)+(a+b)(c+d)\leq \frac{(a+b+c+d)^2}{2}$

Do đó VT$\geq 2$

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow$ $a= b= c= d> 0$