Bài 9: Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r

Theo giả thiết, $ =>p+r=4=>r=4−p => p+r=4 => r=4−p $ , từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được p$\geq$3

Theo bất đẳng thức Schur, ta có

$p^3-4pq + 9r \geq 0 => p^3-4pq + 9(4-p) \geq 0 =>  p^3- 9p+36 \geq 4pq => \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq q$

$\Rightarrow \frac{p^3 -9p+36}{4p}\geq q$

Ta sẽ chứng minh p$\geq q$ hay ta chứng minh:p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p}  <=> p^3 - 4p^2 -9p + 36 \leq 0 <=> 3 \leq p \leq 4(bất đẳng thức này hiển nhiên đúng)

Từ đó ta suy ra q$\leq$ 4

Bài 106: Cho a₁, a₂,...,a₁₉ là các số tự nhiên thỏa mãn: a₁+a₂+...+a₁₉ =26. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

S=a₁²+a₂²+...+a₁₉²

Bài 85: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. CMR: 

$a+b+c\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Bài 73: Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp phản chứng

Thật vậy ta có thể giả sử a+b là số nguyên tố 

Theo giả thiết ta có: $(a+b)(b+c)(c+a)-8abc \vdots a+b$

Hay $8abc \vdots a+b$. Lại có a+b là số lẻ nên gcd(a+b,8)=1

Do đó $abc \vdots a+b$ 

Mà a+b là số nguyên tố nên xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau: $a \vdots a+b$ hoặc $b \vdots a+b$ hoặc $c \vdots a+b$ (điều này là vô lí do a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên max{a, b, c}< a+b)

Nên ta có điều giả sử là sai.

Vậy a+b phải là số nguyên tố

Bài 82: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn $p> q$ và $p^3-q^7=p-q$

Bài 18:Giải phương trình nghiệm nguyên:$\frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$

Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:

$p^3-2p^2+p+1=3^n$

Bài 94: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2+8=y^2$

Bài 83: Giải phương trình nghiệm nguyên dương:

$x^3-(x+y+z)^2=(y+z)^3+34$

Bài 35: Giải phương trình nghiệm nguyên: $y^3=x^5+x^3+x^2+1$ với x là số lẻ

Lời giải của mình cho bài 35 như sau:

PT đã cho $\Leftrightarrow y^3=(x^3+1)(x^2+1)$

Do x là số lẻ ta dễ dàng chứng minh được gcd(x³+1,x²+1)=1

$\Rightarrow$ x³+1 là lập phương của 1 số nguyên.

Như vậy, x³ và x³+1 là 2 số nguyên liên tiếp và đều là lập phương của các số nguyên, và theo giả thiết x là số lẻ nên suy ra x= -1

Từ đó thay vào giả thiết tìm được y= 0

Vậy cặp số (x, y) thỏa mãn bài là (0, -1)

Bài 85(VMO 2007): Cho x, y là các số nguyên, $x\neq -1, y\neq -1$ thoả mãn: $\frac{x^4-1}{y+1}+\frac{y^4-1}{x+1}$ là số nguyên. CMR

$x^{4}y^{44}-1$ chia hết cho x+1

Bài 76: Xét 2 trường hợp

Nếu $p\geq q$ từ giả thiết suy ra $q\leq 3$. Mà q là số nguyên tố nên q thuộc{2; 3}. Thử trực tiếp ta thu được (p, q)=(3, 3)

Nếu $p\leq q$ từ giả thiết suy ra $p\leq 5$. Mà p là số nguyên tố nên p thuộc{2, 3, 5}. Thử trực tiếp ta thu được (p, q)=(3, 3)

Vậy cặp số (p, q) thỏa mãn bài là (3, 3)

Bài 79: Gợi ý sử dụng nguyên lí cực hạn. ĐS: p=2 hoặc p=3

bạn bị ngược dấu hay sao ấy

nguoc dau cho nao

Bài này khá dễ giống đề thi lớp 10 ở VĨnh Phúc,. Bạn có thể tham khảo, hãy like cho mình nhé

Cho $a\neq 0$ và $f(x)=ax^4+bx+c> 0 \forall x> 0$

CMR: $f(x)$ được biểu diễn ở dạng tổng bình phương của 2 tam thức bậc hai.

Tìm max: http://diendantoanho...-định-năm-2018/ (chỉ việc thay mỗi số 2 thành số 1 thôi a trình bày đầy đủ rồi)

Tìm min:

Nếu cả 3 số a, b, c đều > 2 hiển nhiên suy ra điều vô lí

Do đó ta giả sử: $c\leq 2$ nên $abc\leq 2ab$

$\Rightarrow 4=a^2+b^2+c^2+2abc\leq a^2+b^2+c^2+2ab=(a+b)^2+c^2\leq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow a+b+c\geq 2$

Bạn có thể tham khảo tại đây: http://diendantoanho...2b2c2abc-geq-4/

Đáp án: $Min P=2\Leftrightarrow (a,b,c)=(2,0,0)$ và các hoán vị của nó

             $Max P=3\Leftrightarrow (a,b,c)=(1,1,1)$

Bài này dùng phản chứng thôi.

Từ giả thiết suy ra abc<=1

a²+2b²+3>=2ab+2b+2>0

$\frac{1}{a²+2b²+3}$<=$\frac{1}{2ab+2b+2}$

Làm tương tự như trên với các phân thức còn lại cùng với abc<=1 ta có điều phải chứng minh

Giải phương trình  x² - 5x + 36 = 8 $\sqrt{3x+4}$

DKXD:x>=-4/3

Cậu bình phương cả 2 vế lên:

(x²-5x+36)²=64(3x+4)

x⁴-10x³+ 97x² - 552x+1040=0

(x-4)²(x² - 2x + 65)=0

x=4 (thỏa man DKXD)

Các bạn suy nghĩ bài này xem:

giải hệ phương trình:

     5x²+ 2y²+ z² =2

     xy+ yz+ xz =1

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

câu 21:DKXD: với mọi x

sau đó đặt cận vệ phải là a(a>=0) tôi biểu diễn về trại theo a và phân tích thành tích là xong

giúp mình bài này với: $x^4+1=5x(x^2-2)$

Giải phương trình này: $\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{x^2-x}=2$